摘要：數(shù)據(jù)意識(shí)是指對(duì)數(shù)據(jù)的意義和隨機(jī)性的感悟。平均數(shù)的教學(xué)是培養(yǎng)數(shù)據(jù)意識(shí)的重要內(nèi)容。特級(jí)教師徐斌執(zhí)教“平均數(shù)”，圍繞一場(chǎng)比賽中產(chǎn)生的各種數(shù)據(jù)進(jìn)行討論，一步步引出平均數(shù)意義。課堂上聚焦數(shù)據(jù)，引導(dǎo)學(xué)生在熟悉的情境中理解平均數(shù)的代表性、區(qū)間性、虛擬性和敏感性。

關(guān)鍵詞：數(shù)據(jù)意識(shí)；平均數(shù)；移多補(bǔ)少；統(tǒng)計(jì)意義

中圖分類號(hào)：G623.56 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：B 文章編號(hào)：1673-4289（2024）06-0039-05

數(shù)據(jù)意識(shí)是指對(duì)數(shù)據(jù)的意義和隨機(jī)性的感悟，平均數(shù)的教學(xué)離不開(kāi)數(shù)據(jù)。如何讓學(xué)生對(duì)數(shù)據(jù)感興趣？如何讓學(xué)生直觀感悟平均數(shù)的統(tǒng)計(jì)意義？游戲是一個(gè)好的載體。全國(guó)知名特級(jí)教師徐斌執(zhí)教四年級(jí)“平均數(shù)”，課堂上徐老師邀請(qǐng)孩子們擔(dān)當(dāng)套圈游戲裁判，在徐老師激情推動(dòng)下，孩子們不知不覺(jué)“入彀”，在討論交流中聚焦數(shù)據(jù)意識(shí)，在思考辨析中感悟平均數(shù)統(tǒng)計(jì)意義。

[課堂片段]

師：這節(jié)課，我們從套圈游戲開(kāi)始，徐老師想邀請(qǐng)?jiān)谧母魑划?dāng)套圈比賽的裁判，你愿意嗎？請(qǐng)看，是哪些人在進(jìn)行比賽呢？

生：是四年級(jí)第一小組的男生和女生。

師：男生隊(duì)出場(chǎng)了！派出了幾個(gè)人？為了公平公正，女生隊(duì)呢？男生隊(duì)先套，每人發(fā)15個(gè)圈，這4個(gè)人套中的一樣多嗎？

生：不一定。

師：不過(guò)這次真巧，男生隊(duì)每人都套中7個(gè)，可以用幾表示男生隊(duì)的整體水平？再看女生，整體水平用幾表示？（圖1）哪個(gè)隊(duì)贏了？

（開(kāi)展第二輪比賽）

師：輪到女生隊(duì)了。哎！有套得多的，也有套得少的。（圖2）第二場(chǎng)比賽哪個(gè)隊(duì)贏了呢？你們是怎么想的？

生：求平均。

師：求平均？需要那么麻煩嗎？

生：可以把他們一共套中的加起來(lái)，然后再比大小。

師：可不可以？大家一起算一算。

生1：男生隊(duì)是28個(gè)。

師：你是怎么算的？

生1：6+9+7+6等于28個(gè)。

生2：女生套中10+4+7+5=26。

師：男生一共套中28個(gè)，女生一共套中26個(gè)。第二場(chǎng)比賽哪個(gè)隊(duì)贏了？

[賞析]游戲是迷人的，但比游戲更迷人的是數(shù)學(xué)思考。徐老師邀請(qǐng)孩子們當(dāng)套圈游戲的裁判，十分自然地把孩子的注意力由好玩引向?qū)Α疤字袀€(gè)數(shù)”的關(guān)注。圖1以條形統(tǒng)計(jì)圖為載體，直觀呈現(xiàn)圖形與數(shù)據(jù)，初步感知平均數(shù)特征。第二場(chǎng)比賽各隊(duì)還“平均”嗎？作為裁判你是怎么想的？用真實(shí)的問(wèn)題倒逼學(xué)生思考，在問(wèn)題驅(qū)動(dòng)下，孩子們踴躍發(fā)言，且能嘗試著用數(shù)據(jù)說(shuō)話。

[課堂片段]

師：這時(shí)女生隊(duì)又提了個(gè)要求、說(shuō)我們?cè)俦纫粓?chǎng)吧！還是男生隊(duì)先套，哎！真巧，好像和第一次一樣。

師：輪到女生套了，這時(shí)女生弱弱地提了個(gè)要求，說(shuō)我們?cè)倥蓚€(gè)人吧，男生竟然答應(yīng)了。于是女生又派了一個(gè)人，她也套中了6個(gè)（圖3）。

師：第三場(chǎng)比賽結(jié)束了，請(qǐng)同桌的兩個(gè)裁判，交換一下你們的判斷。認(rèn)為女生贏的舉手！舉手多就一定對(duì)嗎？能不能派個(gè)代表說(shuō)一下你為什么認(rèn)為女生贏了？

生：因?yàn)槲覀兛吹剑慕y(tǒng)計(jì)圖有5個(gè)6，5×6=30，男生是4個(gè)7，4×7=28，30比28大。

師：一般人都是這么想的吧。但是我發(fā)現(xiàn)你一直沒(méi)有舉手，我想請(qǐng)你表達(dá)一下，你認(rèn)為哪個(gè)隊(duì)贏了？

生：男生。

師：為什么？

生：因?yàn)槟猩摹爸睏l”要高一些。

師：有道理！我們剛才說(shuō)是男生隊(duì)贏還是女生隊(duì)贏要比什么？

生：平均每個(gè)人的。

師：那叫什么水平？

生：整體水平。

師：大家把手伸出來(lái)比畫(huà)一下，男生隊(duì)的整體水平是幾？女生我也不看你人數(shù)，只看整體水平，是幾？

師：同學(xué)們眼睛睜大一點(diǎn)，哪個(gè)隊(duì)整體水平高？

生：男生。

師：對(duì)呀，因此第三場(chǎng)比賽其實(shí)是哪個(gè)隊(duì)贏了？

[賞析]當(dāng)人數(shù)不等時(shí)比總數(shù)還公平嗎？作為裁判你覺(jué)得“怎么比”才公平？?jī)和翘焐膶W(xué)習(xí)者，兒童的“直覺(jué)”是敏感而細(xì)膩的，通過(guò)看圖，有孩子發(fā)現(xiàn)，男生是“平均”的，女生也是“平均”的，但男生的“直條”要高一些，這是孩子們對(duì)“平均”的一種原始的、樸實(shí)的、直觀的感覺(jué)。當(dāng)人數(shù)變化時(shí)，作為裁判的我們不能只盯著總數(shù)，而要看他們的整體水平。

[課堂片段]

師：這時(shí)女生隊(duì)又提了個(gè)要求，說(shuō)我們?cè)賮?lái)一場(chǎng)決賽吧！好，男生先套，真巧，好像和第二次一樣（圖4）。輪到女生了，已經(jīng)有5個(gè)女生在臺(tái)上啦，像這樣只比總和公平嗎？

生：不公平。

師：再看男生套中的有多有少，女生套中的也是有多有少，能像前面那樣一眼看出整體水平嗎？這時(shí)候就需要一個(gè)新的統(tǒng)計(jì)量來(lái)幫忙，就是我們今天要學(xué)習(xí)的，叫做什么呢？

生：平均分。

師：二年級(jí)學(xué)什么運(yùn)算的時(shí)候?qū)W過(guò)平均分？

生：除法。

師：不過(guò)我們今天不學(xué)平均分，今天學(xué)習(xí)的叫平均數(shù)。平均數(shù)也有“平均”兩個(gè)字，那跟我們已學(xué)過(guò)的平均分會(huì)不會(huì)有聯(lián)系呢？

生：沒(méi)有。

師：不要輕易下結(jié)論喲，接下來(lái)我們來(lái)找平均數(shù)。我一看這個(gè)9挺可愛(ài)的，我想用9代表男生隊(duì)的整體水平，你覺(jué)得能代表嗎？那我換一個(gè)，我換最小的6，6能代表嗎？那你們說(shuō)，這個(gè)代表整體水平的平均數(shù)，應(yīng)該比9要怎么樣？

生：小。

師：比6要怎么樣？

生：大。

師：你們是說(shuō)平均數(shù)是有范圍的。它在最大和最小之間。眼力好的人估計(jì)已經(jīng)找到了，誰(shuí)找到了？

生：是7。

師：你是怎么找到的？

生：因?yàn)?比9要小，7又比6要大。

師：那為什么不找8呢？

生：沒(méi)有8。

師：哈哈真可愛(ài)，請(qǐng)坐，有沒(méi)有哪個(gè)說(shuō)得更清楚一點(diǎn)？

[賞析]游戲是把“學(xué)”更好地寓于“玩”中，通過(guò)“玩”實(shí)現(xiàn)更好地“學(xué)”。第四場(chǎng)比賽，人數(shù)不同，每個(gè)人套中的個(gè)數(shù)電不同，這時(shí)如何比輸贏？在看似“山窮水盡”時(shí)引入一個(gè)新的統(tǒng)計(jì)量“平均數(shù)”讓課堂再次“柳暗花明”。誰(shuí)能代表這個(gè)平均數(shù)呢？在詼諧幽默的對(duì)話中，孩子們不僅知道平均數(shù)可以用來(lái)代表小組的整體水平，而且知曉平均數(shù)是有“區(qū)間”范圍的。

[課堂片段]

師：如果9上面這兩個(gè)方格能夠移動(dòng)的話會(huì)怎么樣？誰(shuí)來(lái)說(shuō)說(shuō)？這位女生，對(duì)！就是你。

生：就是把9上面兩個(gè)格子一個(gè)放到前面6的上面，另一個(gè)放到后面6的上面。

師：大家看，9拿一個(gè)格給前面的6，再拿一個(gè)格給后面的6，現(xiàn)在所有人看上去都是幾了（圖5）？

生：7。

師：對(duì)，7就是什么數(shù)？

生：平均數(shù)。

師：這種方法挺好的，把多的移過(guò)來(lái)補(bǔ)給少的，可以叫什么？

生：移多補(bǔ)少。

師：這是眼力好的人能看出來(lái)的。誰(shuí)能根據(jù)剛才第一步算的結(jié)果，再進(jìn)一步算出平均數(shù)？

師：這位同學(xué)算出來(lái)的平均數(shù)是幾??？

生：7。

師：我有問(wèn)題，這28和4是哪里來(lái)的？

生：28是6+9+7+6加出來(lái)的，這個(gè)4就是那4個(gè)男生。

師：為什么要用除法？

生：因?yàn)樗乔笃骄鶖?shù)。

師：我還不明白為什么要除以47誰(shuí)能說(shuō)得更清楚些？

生：因?yàn)?8是加起來(lái)的總個(gè)數(shù)，他們有4個(gè)人，所以要把它平均分成4份。

師：掌聲送給這位同學(xué)！請(qǐng)坐！大家有沒(méi)有注意他剛才用了一個(gè)詞啊？對(duì)，就是把28平均分給4個(gè)人，這樣得到了平均數(shù)7。

師：平均數(shù)跟以前學(xué)過(guò)的平均分有沒(méi)有聯(lián)系??？是有聯(lián)系的，先求出它們的和，簡(jiǎn)稱“求和”，然后再除，這種方法連起來(lái)就叫“求和平分”。

[賞析]將條形統(tǒng)計(jì)圖置于方格圖中，直觀的視覺(jué)沖擊讓學(xué)生有一種通過(guò)移多補(bǔ)少“勻一勻”的沖動(dòng)。將所有的個(gè)數(shù)“勻一勻”，勻成一樣多后再進(jìn)行比較，這個(gè)“一樣多”的數(shù)叫平均數(shù)，最能代表男、女生的整體水平，用其進(jìn)行比較更合理?！盀槭裁匆?”不僅回應(yīng)了“平均數(shù)”與“平均”的聯(lián)系，而且揭示了求平均數(shù)的算術(shù)方法。

[課堂片段]

師：男生隊(duì)算出來(lái)了，該算哪個(gè)隊(duì)了？用什么方法呢？

生：移多補(bǔ)少。

師：大家說(shuō)平均數(shù)是幾？哪個(gè)同學(xué)愿意介紹一下你是怎么想的？

生：從10里拿出4個(gè)，分兩個(gè)給4，再分兩個(gè)給另外一個(gè)4，這樣兩個(gè)4都變成了6。

師：而5和7還不是一樣大呀。

生：我再把7分一個(gè)給5，這樣所有的數(shù)就都是6了（圖6）。

師：同意吧？這種方法叫什么？

生：移多補(bǔ)少法。

師：是不是有點(diǎn)復(fù)雜呀？有些同學(xué)是用“求和平分”算出來(lái)的。誰(shuí)來(lái)說(shuō)說(shuō)看？

生：先用10+4+7+5+4算出30，30除以5，算出6。

師：課上到現(xiàn)在，咱們簡(jiǎn)要回顧一下，今天我們認(rèn)識(shí)了一個(gè)新的統(tǒng)計(jì)量，叫做什么？

生：平均數(shù)。

師：哪個(gè)同學(xué)說(shuō)說(shuō)看，你覺(jué)得平均數(shù)是個(gè)什么樣的數(shù)？

生：每隊(duì)的平均量。

師：平均量。原來(lái)不一定平均，最后平均了。說(shuō)得不錯(cuò)！還有誰(shuí)要補(bǔ)充？

生：一組數(shù)的平均值。

師：嗯，平均值，有道理。有女生套中6個(gè)嗎？

生：沒(méi)有。

師：那為什么女生套中個(gè)數(shù)的平均數(shù)可以用6表示？大家可以討論討論。

生1：平均數(shù)表示的是這一組數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)，它更接近于一個(gè)中間的數(shù)。

生2：平均數(shù)有可能是一個(gè)“虛數(shù)”，小組中既可能有這樣“數(shù)”，也可能沒(méi)有這樣的“數(shù)”。

生3：平均數(shù)是一個(gè)平均值，猶如我們班級(jí)的平均成績(jī)可能帶小數(shù)，而實(shí)際上我們每個(gè)人的成績(jī)都是整數(shù)。

[賞析]數(shù)學(xué)不僅是運(yùn)算和推理的工具，還是表達(dá)和交流的語(yǔ)言?！捌骄鶖?shù)是個(gè)什么樣的數(shù)？”孩子們用自己的語(yǔ)言表征對(duì)平均數(shù)的理解，平均量、平均值、集中趨勢(shì)、接近于一個(gè)中間的數(shù)、“虛數(shù)”等，這些“原生態(tài)”的描述說(shuō)明孩子們對(duì)平均數(shù)的理解既感性又理性，既直觀又深刻?！?能作為女生套中個(gè)數(shù)的平均數(shù)嗎？”問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生討論平均數(shù)的實(shí)際意義，進(jìn)一步理解平均數(shù)的“代表性、虛擬性”，明確它可能“在”也可能“不在”這一組數(shù)據(jù)中。

[課堂片段]

師：剛才大家在求平均數(shù)的時(shí)候想出了兩種方法，一種方法叫什么？另一種方法叫什么？

生：移多補(bǔ)少，求和平分。

師：徐老師就在想啊，以后讓我求平均數(shù)，什么時(shí)候用移多補(bǔ)少法，什么時(shí)候用求和平分法呢？我們來(lái)看一個(gè)實(shí)際問(wèn)題。這里有三個(gè)筆筒，鉛筆分別是幾支？（圖6）

生：6支、7支、5支。

師：這三個(gè)數(shù)的平均數(shù)你能很快得到嗎？用什么方法特別快？

生：移多補(bǔ)少。

師：“變、變、變”，我把條形圖變成3條絲帶，大家看看哪一條最長(zhǎng)？

生：藍(lán)色。

師：哪一條最短？

生：粉紅色。

師：我現(xiàn)在用剪刀把它剪下來(lái)，移多補(bǔ)少，使他們最后變成一樣長(zhǎng)，哪位同學(xué)愿意來(lái)指揮徐老師？

（請(qǐng)了好多學(xué)生，又是說(shuō)，又是比畫(huà)，但誰(shuí)也說(shuō)不清楚，誰(shuí)也說(shuō)服不了誰(shuí)。漸漸地問(wèn)題變得聚焦，這個(gè)剪去或添上“一點(diǎn)點(diǎn)”，“一點(diǎn)點(diǎn)”是多少?。浚?/p>

師：誰(shuí)有辦法？

生：可以把它們畫(huà)成一些格子，這樣就知道他們有多少個(gè)格子。

師：不錯(cuò)，這個(gè)辦法已經(jīng)比剛才先進(jìn)一點(diǎn)了，有沒(méi)有更先進(jìn)一點(diǎn)的想法？

生：先算出粉色加藍(lán)色加黃色的總長(zhǎng)，再除以3。

師：要總長(zhǎng)，你得有什么呀？

生：數(shù)據(jù)。

師：對(duì)，沒(méi)有數(shù)據(jù)是不行的。

師：掌聲先送給這位同學(xué)。他覺(jué)得剛才為什么不清楚，得有什么呀？

生：數(shù)據(jù)。

師：為什么一開(kāi)始怎么都說(shuō)不清楚？現(xiàn)在我們能說(shuō)清楚，誰(shuí)幫了我們的忙？

師：對(duì)，數(shù)據(jù)。數(shù)據(jù)是有力量的。

[賞析]在大數(shù)據(jù)時(shí)代，用數(shù)據(jù)來(lái)分析和解決現(xiàn)實(shí)問(wèn)題應(yīng)成為一種習(xí)慣、一種觀念、一種素養(yǎng)，這是學(xué)生終身學(xué)習(xí)和可持續(xù)發(fā)展的基本途徑，是培養(yǎng)創(chuàng)新意識(shí)和實(shí)踐能力的基礎(chǔ)載體?！胺植蕩А笔切炖蠋煹囊粋€(gè)創(chuàng)舉。無(wú)論孩子們?cè)趺聪?、怎么比?huà)，反正就是無(wú)法平均分，其實(shí)這不是學(xué)生的原因，而是題目本身沒(méi)有數(shù)據(jù)支撐，進(jìn)而讓我們理解了“數(shù)據(jù)”在統(tǒng)計(jì)中的價(jià)值。

[課堂片段]

師：同學(xué)們用過(guò)數(shù)據(jù)嗎？用數(shù)據(jù)算過(guò)平均數(shù)嗎？在生活當(dāng)中你經(jīng)常用平均數(shù)嗎？接下來(lái)我請(qǐng)所有同學(xué)都來(lái)用一次，徐老師想邀請(qǐng)?jiān)谧乃型瑢W(xué)當(dāng)一回隊(duì)長(zhǎng)。什么隊(duì)呢？

師：請(qǐng)看，籃球隊(duì)一共有隊(duì)員幾人？

生：5個(gè)。

師：隊(duì)長(zhǎng)有時(shí)候會(huì)優(yōu)先獲得數(shù)據(jù)，如果說(shuō)我們籃球隊(duì)5個(gè)人的平均身高是160厘米，徐老師看了看說(shuō)，怎么有一個(gè)人的身高只有150多厘米?。磕膫€(gè)隊(duì)長(zhǎng)能解釋一下，有可能嗎？

生：有可能。因?yàn)槊總€(gè)人的身高都是不一樣的，況且上面還說(shuō)的是平均。

師：你們覺(jué)得解釋得有沒(méi)有道理？

生：有道理。平均數(shù)是在最高身高和最小身高之間。

師：是的。現(xiàn)在籃球隊(duì)又來(lái)了1人，這個(gè)人加入后現(xiàn)在變成了幾個(gè)人？（圖7）

生：6個(gè)人。

師：我把6個(gè)人身高的總和除以6，得到一個(gè)新的平均數(shù)，得出后我嚇了一跳，因?yàn)榈玫降倪@個(gè)新的平均身高比較大。你們估計(jì)誰(shuí)來(lái)了？

生：姚明。

師：姚明有多高??？226厘米，大家用計(jì)算器重新來(lái)算一算，這6個(gè)人的平均身高是多少？（171厘米）這個(gè)171厘米是幾個(gè)人的平均身高？

生：6個(gè)。

師：我們來(lái)看看這5個(gè)小朋友，有沒(méi)有哪個(gè)的身高達(dá)到這個(gè)平均數(shù)？（沒(méi)有）那這個(gè)時(shí)候這個(gè)平均數(shù)還平均嗎？

生1：不平均。

生2：平均。

師：一會(huì)不平均一會(huì)平均，看來(lái)問(wèn)題有點(diǎn)復(fù)雜，主要是誰(shuí)造成的？下課之后大家去研究一下，遇到這種情況該怎么辦。

[賞析]平均數(shù)是“敏感”的，每一名隊(duì)員的身高都會(huì)對(duì)平均數(shù)產(chǎn)生影響，增加（減少）隊(duì)員，平均數(shù)亦隨之發(fā)生變化。通過(guò)對(duì)“虛擬球隊(duì)”平均身高的測(cè)算，體會(huì)極端數(shù)據(jù)對(duì)平均數(shù)的影響，讓學(xué)生初步感悟統(tǒng)計(jì)結(jié)論沒(méi)有“對(duì)錯(cuò)”之分，只有“好不好”“合理不合理”之分。平均數(shù)看上去很合理，可有時(shí)又覺(jué)得不太合理，因?yàn)槠骄鶖?shù)的大小極易受極端數(shù)據(jù)的影響。

（作者單位：江蘇省海安市明道小學(xué)教育集團(tuán)，江蘇，海安226600）