韋春蘭　黃江泉

［摘 要］文章基于核心素養(yǎng)導向，提出初中數學作業(yè)設計的八個基本策略：進行知識梳理，設計面向全體學生的知識型作業(yè)；注重方法總結 ，設計面向大部分學生的方法型作業(yè)；重視能力提升，設計面向學有余力學生的能力型作業(yè)；強化錯誤剖析，設計基于思維優(yōu)化的糾錯型作業(yè)；注重知識應用和思想滲透，設計基于素養(yǎng)提升的拓展型作業(yè)；基于模型觀念，設計一題多解與一題多用型作業(yè)；進行一題多變，設計基于創(chuàng)新意識培養(yǎng)的創(chuàng)新型作業(yè)；基于應用意識培養(yǎng)，設計跨學科型和實踐型作業(yè)。

［關鍵詞］核心素養(yǎng)；初中數學；作業(yè)設計

［中圖分類號］? ? G633.6? ? ? ? ［文獻標識碼］? ? A? ? ? ? ［文章編號］? ? 1674-6058（2024）08-0008-04

數學課程要培養(yǎng)的學生核心素養(yǎng)主要包括三個方面：會用數學的眼光觀察現實世界，會用數學的思維思考現實世界，會用數學的語言表達現實世界。核心素養(yǎng)導向下，教師應設計有針對性的數學作業(yè)，以強化學生的抽象能力、空間觀念、運算能力、幾何直觀、數據觀念、應用意識、推理能力、模型觀念、創(chuàng)新意識等，在讓學生通過數學作業(yè)的訓練獲取數學知識、形成數學技能的同時，落實數學核心素養(yǎng)。

那么，核心素養(yǎng)導向下如何設計科學有效的初中數學作業(yè)呢？

一、進行知識梳理，設計面向全體學生的知識型作業(yè)

深刻理解數學概念，牢固記憶數學公式、法則、性質、定理，是數學學習的基本要求。知識的理解和記憶是通過解決問題和不斷訓練來實現的。面向全體學生是教學的基本點和出發(fā)點，初中數學作業(yè)設計更是如此。教師應對知識進行梳理，設計面向全體學生的知識型作業(yè)，以鞏固學生的基礎知識。

例如，在“一元二次方程”的教學中，筆者設計了以下知識型作業(yè)。

1.找出其中的一元二次方程，并說明其他方程不是一元二次方程的原因。

① [5x2-3=0]

② [2x2+3y2=5]

③ [x2-4=5]

④ [x2+1x2=2]

⑤ [5x2-x=0]

⑥ [x2+13=x+5]

⑦ [3x2-6xy+5y2=0]

⑧ [2x2-3x=5x2-1]

2.將以下方程化為一元二次方程，并寫出其中的常數項、一次項系數以及二次項系數。

① [（x+3）（2x+5）-x（3x-1）=15]

② [2x2-1=6x]

3.①若[（m-2）xm2-2+x-3=0]是關于[x]的一元二次方程，則[m]的值是? ? ? ? ? ? ? ? ? ?。

②若關于[x]的方程[（m-3）xm-1=5]是一元一次方程，則[m]的取值是? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?。

又如，在“整式的乘法”的教學中，筆者設計了如下一組落實各種運算的知識型作業(yè)。

1.計算下列各題：

（1）[3a4·a3+（-2a3）2·a]

（2）[-13+ab13+ab]

（3）[（a+3）2-（a+3）（a-3）]

2.已知[am=2]，[an=3]，則[a2m+3n]=? ? ? ? ? ? ? ? ? 。

3.已知[a=255]， [b=344]，[c=533]，則[a]、[b]、[c]的大小關系為? ? ? ? ? ? ? ? ? 。

4.如果[（2x+1）（x-2）=2x2+mx-2]，那么[m]的值是? ? ? ? ? ? ? ? ? 。

5.計算[（3x+y）（3x-y）（9x2+y2）]。

6.先化簡，再求值：[（x+2y）2-（x+y）（x-y）]，其中[x=-2]，[y=12]。

二、注重方法總結 ，設計面向大部分學生的方法型作業(yè)

熟練掌握數學方法，是數學學習的又一基本要求。數學方法的掌握須通過系統(tǒng)的訓練和總結才能完成。因此，數學作業(yè)設計要充分考慮大部分學生的實際情況，著重于學生數學思想方法的掌握。

例如“一元二次方程”的作業(yè)設計，就要以一元二次方程的解法作為重點，設計著重解法訓練和方法總結的作業(yè)，幫助學生掌握一元二次方程的相關解法。對此，筆者具體設計了下列方法型作業(yè)。

解下列一元二次方程。

（1）[3x2-27=0]

（2）[（3x-2）（3x+2）=8]

（3）[（x-2）2+1=8]

（4）[x2-2x-1=0]

（5）[y2-6y+6=0]

（6）[3x2-4x=2]

（7）[x2+4x=-3]

（8）[5x2+4x=1]

又如，在設計“用待定系數法求二次函數表達式”的作業(yè)時，筆者設置了根據各種條件求二次函數的表達式的練習題，讓學生反復訓練，熟練掌握方法。

根據下列條件求二次函數的表達式：

（1）二次函數的圖象經過點（-1，0），（3，0）和（0，3）。

（2）二次函數的圖象經過點（-1，0）和（0，-3），對稱軸是[x=1]。

（3）二次函數圖象的頂點坐標是（1，-4），與[y]軸交點的坐標是（0，-3）。

（4）當[x=1]時二次函數有最小值-4，與[y]軸交點的坐標是（0，-3）。

（5）當[x=1]時二次函數有最小值-4，與[x]軸的兩交點的距離為4。

（6）二次函數的圖象與[x]軸的交點為A（-1，0）和[B]（3，0），與[y]軸的交點為[C]，且[BC=32]。

三、重視能力提升，設計面向學有余力學生的能力型作業(yè)

數學作為一門重要的學科，對于培養(yǎng)學生的邏輯思維能力、分析與解決問題的能力具有至關重要的作用。在數學作業(yè)設計中，教師要為學有余力的學生設計一些能力型作業(yè)。

例如對于“一元二次方程與系數的關系”這部分內容，筆者設計了以下難度呈階梯式遞增的能力型作業(yè)。

已知[m]、[n]分別是一元二次方程[x2-3x+1=0]的兩根，求[m+n]與[mn]的值。

變式1：已知[m]、[n]分別是一元二次方程[x2-3x+1=0]的兩根，求[m2+n2]的值。

變式2：已知[m]、[n]分別是一元二次方程[x2-3x+1=0]的兩根，求[（m-n）2]的值。

變式3：已知[m]、[n]分別是一元二次方程[x2-3x+1=0]的兩根，求[nm+mn]與[m3n+mn3]的值。

變式4：已知[m]、[n]分別是一元二次方程[x2-3x+1=0]的兩根，[p=m2+9+n2+4]，求[p]的最小值。

變式5：設關于[x]的一元二次方程[x2+px+1=0]有兩個實數根，一個根大于1，另一個根小于1，試求實數[p]的范圍。

變式6：已知[m+n=8]，[mn=9]，求[m]與[n]的值。

變式7：已知[m]、[n]均為實數，且[2m2+m-1=0]，[2n2+n-1=0]，求[m]、[n]的值。

變式8：已知直線[y=2x+1]與拋物線[y=2x2+3x-1]相交于[A]、[B]兩點，求[AB]的長。

變式9：已知Rt[△ABC]的兩直角邊[a]、[b]是方程[x2-（m+1）x+m-1=0]的兩根，斜邊[c=17]，求Rt[△ABC]的周長和面積。

四、強化錯誤剖析，設計基于思維優(yōu)化的糾錯型作業(yè)

“會而不對，對而不全”是學生在數學解題過程中出現的問題。究其原因是學生沒有真正理解知識的本質和關聯(lián)，對問題缺乏深度思考。數學作業(yè)設計應注重設置易錯題，引導學生剖析錯誤，找錯因及糾正方法，真正明白自己為什么不會及為什么犯錯，從而避免再犯錯。

例如，在“整式的乘法”的作業(yè)設計中，筆者設計了以下糾錯型作業(yè)，以加深學生對數學運算的理解。

解答下列題目：

（1）計算：[（a2）4+a4?a3?a]。

（2）計算：[-１4x-3y-１4x+3y]。

（3）計算：[（3x+2y）（3x-2y）-（2x-y）2]。

（4）已知[x2+（m-1）x+25]是完全平方式，則[m]的值為? ? ? ? ? ?。

第（1）題通過計算強化學生關于冪、積的乘法掌握，提升學生解題的正確率。

第（2）題讓學生在使用平方差公式時，不會出現只把字母平方而系數沒有平方的錯誤。

第（3）題讓學生避免因多項式參與運算時沒有加括號而出錯。

第（4）題讓學生避免因對完全平方公式的兩種形式考慮不全而漏解。

五、注重知識應用和思想滲透，設計基于素養(yǎng)提升的拓展型作業(yè)

數學思想是數學解題的靈魂。在數學學習的過程中，除了要理解和記憶數學知識，還要學會對知識進行靈活應用，特別是要學會對數學知識背后的數學思想進行挖掘和提煉。因此，數學作業(yè)設計要注重知識的靈活應用以及數學思想的滲透，設計知識應用型作業(yè)和思想滲透型作業(yè)，進一步提升學生的學科素養(yǎng)。

例如，在“整式的乘法”的作業(yè)設計中，筆者設計了以下作業(yè)，對學生進行思維拓展訓練。

1.知識應用型作業(yè)

公式、法則的逆用作業(yè)：

（1）設[2m=a]，[2n=b]，則用[a]、[b]表示[23m+2n=]? ? ? ?。

（2）計算：[122022×（-2）2023=]? ? ? ? ? ?。

（3）[（x+2y）2（x-2y）2=]? ? ? ? ? ? ? 。

乘法公式的活用作業(yè)：

（1）設[s=（1+2）（1+22）（1+24）（1+28）]，則[s+1]=? ? ? ? ? ? ? ? 。

（2）計算：[（x+2y+3）（x+2y-3）]。

（3）計算：[（a+2b-c）2]。

（4）已知[（m+n）2=25]，[（m-n）2=16]，則[mn=]? ? ? ? ? ? ? ? ? ，[m2+n2=]? ? ? ? ? ? ? ? ?。

（5）已知[x-1x=3]，則[x2+1x2=]? ? ? ? ? ，[x4+1x4=]? ? ? ? ? ? ? 。

2.思想滲透型作業(yè)

（1）已知[x+2y-3=0]，則代數式[5x2+20xy+20y2]的值為? ? ? ? ? ? ?。（滲透整體思想）

（2）計算：[20222-2021×2023]。（滲透轉化思想）

（3）如圖1所示，大正方形的邊長為[a]，單獨剪切邊長為[b]的小正方形[（a>b）]，之后把剩下的部分剪拼成一個矩形，求其面積，在這個過程中，我們得出了等式? ? ? ? ?。（滲透數形結合思想）

六、基于模型觀念，設計一題多解與一題多用型作業(yè)

模型觀念是重要的數學核心素養(yǎng)之一，許多數學問題都可以運用相應的模型進行解決。因此，在數學作業(yè)設計中，教師要多設計一題多解與一題多用型作業(yè)，以加深學生對數學模型的理解，提高學生的建模能力。

例如，在“角平分線”的教學中，筆者設計了如下一題多解與一題多用型作業(yè)。

如圖2所示，已知AB∥CD，[∠BAC]和[∠ACD]的平分線[AM]、[CM]相交于[M]，過[M]作[AB]的垂線交[AB]、[CD]于[E]、[F]。

（1）求證：[AM⊥CM]；

（2）求證：[ME=MF]；

（3）求證：[AC=AE+CF]（要求用3種以上方法證明）；

（4）把題目中的條件“過[M]作[AB]的垂線”改為“過[M]作直線”，（1）、（2）、（3）的結論是否依然成立？若成立，請給出證明。

七、進行一題多變，設計基于創(chuàng)新意識培養(yǎng)的創(chuàng)新型作業(yè)

創(chuàng)新意識是學生的數學核心素養(yǎng)之一，為了能夠有效培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識，筆者設計了如下創(chuàng)新型作業(yè)。

如圖3所示，已知二次函數[y=ax2+bx+c]的圖象與[x]軸相交于[A（-1，0）]，[B（3，0）]兩點，與[y]軸相交于點C（0，-3）。

（1）求二次函數的表達式；

（2）若[P]是第四象限內二次函數圖象上的任意一點，[PH⊥x]軸于點[H]，與[BC]交于點[M]，連接[PC]。

①求線段[PM]的最大值；

②當[△PCM]是以[PM]為一腰的等腰三角形時，求點[P]的坐標。

變式1：過點[P]作[x]軸的平行線交直線[BC]于點[D]，求[PD]的最大值。

變式2：過點[P]作[PF⊥BC]于[F]，求[PF]的最大值。

變式3：求變式1中[△PDM]的周長的最大值和變式2中[△PFM]的周長的最大值。

思考：把直線[BC]換成直線[y=32x-3]，變式1、變式2、變式3能否解決？

八、基于應用意識培養(yǎng)，設計跨學科型和實踐型作業(yè)

培養(yǎng)學生的應用意識是發(fā)展學生數學核心素養(yǎng)的基本要求?？鐚W科型和實踐型作業(yè)是培養(yǎng)學生應用意識的重要途徑。因此，在數學作業(yè)設計中教師要適當設置一些操作性強、實際意義大的跨學科型和實踐型問題，形成跨學科型和實踐型作業(yè)，以培養(yǎng)學生的應用意識。

例如，在“直角三角形”的教學中，筆者設計了以下跨學科型和實踐型作業(yè)。

1.如圖4所示，在一條東西走向的公路旁安裝有一個測速儀，測速儀的最大視角（[∠BAC]）為[120°]，與公路的距離（[AD]）是30米，一汽車從進入到離開測控范圍（即由[B]到[C]）用了4秒。若該公路的限速是每小時80千米，問該汽車是否超速？（參考數據：[3≈1.7]）

2.如圖5所示，為了測量學校旗桿AB的高度，小明站在操場的C處測得視線與水平線的夾角為[30°]，往旗桿方向前進10米到E處仰視看向[A]點，測得視線與水平線的夾角為[60°]，若小明的眼睛到地面的高度（CD）為1.6米，試計算旗桿[AB]的高度。

3.圖6是一臺手機支架，圖7是其側面示意圖，[AB]、[BC]可分別繞點[A]、[B]轉動，經測量知[BC=12 cm]，[AB=24 cm]。當[AB]、[BC]轉動到[∠BAE=∠ABC=60°]時，觀看比較適宜，試求此時點[C]到[AE]的距離（結果保留根號）。

另外，2023年廣西中考數學試題第25題是一道典型的跨學科試題，我們可以將其改編為方程、函數應用方面的實踐型作業(yè)，以此培養(yǎng)學生的應用意識。

總之，初中數學作業(yè)設計只有突出重點，立足于數學的具體內容，充分考慮對學生核心素養(yǎng)、數學思想方法的培養(yǎng)要求，才能讓學生有效鞏固數學知識、形成數學技能和提高數學素養(yǎng)。

（責任編輯 黃桂堅）