劉赒 葉舒琪 吳秀君

課題信息：武漢市屬高校教研課題“學(xué)科教學(xué)（數(shù)學(xué)）案例庫(kù)教學(xué)與案例庫(kù)建設(shè)”，課題編號(hào)為2021003.吳秀君為通訊作者.

摘要：在指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)混合型問(wèn)題中，常采用同構(gòu)的方式結(jié)合函數(shù)性質(zhì)解題，其關(guān)鍵在于巧妙構(gòu)造函數(shù)模型進(jìn)行同構(gòu)，熟練掌握指數(shù)、對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性，化繁為簡(jiǎn)從而突破難點(diǎn).

關(guān)鍵詞：指數(shù);對(duì)數(shù);同構(gòu)

1 知識(shí)基礎(chǔ)

同構(gòu)式是指變量不同，結(jié)構(gòu)、形式都相同的數(shù)學(xué)表達(dá)式［1］.同構(gòu)的過(guò)程就是通過(guò)移項(xiàng)、拆分、配湊等手段將一個(gè)數(shù)學(xué)表達(dá)式恒等變形，使其左右兩邊呈現(xiàn)形式、結(jié)構(gòu)完全一樣的狀態(tài)，然后構(gòu)造輔助函數(shù)，借助輔助函數(shù)的性質(zhì)來(lái)解決問(wèn)題［2］.為了實(shí)現(xiàn)同構(gòu)，需要對(duì)指對(duì)式改頭換面，常用方法有如下幾種.

1.1 指對(duì)冪運(yùn)算

常見(jiàn)形式：x=eln x，xex=ex+ln x，exx=e-ln x+x，aex=ex+ln a，ln x+ln a=ln（ax），ln x-ln a=lnxa，ln x-1=lnxe.

1.2 四則運(yùn)算

通過(guò)四則運(yùn)算進(jìn)行添項(xiàng)、減項(xiàng)、拆分或配湊變形為同構(gòu)式.

2 利用同構(gòu)法構(gòu)造函數(shù)

同構(gòu)的難點(diǎn)在于將兩個(gè)結(jié)構(gòu)不同的代數(shù)式構(gòu)造成兩個(gè)結(jié)構(gòu)相同的代數(shù)式，同構(gòu)式如何構(gòu)造？如何選取函數(shù)？同構(gòu)式需要先構(gòu)建一個(gè)與變形后左右兩邊形式一樣的函數(shù)，這個(gè)函數(shù)要做到最值易求、單調(diào)性易證.

一般構(gòu)造以下三種類(lèi)型的函數(shù)作為外函數(shù)的復(fù)合函數(shù)就可以解決問(wèn)題：

2.1 積型：f（x）=xex，f（x）=xln x

例1? 若對(duì)任意的x>0，不等式2ae2x-ln x+ln a≥0恒成立，求實(shí)數(shù)a的最小值.

分析：觀(guān)察不等式，利用移項(xiàng)結(jié)合指對(duì)冪運(yùn)算進(jìn)行變換可以構(gòu)造同構(gòu)函數(shù)f（x）=xex，運(yùn)用函數(shù)單調(diào)性即可求解.

解析：將不等式2ae2x-ln x+ln a≥0移項(xiàng)，得2ae2x≥ln x-ln a.由指對(duì)冪運(yùn)算，得2ae2x≥lnxa，變形得2x＼5e2x≥xa＼5lnxa，即

2x＼5e2x≥lnxa＼5elnxa.

令f（x）=xex，則原不等式等價(jià)于f（2x）≥flnxa.又f′（x）=ex+xex，當(dāng)x>0時(shí)f′（x）>0，則f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增，于是有2x≥lnxa，即a≥xe2x恒成立.

令g（x）=xe2x（x＞0），則g′（x）=1-2xe2x.

當(dāng)00；當(dāng)x>12時(shí)，g′（x）<0.所以g（x）在0，12上單調(diào)遞增，在12，+∞上單調(diào)遞減，則g（x）max=g12=12e.

故實(shí)數(shù)a的最小值為12e.

評(píng)注：例1除以上解法外，還有兩種同構(gòu)方法供讀者自己嘗試，即2x＼5e2x≥xa＼5lnxa→f（x）=xln x，2x+ln（2x）≥lnxa+lnlnxa→f（x）=x+ln x.

例2? 已知e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，a，b均為大于1的實(shí)數(shù)，若aea+1+b

A.b

B.b>ea+1

C.ab

D.ab>e

分析：觀(guān)察不等式，進(jìn)行移項(xiàng)以及指對(duì)冪運(yùn)算可化簡(jiǎn)得ealn ea

解析：將不等式aea+1+b

aea+1

即ealn ea1時(shí)，f′（x）>0，則f（x）在（1，+∞）單調(diào)遞增.由a，b均為大于1的實(shí)數(shù)，可得ea>1.又b（ln b-1）>aea+1>0，b>0，所以ln b>1，即b>e，即be>1.所以eaea+1.故選：B.

評(píng)注：本題考查了不等式恒成立問(wèn)題，根據(jù)同構(gòu)形式結(jié)合導(dǎo)數(shù)研究f（x）=xln x的單調(diào)性，進(jìn)而將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在（1，+∞）上b>ea+1恒成立.

2.2 商型：f（x）=ln xx，f（x）=exx

例3? 不等式2ln x>xln 2的解集是（? ）.

A.（1，2）

B.（2，4）

C.（2，+∞）

D.（4，+∞）

分析：原不等式可通過(guò)移項(xiàng)變形為ln xx>ln 22，則可構(gòu)造同構(gòu)函數(shù)f（x）=ln xx，結(jié)合題意以及函數(shù)單調(diào)性，比較函數(shù)圖象上的點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合即可求解.

解析：設(shè)f（x）=ln xx（x>0），則有f′（x）=1-ln xx2.當(dāng)00;當(dāng)x>e時(shí)，f′（x）<0.所以函數(shù)f（x）在（0，e）上單調(diào)遞增，在（e，+∞）上單調(diào)遞減.

原不等式可化為ln xx>ln 22，即f（x）>f（2），結(jié)合f（2）=f（4），可得2

評(píng)注：結(jié)合題目特征，對(duì)不等式進(jìn)行變形，構(gòu)造函數(shù)f（x）=ln xx，結(jié)合同構(gòu)形式和函數(shù)單調(diào)性比較函數(shù)值的大小，從而求出解集.

例4? 已知a>1，b>1，證明aeb≥bln a.

分析：觀(guān)察不等式，將原不等式移項(xiàng)變形為ebb≥ln aa，此時(shí)可構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，令f（x）=exx，g（x）=ln xx，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合題意即可證明.

證明：要證aeb≥bln a，即證ebb≥ln aa.令f（x）=exx，則f′（x）=ex（x-1）x2.當(dāng)x>1時(shí)，f′（x）>0，則f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，所以f（x）>f（1）=e.令g（x）=ln xx，則g′（x）=1-ln xx2.當(dāng)00；當(dāng)x>e時(shí)，g′（x）<0.于是g（x）在（0，e）上單調(diào)遞增，在（e，+∞）上單調(diào)遞減，因此g（x）≤g（e）=1e.故x>1時(shí)，f（b）>g（a），即aeb≥bln a.

評(píng)注：本題需要利用同構(gòu)證明不等式，觀(guān)察不等式并將其變形，發(fā)現(xiàn)可將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)值的大小比較問(wèn)題，構(gòu)造函數(shù)f（x）=exx，g（x）=ln xx，根據(jù)導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性即可證明.

2.3 和差型：f（x）=x+ex，f（x）=x+ln x

例5? 已知函數(shù)f（x）=ex-aln（ax-a）+a（a>0），若關(guān)于x的不等式f（x）>0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

分析：觀(guān)察不等式f（x）>0，進(jìn)行移項(xiàng)、指對(duì)互化和添項(xiàng)配湊，可將原不等式變形為ex-ln a+x-ln a>eln（x-1）+ln（x-1），則可構(gòu)造同構(gòu)函數(shù)g（x）=x+ex，可得到g（x-ln a）>g［ln（x-1）］，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性即可求出實(shí)數(shù)a的取值范圍.

解析：由題意得f（x）=ex-aln（ax-a）+a>0（a>0），移項(xiàng)得ex>aln（ax-a）-a，即

exa>ln（ax-a）-1.

由對(duì)數(shù)性質(zhì)，可得

exa>ln a+ln（x-1）-1，即ex-ln a>ln a+ln（x-1）-1.兩邊同時(shí)加上x(chóng)再移項(xiàng)變形，得ex-ln a+x-ln a>ln（x-1）+x-1，即

ex-ln a+x-ln a>eln（x-1）+ln（x-1）.

令g（x）=x+ex，則g′（x）=1+ex>0，故g（x）在（0，+∞）上為單調(diào)遞增函數(shù).由

g（x-ln a）>g（ln（x-1）），可得x-ln a>ln（x-1），即-ln a>ln（x-1）-x.

由ln x≤x-1（切線(xiàn)不等式），

變形得ln（x-1）≤x-2，所以ln（x-1）-x≤x-2-x=-2，則有-ln a>-2，即0

評(píng)注：本題的難點(diǎn)在于不等式的同構(gòu)變形，通常可觀(guān)察不等式的結(jié)構(gòu)特征，通過(guò)移項(xiàng)、添項(xiàng)配湊的方法，引入新函數(shù)，由新函數(shù)的單調(diào)性并結(jié)合切線(xiàn)不等式求出實(shí)數(shù)a的取值范圍.

以上的模型舉例可以讓我們感受到“同構(gòu)”解題的妙用，這種解法的關(guān)鍵在于構(gòu)造函數(shù)，通過(guò)觀(guān)察不等式結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，結(jié)合指對(duì)冪運(yùn)算性質(zhì)，借助移項(xiàng)、添項(xiàng)、減項(xiàng)、拆分或配湊進(jìn)行“同構(gòu)”，這需要較強(qiáng)的技巧性和靈活性，但也有規(guī)律可循.掌握指對(duì)互化及其運(yùn)算性質(zhì)，熟悉函數(shù)模型及其單調(diào)性，運(yùn)用“同構(gòu)”巧解難題，能夠幫助我們事半功倍，體會(huì)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想.

參考文獻(xiàn)：

［1］李文東.指數(shù)與對(duì)數(shù)搭臺(tái) 同構(gòu)來(lái)唱戲［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)研究（華南師范大學(xué)版），2020（21）：4-5.

［2］葉燕.牽手函數(shù)同構(gòu) 撥開(kāi)解題迷霧——以指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)同構(gòu)問(wèn)題為例［J］.中學(xué)教學(xué)參考，2022（23）：22-22.