學(xué)生核心素養(yǎng)不能憑空生成，必須依托一個個具體的學(xué)習(xí)活動才能真實發(fā)生、有效發(fā)展。如何科學(xué)設(shè)計數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動進而達成促進學(xué)生核心素養(yǎng)發(fā)展的目的呢？下面結(jié)合“三角形的認識”一課的教學(xué)實踐，談?wù)剬@個問題的思考。

一、用數(shù)學(xué)的眼光觀察，發(fā)現(xiàn)三角形

師：同學(xué)們，要想學(xué)好數(shù)學(xué)，必須有一雙善于發(fā)現(xiàn)的眼睛。請看大屏幕。（如圖1）通過觀察，你們能發(fā)現(xiàn)今天要研究哪種圖形嗎？

生：（異口同聲）三角形！

師：你們是怎么觀察的？

生：每幅圖片里都藏著三角形呢。

隨著學(xué)生解釋，教師對應(yīng)顯現(xiàn)圖片中的三角形。

師：大家的數(shù)學(xué)眼光很敏銳??！這節(jié)課我們繼續(xù)認識三角形！

【思考】認識三角形首先要把它從現(xiàn)實世界的客觀現(xiàn)象中抽象出來。新知導(dǎo)入階段提供幾幅蘊藏著要研究的三角形的生活原型的現(xiàn)實畫面，有助于吸引學(xué)生的注意力，更重要的是能引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光開展觀察活動，捕捉這些畫面中的典型空間形式，確定本節(jié)課的學(xué)習(xí)任務(wù)。

二、用數(shù)學(xué)的思維思考，認識三角形

1.以問引學(xué)，搭建認識框架。

師：根據(jù)以前認識圖形的經(jīng)驗，你們想研究與三角形有關(guān)的哪些問題？

生：到底什么樣的圖形才算是三角形呢？

師：也就是要研究三角形的意義。

生：三角形有哪些特征？

生：為什么三角形的應(yīng)用這么廣泛？

師：真是些好問題！讓我們帶著這些好問題，開始今天的三角形學(xué)習(xí)之旅吧！

2.自由表達，暴露認識誤區(qū)。

師：誰能大膽說說什么樣的圖形是三角形？

生：有3條邊的圖形是三角形。

生：有3個角的圖形是三角形。

生：有3個頂點的圖形是三角形。

師：觀察這兩個圖形，（如圖2）對照剛才同學(xué)們提出的三種說法，你有什么想補充的嗎？

生：左邊的圖形雖然有3條邊，但不是三角形。

生：右邊的圖形有3個頂點、3個角，但也不是三角形。

師：由此看來，剛才提到的三種說法都不夠嚴(yán)謹！

3.畫圖分析，提升認識程度。

師：說明白有難度，畫個三角形沒問題吧？（出示任務(wù)一：畫一個你喜歡的三角形）來，動筆畫一畫！

學(xué)生動筆畫三角形。教師一邊觀察學(xué)生表現(xiàn)，一邊把他們的典型畫法拍照并上傳到課件中。

師：咱們一起來看看。（如圖3）你有什么發(fā)現(xiàn)？

生：②③⑤號是三角形，①④⑥號不是。

師：①號為什么不是？

生：它的3條邊中有1條邊畫彎了，這3條邊都應(yīng)該是直直的線段。

師：沒錯，三角形的3條邊都得是線段。 ④號呢？

生：有1條線段畫出頭了。

師：該怎么修改？

生：把多余的部分擦掉。

師：（課件動畫修改）修改后的3條線段就做到了首尾相接。⑥號呢？

生：有2條線段沒連起來。

師：怎樣修改？

生：把右邊的那條線段延長后，2條線段相交于1個點。

師：（課件動畫修改）也就是相鄰2條線段要圍成才行。

師：現(xiàn)在能說明白什么是三角形了嗎？

生：3條線段首尾相接圍成的圖形叫作三角形。

師：大家都同意這種說法嗎？

生：（異口同聲）同意！

師：可這種說法沒有說出這個圖形有3個角、3個頂點的特點??？

生：我認為實際上已經(jīng)說出來了。大家可以想想，只要是3條線段首尾連接圍成的圖形就一定會有3個角、3個頂點。

師：了不起！你抓住了認識三角形的關(guān)鍵！現(xiàn)在我們把三角形請到黑板上。（板畫三角形）誰來指著介紹一下三角形各部分的名稱？

生：圍成三角形的這3條線段，是三角形的邊，三角形有3條邊。

生：2條邊的夾角是三角形的角，三角形有3個角。

生：首尾相接的點是三角形的頂點，三角形有3個頂點。

師：為了方便表達，我們用字母A、B、C表示三角形的3個頂點。這個三角形可稱為三角形ABC。

4.感悟特性，增進認識深度。

師：我們知道，三角形的應(yīng)用特別廣泛，為什么呀？

生：我覺得是因為三角形美啊！

生：我認為是因為三角形更牢固。

師：我們來做個實驗一探究竟。（出示任務(wù)二：你的學(xué)具袋中有3種不同長度的小棒，每種至少4根，任意選擇3根圍三角形，選擇4根圍四邊形，各能圍出幾種）請先獨立操作，再組內(nèi)交流。開始吧！

5分鐘后，每個小組的實驗操作和組內(nèi)討論結(jié)束。

師：各個小組的實驗操作認真有序，討論得非常熱烈。哪個小組想先來分享？

一組代表1：（拿著小棒圍成的三角形）我們組用3根長度相等的小棒，圍成了1個三角形，不管怎樣圍都只能圍成同一種。

師：也就是說，3根長度相等的小棒圍成的三角形，形狀和大小都是唯一確定的。誰來補充？

一組代表2：但是用4根長度一樣的小棒可以圍成好多不同形狀和大小的四邊形。

師：其他組呢？

二組代表1：（拿著小棒圍成的三角形）用3根不同長度的小棒圍，也只能圍成一種三角形。（看到別的組有學(xué)生舉手示意）你有不同的想法？請表達你的看法。

生：（拿著小棒圍成的三角形）我用了和你同樣的3根小棒，圍出來的三角形和你的不一樣。

二組代表1：（左手拿著剛才提問的學(xué)生圍成的三角形，右手拿著自己原來圍成的三角形）先讓你圍成的這個三角形不動，請認真觀察，把我圍成的三角形轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)，再平移一下，你發(fā)現(xiàn)了什么？

生：兩個三角形重合了。

二組代表1：這說明了什么？

生：我明白了！我們兩個圍成的其實是同一種三角形，只是因為一開始擺放的角度不大一樣，我把它們當(dāng)成兩種了。這說明，用3根不同長度的小棒圍，確實只能圍成形狀和大小都一樣的一種三角形。

二組代表2：我來接著說，用4根長度不全一樣的小棒能圍出好多種不同形狀和大小的四邊形。我們小組的發(fā)現(xiàn)是，用3根不同長度的小棒只能圍成一種三角形，用4根長度不全一樣的小棒能圍出很多種四邊形。

師：（課件依次演示，形成圖4）當(dāng)三角形的3條邊長度確定時，它的形狀和大小就是唯一確定的。這就是三角形的穩(wěn)定性。

師：老師注意到，剛剛有同學(xué)在拉圍成的三角形和四邊形。你們有什么新發(fā)現(xiàn)？

生：（拿教具演示）三角形怎么拉都拉不動，也不變形，四邊形輕輕一拉就變成了其他的四邊形。

師：正是因為三角形具有穩(wěn)定性，更牢固、更安全，它才被廣泛應(yīng)用到建筑和日常用品中。在發(fā)生地震時，及時躲到活命三角區(qū)（課件演示如圖5）可以保護我們的生命！

【思考】認識三角形的關(guān)鍵是充分激活學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，讓學(xué)生循著一定的認知框架循序漸進地展開數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動。本環(huán)節(jié)分成四個有機關(guān)聯(lián)的環(huán)節(jié)：①以問引學(xué)，搭建認識框架。激活學(xué)生原有的認識圖形的方法和經(jīng)驗，讓學(xué)生通過遷移類推提出自己想要研究的與三角形有關(guān)的數(shù)學(xué)問題，既有助于調(diào)動學(xué)生的思維熱情，又有利于學(xué)生帶著問題開展有結(jié)構(gòu)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動。②自由表達，暴露認識誤區(qū)。有效的學(xué)習(xí)活動要針對學(xué)生的思維誤區(qū)或者思維盲區(qū)展開。讓學(xué)生自由表達自己心目中三角形的定義，就暴露出了學(xué)生已有認識中不嚴(yán)謹?shù)囊幻妗Ｍㄟ^提供典型反例，引發(fā)學(xué)生的自省自悟，使學(xué)生產(chǎn)生對三角形定義進行更嚴(yán)謹表述的內(nèi)驅(qū)力。③畫圖分析，提升認識程度。教師出示“畫一個你喜歡的三角形”的學(xué)習(xí)任務(wù)，既豐富了學(xué)生動手“做”數(shù)學(xué)的經(jīng)驗，也為后續(xù)完善對三角形的認識提供了分析素材。“看得見的數(shù)學(xué)形象”會放大學(xué)生已有認知中的謬誤之處，激勵學(xué)生自主完成改正錯誤、提升認識的學(xué)習(xí)進階。④感悟特性，增進認識深度。“三角形的應(yīng)用特別廣泛，為什么？”這是由三角形自身的本質(zhì)屬性所決定的。但小學(xué)生認識到這一點殊為不易，教師單純地告知并不能引發(fā)學(xué)生的深度認知。這里特意安排了一個“用小棒圍三角形和四邊形，各能圍出幾種”的對比性操作實驗活動，充分調(diào)動學(xué)生觀察、操作、比較、歸納、概括等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動方式，引導(dǎo)學(xué)生通過小組合作、討論交流，自主探究三角形的穩(wěn)定特性，發(fā)展抽象概括能力、推理能力、空間觀念。耐人尋味的是，教師還引導(dǎo)學(xué)生與“拉一拉變不變形”的具身活動經(jīng)驗相結(jié)合，提供了“活命三角區(qū)”的直觀圖示，從多個維度幫助學(xué)生增進了對三角形特性的認識深度。

三、用數(shù)學(xué)的工具操作，體會三角形

師：（課件出示圖6）同學(xué)們看，有一條線段BC，想要利用它畫出三角形，第三個頂點可以在哪里？

生：點A、點D都可以，點E不行。

師：點E為什么不行？

生：因為三角形的3個頂點不能在同一條直線上。如果3個點在同一條直線上，這3個點不可能構(gòu)成一個三角形。

師：（課件出示圖7）說得真好！這2個三角形有什么不一樣嗎？

生：三角形ABC高，三角形BCD矮。

師：你是怎么比出來的？

生：比的是頂點A、頂點D分別到底邊BC的線段的長。

師：從點A到線段BC畫線段，從點D到線段BC畫線段，應(yīng)該有很多條。是隨便畫一條線段來比嗎？

生：不是隨便一條！只能是點A或點D到邊BC的垂線段。

師：（課件出示這兩個三角形的高線）你發(fā)現(xiàn)了三角形的高，了不起！請大家打開課本，認真閱讀什么是三角形的高。

生：從三角形的一個頂點到它的對邊作一條垂線，頂點和垂足之間的線段叫作三角形的高。AF是三角形ABC的高，DG是三角形BCD的高。（教師結(jié)合課件配合演示，圖略）

師：同學(xué)們看，（課件演示隱去三角形ABC的兩邊，如圖8）想到了什么？

生：畫三角形的高，其實就是我們學(xué)過的過直線外一點作已知直線的垂線段。

師：原來畫三角形的高我們并不陌生?。∧隳苈?lián)系以前學(xué)過的舊知識解釋今天遇到的新問題，這是學(xué)習(xí)新知識的好辦法。我們都應(yīng)該向你學(xué)習(xí)！

師：黑板上如果沒有方格，你們還會畫高嗎？誰能上來邊畫高邊給大家介紹一下畫法？

生：我來試試！首先請出咱們的好朋友三角板。第一步“合”，使它的一條直角邊與三角形的底邊重合；第二步“移”，平移三角板，使另一條直角邊經(jīng)過頂點A；第三步“畫”，沿三角板的另一條直角邊畫高；最后“標(biāo)”，標(biāo)上直角符號，寫上“高”。頂點A所對的這條邊叫作三角形的底。

師：你這數(shù)學(xué)老師當(dāng)?shù)貌诲e?。‘嫷靡?guī)范認真，介紹得也精彩！合、移、畫、標(biāo)，這就是畫高四步法。請大家按照畫高四步法在練習(xí)紙上畫出這3個三角形（如圖9）的高。

師：都畫對了嗎？真是厲害！給自己鼓鼓掌吧！仔細觀察，你們還有什么發(fā)現(xiàn)？

生：我發(fā)現(xiàn)，在直角三角形中，以一條直角邊為底，另一條直角邊就是它的高。

師：你的眼光不錯??！剛才我發(fā)現(xiàn)，每個三角形大家好像都只畫出了1條高。你們有沒有思考過一個問題，三角形只有1條高嗎？

有的學(xué)生說“是”，也有的說“不是”。

師：（點名問一個說“不是”的學(xué)生）你是怎么認為的？

生：每個三角形應(yīng)該都有3條高吧。因為三角形有3個頂點，3個頂點對著3條底邊，從3個頂點出發(fā)分別到對邊畫的垂線段都是三角形的高，所以三角形有3條高！

（教師課件動畫演示，畫出△ABC的3條高）

【思考】三角形的高是認識三角形的關(guān)鍵要素之一。但生活中對高的界定與數(shù)學(xué)中對三角形的高的界定有諸多不同，這在一定程度上干擾了學(xué)生建立三角形高的正確認知。為了排除干擾，幫助學(xué)生清晰、準(zhǔn)確地理解三角形高的含義，這里組織了兩個層次的學(xué)習(xí)活動：①把高比出來。舍棄復(fù)雜的生活背景，代之以簡約的方格圖背景，通過比較高矮懸殊的兩個三角形，讓學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)三角形的高，建立三角形的高的清晰表象。在此基礎(chǔ)上，讓學(xué)生閱讀課本上的定義，實現(xiàn)感性經(jīng)驗和書面經(jīng)驗的有機呼應(yīng)。②把高畫出來。激活學(xué)生學(xué)過的過直線外一點作已知直線的垂線段的作圖經(jīng)驗，讓學(xué)生借助三角板工具嘗試畫三角形的高。除了安排形式多樣的畫高變式練習(xí)，還引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合三角形的特點分析得出“三角形有3條高”的結(jié)論。

四、用數(shù)學(xué)的素養(yǎng)解題，用活三角形

師：你能用今天學(xué)到的本領(lǐng)解決幾個問題嗎？

（課件出示練習(xí)題）

1.蓋房時，在窗框未安裝好之前，木工師傅常常先在窗框上斜釘一根木條，為什么這樣做呢？（如圖10）

2.以AB為底邊，畫出高3厘米的三角形，能畫出幾個三角形？（如圖11）

學(xué)生先獨立解決每個問題，然后全班交流。學(xué)生互評，教師點撥。

【思考】通俗地講，在數(shù)學(xué)教學(xué)中發(fā)展核心素養(yǎng)主要是培養(yǎng)學(xué)生在真實情境中運用數(shù)學(xué)知識和技能解決問題的能力。因此，要想方設(shè)法把練習(xí)設(shè)計成運用數(shù)學(xué)知識和技能解決問題的活動。本節(jié)課的第一道練習(xí)，主要考查的是學(xué)生運用三角形的穩(wěn)定性解釋生活現(xiàn)象的能力。第二道練習(xí)具有較強的開放性，學(xué)生通過想象和操作活動尋找三角形的第三個頂點，會發(fā)現(xiàn)符合條件的第三個頂點有無數(shù)個，涵蓋了本單元要繼續(xù)學(xué)習(xí)的各種類型的三角形。完成這個練習(xí)的過程中有觀察、有想象、有操作、有思考、有表達，獨立思考和合作交流結(jié)合，較為充分地發(fā)展了學(xué)生的核心素養(yǎng)。

五、用數(shù)學(xué)的學(xué)法串接，拓展三角形

師：通過今天的學(xué)習(xí)，你們都有哪些收獲？

生：認識圖形可以從意義、特征和用途三個方面來研究。

生：三角形和“3”關(guān)系最密切，3條邊、3個角、3個頂點、3條高。

生：畫高四步法很好用！

生：因為三角形的穩(wěn)定性，它在生活中應(yīng)用特別廣泛。

師：大家的收獲真不少！你們還想研究有關(guān)三角形的哪些問題？

生：任意3條線段都可以圍成三角形嗎？

生：除了直角三角形，還有其他類型的三角形嗎？

生：鈍角三角形有1條高不太好畫，有什么好辦法嗎？

師：請帶著這些好問題，繼續(xù)你們的三角形學(xué)習(xí)之旅吧！

【思考】經(jīng)歷“從問題出發(fā)→實施問題解決活動→提出新的問題→投入到新一輪問題解決活動中”如此循環(huán)往復(fù)螺旋上升的過程，是學(xué)好數(shù)學(xué)應(yīng)遵循的基本進程，也是學(xué)生學(xué)會學(xué)習(xí)的重要體現(xiàn)。本環(huán)節(jié)先讓學(xué)生分享知識與技能、學(xué)習(xí)方法兩個層面的收獲，再由學(xué)生提出后續(xù)想研究的新問題，既激發(fā)了學(xué)生自主學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情，也按下了展開新一輪數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動的啟動鍵。以序列化的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動為基礎(chǔ)，把發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)落實、落細、落深并形成聚合效應(yīng)，這是我們從此次“三角形的認識”教學(xué)實踐中提煉出的最重要的經(jīng)驗。

（作者單位：淄博師范高等?？茖W(xué)校）