范月娥

［摘? 要］ 幾何直觀是現(xiàn)代人認(rèn)識(shí)世界所必備的素養(yǎng)，它能給人以強(qiáng)烈的直觀印象. 在數(shù)學(xué)教學(xué)中，幾何直觀的作用在于將抽象的邏輯規(guī)律體現(xiàn)在具體的圖形中，讓抽象的數(shù)學(xué)邏輯關(guān)系變得具體生動(dòng). 幾何作為培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理能力課程的踐行，最早可追溯至古希臘時(shí)期的柏拉圖學(xué)園，之后一直延續(xù)到現(xiàn)代數(shù)學(xué)的教學(xué).

［關(guān)鍵詞］ 新課標(biāo)；幾何直觀；核心素養(yǎng)

以幾何圖形為載體來(lái)發(fā)展學(xué)生的邏輯思維能力是新課標(biāo)對(duì)發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)所提出的目標(biāo)之一. 從學(xué)生角度來(lái)看，學(xué)習(xí)幾何知識(shí)可以為數(shù)學(xué)知識(shí)的探究與推理提供便利，并且能為其理解與洞察更為抽象的數(shù)學(xué)內(nèi)容與結(jié)構(gòu)搭建橋梁. 從教師的角度來(lái)看，對(duì)學(xué)生幾何直觀素養(yǎng)的發(fā)展需要落實(shí)到常態(tài)課中，讓學(xué)生將圖形學(xué)習(xí)作為感知幾何圖形、理解圖形性質(zhì)、探究幾何規(guī)律的認(rèn)知工具，以此來(lái)發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)，讓幾何教學(xué)更加貼近新課標(biāo)的要求. 如何在新課標(biāo)旗幟的引領(lǐng)下更好地發(fā)展學(xué)生的幾何直觀素養(yǎng)是教師們熱議的話題，筆者以為，幾何直觀素養(yǎng)的形成關(guān)鍵是“識(shí)圖”，即認(rèn)識(shí)基本圖形，知道基本圖形的變換及組合，能夠自行推導(dǎo)出由簡(jiǎn)單圖形到復(fù)雜圖形的變化. 本文以“正方形經(jīng)典問(wèn)題的深入探究”為例，就如何在新課標(biāo)的背景下發(fā)展初中生的幾何直觀素養(yǎng)談?wù)勛约旱睦斫猓?/p>

在初中幾何教學(xué)中，線段、多邊形、圓等基本圖形是組成所有幾何圖形的基本單位. 在錯(cuò)綜變化的圖形中，幾何模型的重要性不言而喻，一切復(fù)雜圖形都是由簡(jiǎn)單模型變化而來(lái)，因此培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀素養(yǎng)可以從認(rèn)識(shí)并探索經(jīng)典幾何模型來(lái)切入.

我思故我在：基礎(chǔ)切入、課前熱身

直觀性是幾何圖形最明顯的特點(diǎn)，發(fā)展學(xué)生的幾何直觀素養(yǎng)也應(yīng)從簡(jiǎn)單的圖形入手. 在常態(tài)課教學(xué)中，以基礎(chǔ)問(wèn)題作為幾何教學(xué)的切入點(diǎn)，不僅可以給學(xué)生樹(shù)立學(xué)好本節(jié)課內(nèi)容的信心，而且能夠強(qiáng)化學(xué)生對(duì)基本幾何模型重要性的認(rèn)識(shí).

引例：如圖1，△ABC是等邊三角形，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，∠AEF=60°，EF交等邊三角形外角平分線CF于點(diǎn)F，AE和EF有何數(shù)量關(guān)系？

問(wèn)題分析? 該問(wèn)題有多種解法，如方法1：如圖2，連接AF，易證△AEC≌△AFC，進(jìn)而證得△AEF是等邊三角形使問(wèn)題得到解決. 方法2：如圖3，等邊三角形是圖中的基本圖形，由等邊三角形的外角平分線易得60°的角，結(jié)合等邊三角形的內(nèi)角及已知的∠AEF=60°，可以通過(guò)截取CG=CF來(lái)實(shí)現(xiàn)在直線BC上再作一個(gè)60°的角，構(gòu)造“一線三等角”模型來(lái)解決問(wèn)題. 方法3：如圖4，通過(guò)等角可知AB∥CF，延長(zhǎng)AB與FE，交于點(diǎn)G，構(gòu)造“8字型”全等來(lái)證得EG=EF，再通過(guò)“等角對(duì)等邊”得到EG=AE，從而使問(wèn)題得到解決.

設(shè)計(jì)意圖? 上述圖形中的模型較為明顯，圖2中的“手拉手”模型，圖3中的“一線三等角”模型及圖4中的“8字型”均為常見(jiàn)的幾何模型，因此以該問(wèn)題作為正方形經(jīng)典問(wèn)題的鋪墊，一方面給學(xué)生指引思考問(wèn)題的方向，另一方面讓學(xué)生體會(huì)多邊形之間的相互聯(lián)系及區(qū)別.

我在故我想：呈現(xiàn)經(jīng)典、積極思考

由簡(jiǎn)單問(wèn)題過(guò)渡至對(duì)經(jīng)典問(wèn)題的探究，符合學(xué)生的認(rèn)知梯度，也能遵循學(xué)生的素養(yǎng)形成規(guī)律. 同時(shí)，以“經(jīng)典”來(lái)定義探究對(duì)象，可以引起學(xué)生對(duì)該問(wèn)題的重視，加深其印象，并有效調(diào)動(dòng)其自主參與、主動(dòng)思考的積極性.

經(jīng)典問(wèn)題：如圖5，已知四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)E是邊BC上的中點(diǎn)，∠AEF=90°，且EF交正方形外角平分線CF于點(diǎn)F，AE和EF有何數(shù)量關(guān)系？

問(wèn)題分析? 以上述等邊三角形問(wèn)題的解答作為鋪墊，該問(wèn)題也有多種解法. 方法1：如圖6，取AB的中點(diǎn)G，連接GE，利用“ASA”證明△EAG與△FEC全等. 方法2：如圖7，連接AC，過(guò)點(diǎn)E作BC的垂線，交AC于點(diǎn)G，可證△AEG≌△FEC. 方法3：如圖8，首先過(guò)點(diǎn)E作BC的垂線，交FC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，接著過(guò)點(diǎn)F作BC延長(zhǎng)線的垂線，垂足為G，證明時(shí)，可先由△CEH與△CGF的“8字型”全等得出EC=GC，接著可利用“一線三等角”證明△ABE≌△EGF，也可在這兩個(gè)直角三角形中借助∠BAE=∠GEF，用銳角三角函數(shù)去證明邊邊之比相等.

設(shè)計(jì)意圖? 此題是人教版八年級(jí)下冊(cè)“第十八章 平行四邊形”的章節(jié)復(fù)習(xí)題，圖為正方形經(jīng)典模型“K字型”，將此問(wèn)題作為引例后的例題讓學(xué)生展開(kāi)探究，能夠體現(xiàn)出三角形與正方形之間的關(guān)聯(lián)，給學(xué)生指明解決問(wèn)題的方向. 同時(shí)，該問(wèn)題難度適宜，適合學(xué)生開(kāi)展深入探究，也有利于培養(yǎng)學(xué)生對(duì)幾何問(wèn)題多方位觀察與思考，以求一題多解的習(xí)慣.

我想故我變：一題多變、勇于嘗試

幾何圖形的魅力在于它的“變”，幾何直觀素養(yǎng)的形成不僅要求學(xué)生具備“變”的能力，還要求學(xué)生擁有“應(yīng)變”的技能. 一題多變是幾何教學(xué)中常用的方法，特殊點(diǎn)位置的改變、條件和結(jié)論的互換等都是常見(jiàn)的變式，它可以打開(kāi)學(xué)生的思維，讓學(xué)生體會(huì)“變”中的“不變”，從而能夠主動(dòng)思考. 在此，筆者建議教師在教學(xué)中盡量讓學(xué)生自主嘗試去“變”，這樣才能有效激發(fā)學(xué)生的高階思維，讓學(xué)生形成自己的幾何直觀素養(yǎng).

變1：改變特殊點(diǎn)的位置

我是命題人：已知四邊形ABCD是正方形，______，∠AEF=90°，且EF交正方形外角平分線CF于點(diǎn)F，結(jié)論還成立嗎？

生1：如圖9，如果點(diǎn)E是邊BC上的任意一點(diǎn)，結(jié)論仍成立.

生2：如圖11，如果點(diǎn)E是邊BC延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，結(jié)論仍成立.

生3：如圖13，如果點(diǎn)E是邊BC反向延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，結(jié)論仍成立.

問(wèn)題分析? 如圖10，當(dāng)點(diǎn)E在BC邊上時(shí)，在AB邊上截取BG=BE，用“ASA”證明△AGE≌△ECF，即可證得結(jié)論；如圖12，當(dāng)點(diǎn)E在BC延長(zhǎng)線上時(shí)，可延長(zhǎng)BA至點(diǎn)G，使AG=CE，用“ASA”也可證明△AGE≌△ECF，結(jié)論成立；如圖14，當(dāng)點(diǎn)E在邊BC的反向延長(zhǎng)線上時(shí)，可延長(zhǎng)AB至點(diǎn)G，使得BG=BE，同樣可用“ASA”證明△AGE≌△ECF，結(jié)論依舊成立.

變2：將條件和結(jié)論互換

生4：如圖5，已知四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)，AE=EF，且EF交正方形外角平分線CF于點(diǎn)F，求證：∠AEF=90°.

生5：如圖5，已知四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)，∠AEF=90°，AE=EF，求證：CF是正方形外角平分線.

問(wèn)題分析? 在上述兩個(gè)變式中，如圖15，對(duì)于問(wèn)題1，可以過(guò)點(diǎn)F作BC延長(zhǎng)線的垂線，垂足為G，根據(jù)條件易證AB=EG，再結(jié)合題干條件AE=EF，可用“HL”來(lái)證得Rt△BAE與Rt△GEF全等，進(jìn)一步證明∠AEB+∠FEG=90°即可；問(wèn)題2是典型的“一線三等角”，可以作出與問(wèn)題1同樣的輔助線，用“AAS”可證△BAE≌△GEF，進(jìn)而證出CG=FG即可.

變3：變“靜態(tài)”為“動(dòng)態(tài)”

師：如圖16，在正方形ABCD中，點(diǎn)E是BC邊上的動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)C、B重合），∠AEF=90°，AE=EF，連接AF，DF，已知AB=4，求△ADF周長(zhǎng)的最小值.

問(wèn)題分析? 在幾何圖形中，解決動(dòng)態(tài)問(wèn)題的原則是化“動(dòng)”為“靜”、“動(dòng)”中取“靜”，由圖17可知，△ADF的三邊中，AD為定值，當(dāng)AF+DF的值最小時(shí)，△ADF的周長(zhǎng)最小，問(wèn)題即可化為“將軍飲馬”模型. 由上述變式可證CF是∠DCG的角平分線，因此過(guò)點(diǎn)D作CF的垂線，交BC延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，則點(diǎn)G為點(diǎn)D關(guān)于CF的對(duì)稱點(diǎn)，從而DF=GF，AF+DF=AF+GF，當(dāng)A、F、G三點(diǎn)共線時(shí)周長(zhǎng)最小，根據(jù)正方形的邊長(zhǎng)求出最小值即可.

設(shè)計(jì)意圖? 由改變特殊點(diǎn)的位置到條件與結(jié)論的互換再到變“靜態(tài)”為“動(dòng)態(tài)”，體現(xiàn)了思維的上升及發(fā)散. 在常態(tài)課的變式練習(xí)中，改變特殊點(diǎn)的位置較為常見(jiàn)，所以讓學(xué)生自主變形與探討；將條件與結(jié)論互換是思維的升華，學(xué)生在教師的引導(dǎo)下進(jìn)行變形與解答；變“靜態(tài)”為“動(dòng)態(tài)”則是思維的一次跳躍，學(xué)生可以在教師的引導(dǎo)下體悟其與上述問(wèn)題之間的內(nèi)在聯(lián)系，以此來(lái)形成對(duì)幾何圖形之“變”的直觀感受，內(nèi)化“模型”與“結(jié)論”的依存關(guān)系，提升幾何直觀素養(yǎng).

我變故我樂(lè)：開(kāi)拓創(chuàng)新、挑戰(zhàn)自我

學(xué)生的潛力總是超乎我們的想象，學(xué)生對(duì)知識(shí)的認(rèn)知程度同樣不可估量，因此初中數(shù)學(xué)教師在常態(tài)課教學(xué)中應(yīng)盡量給課堂“留白”，給學(xué)有余力的學(xué)生以充足的空間，讓其不斷發(fā)展與超越.

師：請(qǐng)你仔細(xì)領(lǐng)悟梳理例題與變式的變換思路及解題過(guò)程，并嘗試以此為依據(jù)，在正五邊形中推廣一個(gè)類似的真命題.

如圖18，在正五邊形ABCDE中，G為BC邊上任意一點(diǎn)，______，則：AG=GF. （請(qǐng)補(bǔ)全圖形并解答）

猜想：如圖19，在正n邊形ABCDEF…中，N是BC邊上任意一點(diǎn)，CI是正n邊形的角平分線，當(dāng)∠ANI=______度時(shí)，AN=NI成立.

問(wèn)題分析? 如圖20，將前面證明AE=FE的方法遷移到該問(wèn)題中來(lái)，構(gòu)造全等三角形即可得證，因此在AB上取點(diǎn)H，使得HB=GB，在構(gòu)造該三角形的過(guò)程中會(huì)發(fā)現(xiàn)，∠FGC=180°-∠AGF-∠AGB，∠GAH=180°-∠B-∠AGB，若∠FGC=∠GAH，則需∠AGF=∠B，由此可以猜想在正n邊形中，若結(jié)論成立，則∠ANI與多邊形的內(nèi)角相等.

設(shè)計(jì)意圖? 由正三角形到正方形再到正五邊形乃至正n邊形的變式，在知識(shí)上是一個(gè)階梯上升、逐層遞進(jìn)的過(guò)程，可以讓學(xué)生很直觀地體會(huì)到多邊形之間的聯(lián)系，從而領(lǐng)悟到幾何圖形的一致性與連續(xù)性，助推著學(xué)生幾何直觀素養(yǎng)的形成；而在思維上，該過(guò)程引導(dǎo)學(xué)生不斷深入思考、深層探究，正是由低階思維向高階思維轉(zhuǎn)化的實(shí)現(xiàn)過(guò)程.

人對(duì)空間與圖形的視覺(jué)是一種本能，因此幾何的教學(xué)應(yīng)立足于低起點(diǎn)，讓學(xué)生在簡(jiǎn)單的基本圖形中形成最初的幾何直觀素養(yǎng). 同時(shí)，幾何直觀素養(yǎng)的形成也有賴于圖形的各種性質(zhì)及內(nèi)在的邏輯素養(yǎng)，所以幾何課程是形成素養(yǎng)的必要途徑，同一圖形的多角度變換及不同圖形之間的共性需要教師引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)從多角度、多方位來(lái)審查問(wèn)題. 幾何有著雙重性質(zhì)：既可以作為探索空間關(guān)系的工具，又可以作為一套公理系統(tǒng)來(lái)學(xué)習(xí)演繹推理. 幾何直觀素養(yǎng)是高階思維的體現(xiàn). 低起點(diǎn)、多角度、高落點(diǎn)是發(fā)展初中生幾何直觀素養(yǎng)所應(yīng)遵循的基本原則和依據(jù)，以基本圖形作為“樹(shù)干”，讓其全方位伸展出多個(gè)“枝節(jié)”，長(zhǎng)成“參天大樹(shù)”來(lái)承載孩子的不斷成長(zhǎng). 題外生枝，別有風(fēng)情.