空間觀念一直是數(shù)學課程的重要目標，只不過在相關課程文件及研究者話語中的稱謂不同。2022年版課標明確提出空間觀念是“三會”素養(yǎng)的主要表現(xiàn)之一，并描述了它的內(nèi)涵與三方面的行為表現(xiàn)，能夠為教材編寫、考試評價與教學實踐提供依據(jù)，但仍然較為抽象。在空間觀念培養(yǎng)過程中，教師需要進一步理解空間觀念的具體行為表現(xiàn)、與其他相關概念的聯(lián)系和區(qū)別。為此需要參考相關文獻、教學大綱或課程標準進一步闡述空間觀念的內(nèi)涵，了解與空間相關的其他概念，構建空間觀念的評價指標，并結合具體單元內(nèi)容描述空間觀念這一學習目標的行為表現(xiàn)、達成目標的核心學習任務。

培養(yǎng)學生的空間觀念離不開學校課程中幾何內(nèi)容的學習，也離不開學生日常生活中對物體的觀察、感知與想象。空間觀念在不同的幾何內(nèi)容中有不同的行為表現(xiàn)，教師只有厘清這些行為表現(xiàn)，才能更好地培養(yǎng)學生的空間觀念。

一、空間觀念的內(nèi)涵及其在數(shù)學教育中的歷史演變

空間觀念既是一個哲學概念也是一個科學概念，數(shù)學教育中的空間觀念主要指后者。可以說，一個人空間觀念水平的高低不僅影響日常生產(chǎn)和生活，還影響其世界觀與認知方式。例如，我們看待問題時是否有“全局觀”？能否縱深地、長遠地、多個角度地分析并解決問題？

笛卡兒承認物質(zhì)世界的客觀存在，認為物體的根本特性是廣延性，如果我們排除掉物體的長、寬、高三向量即廣延，物體就不存在了[1]。既然物體是占據(jù)空間的實體，那么廣延與空間是同一的，具有長、寬、高三向量的廣延不但構成物體的本質(zhì)，也構成空間的本質(zhì)。笛卡兒的觀點為現(xiàn)代人所接受，例如，《現(xiàn)代漢語詞典》（第7版）將空間界定為：“物質(zhì)存在的一種客觀形式，由長度、寬度、高度表現(xiàn)出來，是物質(zhì)存在的廣延性和伸張性的表現(xiàn)”；將觀念界定為：一是思想意識，二是客觀事物在人腦里留下的概括的形象（有時指表象）。在數(shù)學教育中，空間觀念中的觀念顯然指“客觀事物在人腦里留下的概括的形象（有時指表象）”，所以空間觀念也就側重對物體所占空間大小及物體的幾何性質(zhì)、特征及位置關系的理解，學生要在頭腦中對這些內(nèi)容形成表象、進行想象。

與空間觀念密切相關的概念有空間知覺、空間表象、空間想象、空間能力、空間思維、幾何直覺等，前三個可以說是空間觀念的不同水平表現(xiàn)。空間知覺指認知主體通過觀察、操作等活動對實物、圖形的形狀、大小及相互位置關系的直觀感受，是建立空間觀念的基礎性、必要性活動?？臻g表象是在前述空間知覺基礎上，在認知主體的大腦中形成的關于實物、圖形的形狀、大小及相互位置關系的印象，它既是大腦中信息加工的結果，又是信息加工的過程，空間表象的正確性、清晰性與穩(wěn)定性等特征是形成空間想象能力的關鍵?？臻g想象是指在觀察、操作實物或圖形的條件下，借助語言調(diào)節(jié)，加工、改造與整合頭腦中的原有表象進而產(chǎn)生新表象的心理過程。一般來說，從知覺到表象再到想象，這三種認知水平是遞進發(fā)展的[2]。

目前還很難界定空間能力的內(nèi)涵，朱文芳[3]綜述了相關認知心理學家的觀點后提出：空間觀念和空間想象是空間能力的重要組成部分，空間觀念是空間能力發(fā)展的基礎，空間想象是空間能力的主要因素和類型?？臻g想象能力是對幾何表象進行加工、改造，創(chuàng)造新的形象的能力。對小學生來說，這種要求太高，所以2022年版課標提出培養(yǎng)學生的空間觀念。

二、根據(jù)課程標準與相關文獻構建空間觀念的評價指標

王林全[4]認為空間觀念的基本成分包括：圖形的識別與理解能力、圖形的分解與組合能力、圖形的建構與探索能力、對圖形的運動與變換的欣賞及利用幾何直觀解決問題能力。吳宏、汪仲文[5]認為空間能力的結構要素的一級與二級指標分別是：基于認識物體內(nèi)部關系的空間能力（空間概念的能力、空間表象的能力、空間語言的能力），基于把握物體與觀察者之間關系的空間能力（識別方向與位置的能力、處理位置關系和度量關系的能力、視圖與位置變換能力），基于理解物體與物體之間關系的空間能力（平面與空間的雙向轉換能力、準確把握物體的運動變化的能力、識符與畫符能力、利用直觀思考的能力）。徐云鴻[6]則提出空間觀念的四維度（在2011年版課標關于空間觀念界定基礎上增加“利用幾何直觀手段解決問題”）、三水平（直觀想象階段、直觀想象與簡單分析抽象階段、直觀想象與復雜分析階段）。

實驗稿課標、2011年版課標及2022年版課標都描述了空間觀念的行為表現(xiàn)，其中實驗稿課標的描述更具體，例如，“能根據(jù)條件做出立體模型或畫出圖形；能從較復雜的圖形中分解出基本圖形，并能分析其中的基本元素及其關系”。由于實驗稿課標沒有提出幾何直觀，也沒有明確提出核心素養(yǎng)等概念，所以前述描述更像知識、技能方面的要求。2022年版課標沒有這樣具體的行為描述，好像要與知識、技能目標區(qū)分開，卻給落實核心素養(yǎng)帶來一定的“麻煩”。因此需要根據(jù)相關文獻及2022年版課標進一步描述空間觀念的具體行為，研制空間觀念的評價指標體系。

此外，從活動角度描述空間觀念也為研制行為表現(xiàn)標準提供了參考。與形成空間觀念密切相關的活動主要包括三類：直觀操作活動、語言描述活動及思維活動。直觀操作活動主要包括展開與折疊、作圖、制作幾何模型等，語言描述活動主要包括用日常語言或數(shù)學語言描述圖形及其位置、運動變換的性質(zhì)和特征等，思維活動主要包括抽象、想象等。

學生空間觀念的形成、發(fā)展與他們對圖形及圖形之間相互關系的感知、識別、判斷、操作、表述、建構、想象、變換及運用緊密聯(lián)系在一起。因此，空間觀念與幾何直觀密不可分。在小學階段，空間觀念以空間表象為主要表征形態(tài)，也包括相應的命題表征，并涉及空間知覺與初步的空間想象[2]。培養(yǎng)學生的空間觀念時，表象發(fā)揮重要作用。表象是人在實踐過程中積極反映客觀事物，將通過感知所得的感性材料貯存在頭腦中，并加工成的感性形象。想象是以表象為基本材料，但不是表象的簡單再現(xiàn)。在想象的過程中，表象得到積極的再加工、再組合，加入新聯(lián)系之中，成為新表象的有機組成部分，從而不同于被感知時的情形，甚至被改變得面目全非。

根據(jù)前面的分析，本研究提出的空間觀念評價指標體系如表1所示。

三、基于2022年版課標、現(xiàn)行教材厘清空間觀念的單元行為表現(xiàn)

2011年版課標與2022年版課標關于小學高段“長方體和正方體”單元的學習目標差異不大，2022年版課標通過“教學提示”將學習要求描述得更加具體。例如，借助現(xiàn)實生活中的實物，引導學生通過觀察、操作等活動，認識長方體、正方體的特征；讓學生借助折疊紙盒等活動經(jīng)驗，認識立體圖形的展開圖，建立立體圖形與展開后的平面圖形之間的聯(lián)系，培養(yǎng)空間觀念和空間想象能力。下面基于2022年版課標及現(xiàn)行教材分析空間觀念在“長方體和正方體”單元的行為表現(xiàn)，為有效培養(yǎng)學生的空間觀念提供抓手。

人教版教材、北師大版教材、蘇教版教材等基本上均按照長方體和正方體的認識、長方體和正方體的表面積及計算、認識體積與容積及長方體和正方體體積與容積的計算這樣的順序編排，均關注生活中的實物與立體圖形間的關系，均關注二維圖形和三維圖形之間的聯(lián)系，均通過觀察、操作、想象、推理、表達等活動，促進學生空間觀念的形成與發(fā)展。下面以人教版教材內(nèi)容為例，闡述空間觀念在“長方體和正方體”單元的行為表現(xiàn)。

水平1：通過觀察、感知日常生活中常見三維物體的整體輪廓，抽象出長方體和正方體，并描述它們的面、棱、頂點所具有的特征，判斷各條棱之間的位置關系；能根據(jù)圖形的特點想象出具有長方體和正方體特征的實物。

樣例1：用細木條和橡皮泥搭建一個長方體框架，并說出長方體的12條棱可以分成幾組，相交于同一頂點的3條棱的長度是否相等。

樣例2：如圖1、圖2所示。如果圖1所示的第（2）問改為“和a垂直的棱是哪幾條”，就會導致該問題不在水平1層級，因為解決這個問題需要用到演繹推理這一思維過程。

該水平只涉及一個立體圖形，學生能用語言描述長方體和正方體的基本特征，并在頭腦中形成關于長方體和正方體的清晰且穩(wěn)定的表象，是空間觀念在本單元最基本的表現(xiàn)。

水平2：結合生活經(jīng)驗，通過操作與想象正確判斷長方體和正方體及其平面展開圖之間的對應關系。

樣例3：如圖3、圖4所示。

該水平內(nèi)容是空間觀念在本單元最核心的表現(xiàn)，需要學生在頭腦中“運作”圖形的表象，進行二維、三維圖形之間的轉換。如果學生不借助操作實物只憑借空間想象即可完成上述任務，則說明學生不僅具有空間觀念，還具有空間想象能力，由此也可以說明空間想象能力比空間觀念的要求更高。

水平3：所研究的圖形不只是單一的、完整的長方體和正方體，通過觀察、操作與想象，利用長方體和正方體的特征解決相關問題。

樣例4：如圖5、圖6、圖7所示。

解決該水平的問題需要學生根據(jù)長方體和正方體的特征想象、推理長方體和正方體各面、各棱的數(shù)值，想象完整的長方體和正方體的形狀。

水平4：學生能在頭腦中操作、旋轉、分解或組合簡單圖形的表象，獲得新的表象，并通過想象、計算或推理解決涉及多個立體圖形的現(xiàn)實問題。

樣例5：如圖8、圖9所示。

該水平不僅需要學生綜合運用長方體和正方體的相關特征及其他數(shù)學知識，更需要學生具有較強的空間想象能力、推理能力。在人教版教材中，這些問題以“星號題”的形式出現(xiàn)，屬于高水平的思考題，不要求所有學生都能解決。有的教師將該類問題改編創(chuàng)設“數(shù)學拓展課”，以更好地培養(yǎng)多數(shù)學生的空間觀念[7]。

解決圖9所示的問題時，不能簡單地用紙箱體積除以茶葉盒體積，而要考慮實際裝盒情況，理解“最多能裝下6盒”的情況對學生來說并不容易（茶盒是有兩個面為正方形的特殊的長方體）。教師可以將這個任務留作長作業(yè)（一至兩周完成），建議以學習小組為單位在課下繼續(xù)研究如何將6盒裝下，可以制作紙模型來親自操作裝盒的過程，也可以上網(wǎng)下載三維動畫的圖示進行演示等。

本單元的核心內(nèi)容是長方體和正方體的認識、展開與折疊、包裝的學問，這些內(nèi)容能突出體現(xiàn)三維、二維、一維間的不斷轉化（即體現(xiàn)點、線、面、體間的關系與性質(zhì)，利用關系與性質(zhì)解決實際問題），都是促進學生空間觀念形成的重要載體。觀察、感知、動手操作實物（模具）、空間想象與推理是培養(yǎng)學生空間觀念的重要活動，這些活動具有從直觀到抽象的特征。如果學生能夠脫離直觀操作只依靠頭腦中圖形表象的分解與組合、平移與旋轉及邏輯推理就能解決實際問題，這說明學生不僅具有高水平的空間觀念，還達到了空間想象水平。教學時，適當要求學生脫離直觀觀察與操作、“閉眼想象”不失為培養(yǎng)學生空間觀念的良策。

參考文獻：

[1]張桂權.笛卡爾的空間觀念及其現(xiàn)代意義[J].四川師范大學學報（社會科學版），2014，41（3）.

[2]曹培英.跨越斷層，走出誤區(qū)：“數(shù)學課程標準”核心詞的解讀與實踐研究[M].上海：上海教育出版社，2017.

[3]朱文芳.關于義務教育階段對空間能力培養(yǎng)的思考[J].課程·教材·教法，2001，21（3）.

[4]王林全.空間觀念的基本構成與培養(yǎng)[J].數(shù)學通報，2007，46（10）.

[5]吳宏，汪仲文.中小學生空間能力的構成要素與水平層次及評價指標[J].數(shù)學教育學報，2014，23（5）.

[6]徐云鴻.小學高年段空間觀念測評體系研究[J].數(shù)學教育學報，2019，28（5）.

[7]趙巖，劉加霞.落實“星號題”的育人目標[J].湖南教育（B版），2022（3）.

（作者單位：北京教育學院數(shù)學與科學教育學院）