［摘 要］ 在PN結(jié)等半導(dǎo)體器件中，載流子濃度表現(xiàn)出復(fù)雜的時空演化特征。目前，普遍采用理論分析的教學(xué)方法，雖然使學(xué)生感受到了復(fù)雜問題處理的技巧，卻失去了對器件工作過程的全面認識。提出在器件教學(xué)過程中融入電子學(xué)仿真的研究方法，使學(xué)生掌握理解和探索器件的有力工具。比較了理論分析與數(shù)值仿真兩種方法的優(yōu)點和缺點，闡述了電子學(xué)仿真軟件在PN結(jié)教學(xué)中的作用，并舉例運用仿真手段剖析了教材中的疑點。相信仿真工具將激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，促進從注重知識積累的學(xué)習(xí)習(xí)慣到自主探索的學(xué)習(xí)范式的轉(zhuǎn)變，提升課程教學(xué)效果，并縮短從課程學(xué)習(xí)到科研實踐的路徑。

［關(guān)鍵詞］ 電子學(xué)仿真；PN結(jié)；理論分析

［基金項目］ 2021年度中山大學(xué)本科教學(xué)質(zhì)量工程及教學(xué)改革研究子項目“光電子仿真在半導(dǎo)體物理與器件類課程教學(xué)中的運用與效果”（教務(wù)〔2021〕93號）

［作者簡介］ 郁建燦（1983—），男，浙江慈溪人，工學(xué)博士，中山大學(xué)材料學(xué)院副教授，主要從事數(shù)學(xué)物理方法、光電材料與器件課程研究；高平奇（1980—），男，河南鄧州人，理學(xué)博士，中山大學(xué)材料學(xué)院教授，主要從事半導(dǎo)體物理學(xué)、太陽電池研究。

［中圖分類號］ G642.0 ［文獻標識碼］ A ［文章編號］ 1674-9324（2024）24-0122-06 ［收稿日期］ 2023-05-07

半導(dǎo)體材料與器件是當(dāng)代信息技術(shù)的核心，我們熟知的芯片實際上由大量不同的半導(dǎo)體器件集成，它們不僅廣泛應(yīng)用于電腦、手機等消費電子類產(chǎn)品，而且在家電、汽車、機器人、工業(yè)控制系統(tǒng)和醫(yī)療儀器中也不可或缺。美國對我國高端芯片的斷供將對我國科技產(chǎn)業(yè)的發(fā)展帶來深遠影響，波及通信、大數(shù)據(jù)、AI智能、無人駕駛、元宇宙等眾多前沿科技產(chǎn)業(yè)。所幸芯片斷供事件激發(fā)了廣大青年學(xué)子報考相關(guān)專業(yè)的熱情。電氣信息類和材料類等理工科專業(yè)與芯片密切相關(guān)，其中“半導(dǎo)體物理學(xué)”或“半導(dǎo)體物理和器件”則是這些本科專業(yè)的核心課程或?qū)I(yè)選修課程。

“半導(dǎo)體物理學(xué)”課程通常分為半導(dǎo)體物理學(xué)和半導(dǎo)體器件兩部分［1-3］，其中PN結(jié)是最簡單的半導(dǎo)體器件之一，是眾多其他器件的基本構(gòu)建單元?！鞍雽?dǎo)體物理學(xué)”主要介紹半導(dǎo)體中載流子的來源、濃度、運動學(xué)和非平衡子載流子動力學(xué)等基本概念和理論，一般僅限于各種物理量均勻分布的情形［1］。與之不同，PN結(jié)由空穴濃度較高的P型半導(dǎo)體和電子濃度較高的N型半導(dǎo)體兩個區(qū)域組成，因此載流子濃度等物理量在空間上分布不再均勻，表現(xiàn)為位置的函數(shù)。此外PN結(jié)中表現(xiàn)出與靜電勢V、電子濃度n和空穴濃度p多個變量之間相互制約的復(fù)雜關(guān)系。在課堂教學(xué)中，我們不應(yīng)該考慮簡化內(nèi)容，或一味地用更易理解的、更形象化的方式展現(xiàn)給學(xué)生，而應(yīng)通過理論分析和仿真研究相結(jié)合的方式幫助學(xué)生建立復(fù)雜問題的分析思維，并培養(yǎng)解決問題的能力和高階思維。電子學(xué)仿真作為一種工具，有助于學(xué)生直觀地理解器件及其基本工作過程，并且仿真結(jié)果可補充教材的未盡之義。因此，我們主張在半導(dǎo)體器件教學(xué)中融入電子學(xué)仿真的研究方法，使學(xué)生掌握理解和探索器件的工具，為學(xué)生搭建起從課程學(xué)習(xí)到創(chuàng)新研究的橋梁。

一、理論分析與數(shù)值仿真

國內(nèi)流行的半導(dǎo)體物理類教材，如劉恩科的《半導(dǎo)體物理學(xué)》［1］（以下簡稱教材），普遍采用理論方法對半導(dǎo)體電子器件進行闡述和分析。這種方法利用已學(xué)知識，通過數(shù)學(xué)上的近似簡單地導(dǎo)出結(jié)果，不但符合認知規(guī)律，還充分體現(xiàn)了抓住問題的主要矛盾，從而轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)上易求的問題的重要思想，非常適用于課堂教學(xué)。然而，這種方法的局限性在于僅適用于結(jié)構(gòu)簡單的器件，精確的定量分析困難，不便于分析瞬態(tài)過程。

電子學(xué)仿真是一種利用先進的數(shù)值方法求解電子器件數(shù)學(xué)物理方程的過程，更具適用性和普遍性。有限元等仿真方法對器件結(jié)構(gòu)無嚴格要求，適用于復(fù)雜結(jié)構(gòu)的器件，很好地彌補了解析方法研究對象的局限性大、定量分析精確性欠佳等缺點。

二、電子學(xué)仿真的意義

電子學(xué)仿真是半導(dǎo)體器件研究中常用的方法，可輔助設(shè)計和模擬器件，縮短研發(fā)周期。COMSOL是一款適用范圍廣泛的有限元仿真軟件，提供友好的可視化界面和豐富的應(yīng)用案例庫（文中COMSOL仿真實例來自COMSOL 6.0版本，軟件許可證號：9411969）。對于材料類專業(yè)的學(xué)生，選擇COMSOL進行仿真教學(xué)，以適應(yīng)更廣泛應(yīng)用場景的需求［4］。在PN結(jié)教學(xué)中，我們選用COMSOL的一維模型（文件名：pn_junction_1d）展示電子學(xué)仿真的作用［5］。

（一）有助于掌握半導(dǎo)體器件的物理模型

PN結(jié)等電子器件的有限元仿真均建立在微分模型基礎(chǔ)之上，描述器件物理模型的公式分散于教材的不同章節(jié)，學(xué)生難以對器件工作過程形成整體的認識。實際上，根據(jù)泊松方程、連續(xù)性方程和載流子輸運方程，可以導(dǎo)出物理量電子濃度n和空穴濃度p及其時間演化與靜電勢V等之間的關(guān)系并由方程組來描述［6］，見方程組（1）。

其中和分別為電子、空穴的遷移率，和分別為電子和空穴的擴散系數(shù)，和為電子和空穴的產(chǎn)生速率與復(fù)合速率之差，為電離電荷密度。該方程組中有三個物理量： V，p，n，在合適的邊初值條件下，可以唯一地確定這三個未知量及其隨時間演化的過程。在有限元方法中，這三個求解的物理量稱為形函數(shù)。COMSOL中默認選擇的形函數(shù)是電勢、電子和空穴的濃度。這些形函數(shù)都是空間的函數(shù)，把半導(dǎo)體載流子濃度、能級、電荷濃度等物理量和遷移率等性質(zhì)參數(shù)視為空間位置的分布，對理解半導(dǎo)體器件的工作狀態(tài)及過程非常關(guān)鍵。

（二）有助于直觀理解器件的結(jié)構(gòu)

利用COMSOL等商用有限元軟件的圖形化界面，可以直觀地定義和查看器件的幾何結(jié)構(gòu)。器件由幾種不同材料組成，因此幾何體內(nèi)部的不同區(qū)域通常會被賦予不同材料。這些材料的性質(zhì)將決定電子器件中的靜電勢、載流子濃度分布及其時間演化規(guī)律。器件可簡單地理解為能獨立對外界輸入起控制、變換功能的單元。任何器件都有輸入和輸出兩部分：輸入定義在器件外表面，在數(shù)學(xué)上一般體現(xiàn)為邊界條件或方程的非齊次項；輸出也定義在器件表面，通常是某物理量的值或其線、面積分。對于一維PN結(jié)二極管，輸入為兩端間的電壓，輸出則是某一端的電流。

（三）有助于快速掌握半導(dǎo)體物理參數(shù)間的關(guān)系

“半導(dǎo)體物理學(xué)”中有大量參數(shù)及公式，學(xué)生很難在短時間內(nèi)掌握這些內(nèi)容。COMSOL中的方程視圖欄提供了半導(dǎo)體物理參數(shù)間的關(guān)系的界面，便于建模時查找。例如，玻爾茲曼分布和費米-狄拉克分布是描述載流子濃度的兩大統(tǒng)計分布，在半導(dǎo)體物理場接口的模型屬性欄下可以方便地選擇。COMSOL中引入了簡并因子（與imref函數(shù)相關(guān)），此時空穴和電子的費米能級分別為

無論是非簡并半導(dǎo)體，還是簡并半導(dǎo)體均可以用公式（2）這樣簡單統(tǒng)一的形式來描述。

（四）有助于全面認識材料的性質(zhì)

材料具有豐富的物理化學(xué)性質(zhì)。半導(dǎo)體物理與器件教學(xué)通常只涉及材料的少數(shù)幾種性質(zhì)，例如能帶結(jié)構(gòu)、遷移率和載流子壽命。仿真界面提供了全面認識材料模型的窗口。在COMSOL中，器件的組成材料一般定義在材料接口中。用戶也可以在半導(dǎo)體接口下的半導(dǎo)體材料模型特征節(jié)點中自定義。PN結(jié)模型案例的材料接口下包含一種未命名的材料，其中包含基本性質(zhì)、半導(dǎo)體材料性質(zhì)和Shockley-Read-Hall（SRH）復(fù)合性質(zhì)。從數(shù)值可以推斷，這里采用的材料應(yīng)為最重要的半導(dǎo)體電子材料——硅。COMSOL還提供了各種材料性質(zhì)的模型，這些是材料專業(yè)的學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中不常接觸的模型，但在器件研究和開發(fā)過程中卻必須掌握。

（五）有助于深入理解PN結(jié)的工作狀態(tài)

COMSOL半導(dǎo)體模塊的仿真演示可以讓學(xué)生直觀地理解PN結(jié)的狀態(tài)及其在偏壓下的瞬態(tài)過程。P區(qū)和N區(qū)的接觸是個瞬態(tài)過程，原則上可以借助瞬態(tài)研究（Time dependent）功能來實現(xiàn)。由于這一過程在真實器件中并不存在，故我們不在仿真上展示這一過程。

先模擬熱平衡狀態(tài)下，即不加偏壓時，PN結(jié)沿一維方向的靜電勢和載流子濃度的分布。載流子擴散導(dǎo)致空間電荷，空間電荷引起的內(nèi)建電場誘導(dǎo)載流子漂移，并平衡載流子濃度梯度引起的擴散電流，即凈電流為零。開路時，可將PN結(jié)兩端電壓均設(shè)置為0，計算得到熱平衡狀態(tài)時的空間電荷、內(nèi)建電場、靜電勢與能帶的分布（見圖1）。教材中采用定性分析得到的圖，COMSOL仿真均可得到類似的定量結(jié)果，但電荷分布差異較大。仿真結(jié)果中電荷分布在結(jié)區(qū)兩側(cè)并不呈現(xiàn)矩形狀的均勻分布，而是緩變的?？梢?，仿真可以獲得更加精確的量化結(jié)果，這是理論分析難以實現(xiàn)的。

圖2比較了教材的理論分析與有限元仿真方法的過程差異。仿真時首先根據(jù)方程組（1）同時得到載流子濃度和靜電勢分布（形函數(shù)），然后再利用形函數(shù)與其他量之間的關(guān)系得到其他諸如電場、電荷和電流等。理論方法則基于電磁學(xué)基本原理，根據(jù)理想的電荷分布來分析其他各種物理量的分布，首先得到電場、靜電勢及能級分布，再利用能級間的關(guān)系確定載流子濃度分布和電流。這種理論分析所得的各種物理量的分布必定繼承電荷分布的誤差導(dǎo)致的誤差。假設(shè)有限元計算的結(jié)果是準確的，我們可以將誤差分析留給學(xué)生作為課后實踐的作業(yè)。

三、釋疑解惑

（一）半導(dǎo)體器件中的電流

在推導(dǎo)理想PN結(jié)電流電壓特性時，教材主要考慮擴散電流，學(xué)生通常會有各種疑惑。例如，在偏壓下，會有電場與漂移電流，為什么不直接考慮漂移電流？一種簡單的理解是：正向偏壓下，勢壘降低導(dǎo)致多數(shù)載流子更容易通過勢壘區(qū)擴散到另一側(cè)，少數(shù)載流子形成新的分布和濃度梯度，擴散電流增加。兩者是等價的，擴散電流更容易分析。仿真結(jié)果顯示空間電荷區(qū)附近的電場和載流子的濃度梯度都非常大，因此漂移或擴散電流（0.1 V偏壓下）比相應(yīng)的凈電流大幾個數(shù)量級（見圖3）。若采用理論分析的方法，直接對兩個較大的漂移電流密度值相減，很容易引起不可預(yù)期的較大的誤差，因而不便于用這種方法來分析總電流。

教材中對偏壓下電流密度的計算處理得十分巧妙。根據(jù)電流密度沿PN結(jié)不同位置均相等（電流的連續(xù)性）的特征，以中性區(qū)與耗盡區(qū)的一個界面作為考察面來分析電流。以P區(qū)與耗盡區(qū)的界面為例，可將總電流J的貢獻分解為擴散電流和在勢壘區(qū)的復(fù)合電流兩類，見公式（3）和圖4。

（3）

，和分別為p區(qū)的少子電子、n區(qū)的少子空穴的擴散電流密度和空間電荷區(qū)的復(fù)合電流密度，這三者均可根據(jù)載流子的濃度分布來分析確定。

中性區(qū)少子電流密度的分析相對簡單。由于非耗盡區(qū)中的壓降和電場可以忽略，故不需要考慮漂移電流，只需考慮少數(shù)載流子濃度梯度引起的擴散電流。因此，根據(jù)中性區(qū)中少子的分布，就可以得到描述理想PN結(jié)電流電壓關(guān)系的Shockley方程，見方程（4）。

其中，此處Dn 和Dp、

Ln和Lp分別為電子和空穴的擴散系數(shù)及其擴散長度。值得注意的是，教材中通常很少提到多子的擴散電流，會給人一種多子在中性區(qū)的電流可以忽略的假象。實際上，仿真結(jié)果顯示中性區(qū)多子的電流密度通常較大（見圖3），且不易分析，因而轉(zhuǎn)化為易求的少子電流來處理。這種利用電流的連續(xù)性來分析半導(dǎo)體器件中電流的思路值得在今后學(xué)習(xí)和科研過程中充分借鑒。

有限元分析的求解方式似乎純靠蠻力：先求解形函數(shù)——靜電勢、載流子濃度分布，再根據(jù)形函數(shù)來計算擴散和漂移電流密度，總電流即為各類電流的之和，但具有重要的實際研究價值。這種數(shù)值計算不僅便于提取各類電流密度及其貢獻，還可以分析其位置依賴性，甚至還能精確計算高注入水平下的PN結(jié)電流。

（二）關(guān)于Shockley-Read-Hall復(fù)合

SRH復(fù)合是硅等間接帶隙半導(dǎo)體的主要復(fù)合途徑。耗盡層的復(fù)合電流與之相關(guān)，如果沒有SRH復(fù)合，就會出現(xiàn)耗盡層內(nèi)電子或空穴電流密度不變的情況。擴散電流是少子擴散過程中復(fù)合產(chǎn)生的，其本質(zhì)也是復(fù)合電流。如果沒有復(fù)合，載流子的擴散長度將無限長。

在PN結(jié)的電流推導(dǎo)過程中，雖然多次涉及載流子壽命，但學(xué)生對此的認識通常不夠深入。不同載流子壽命及不同長度的PN結(jié)在正向偏壓下的能帶圖如圖5所示，正向偏壓下，PN結(jié)模型的電子和空穴的準費米能級分別延續(xù)到P區(qū)后緩慢降低，或到N區(qū)緩慢升高，兩者直至端面才一致，與教材中準費米能級在耗盡層附近構(gòu)成一個類似平行四邊形的情形不同。費米能級的分離表示半導(dǎo)體器件處于非平衡狀態(tài)，那么是什么原因造成非平衡區(qū)域充滿整個PN結(jié)？實際上推導(dǎo)理想PN結(jié)電流時，假設(shè)了PN結(jié)的兩個區(qū)均足夠長（即長PN結(jié)情形）。評價P區(qū)或N區(qū)是否滿足長的指標是擴散長度，與擴散系數(shù)的1/2次成正比。在模型給定的載流子壽命下，擴散長度和，遠遠大于PN結(jié)設(shè)定的總長度（共），即該模型屬于短PN結(jié)的情形。類似地，即使將PN結(jié)長度延長到25 μm或100 μm，電子和空穴的費米能級都要到兩端（即外電極）才相等。為了展示短PN結(jié)時費米能級的分布，人為地將載流子的壽命降為1 ns，此時和，遠小于PN結(jié)長度。此時電子和空穴的費米能級圍成一個四邊形，與教材中的類似。

事實上，在推導(dǎo)PN結(jié)電流時，長PN結(jié)假設(shè)主要為了保證遠離耗盡層時載流子達到平衡狀態(tài)，否則就不能得到如教材中的少子濃度的分布公式。

（三）PN結(jié)的瞬態(tài)響應(yīng)

PN結(jié)瞬態(tài)響應(yīng)通常放在PN結(jié)電容部分來討論，結(jié)合勢壘的分布可以清晰地了解PN結(jié)電容的來源。仿真分析可以直觀地展示加偏壓后，勢能及費米能級的演化過程。剛加正向偏壓后，偏壓并沒有立即施加在耗盡層上，而是能帶整體往p區(qū)向下傾斜。隨著時間的增加，偏壓逐漸落到耗盡層上。這一過程中，非平衡載流子首先出現(xiàn)在耗盡層附近狹窄的區(qū)域，并逐漸向中性區(qū)擴展。加固定偏壓后，電流也從極高的值趨向一個穩(wěn)定值，這就是電容充電的過程。由開路施加正向偏壓后的瞬態(tài)響應(yīng)在能帶（a-d）和電流（e）上的體現(xiàn)見圖6。

結(jié)語

將電子器件的仿真應(yīng)用于“半導(dǎo)體物理學(xué)”類課程的教學(xué)實踐中，豐富了學(xué)生理解課程內(nèi)容的視角，提供了深度剖析教材的仿真工具，降低了課程內(nèi)容的理解難度。仿真工具及其思想不僅適用于所有半導(dǎo)體器件的學(xué)習(xí)過程，還是器件研究的重要手段，甚至還能用于其他類型器件的學(xué)習(xí)和研究。電子學(xué)仿真在器件學(xué)習(xí)中的運用不僅可以培養(yǎng)學(xué)生解決復(fù)雜問題的實踐能力，還能激勵學(xué)生自主探索、勇于創(chuàng)新。期待更多教師能在課堂中融入電子學(xué)或光電子學(xué)仿真的環(huán)節(jié)，運用更多維度的工具來剖析教學(xué)內(nèi)容，提高該類課程的教學(xué)質(zhì)量，為該領(lǐng)域高素質(zhì)人才培養(yǎng)做出貢獻。

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［6］莊順連.光子器件物理［M］.北京：電子工業(yè)出版社，2013：21.

Application of Electronic Device Simulation in the Education of PN Junctions

YU Jian-can， GAO Ping-qi

（School of Materials， Sun Yat-Sen University， Shenzhen， Guangdong 518107， China）

Abstract： Theoretical analysis is prevailing in the education of semiconductor devices such as PN junctions， where the carrier concentration shows complicated spatial and temporal characteristics. Students enjoy the delicacy that skillful analytical method offers in dealing with such complicated problems， but fail to understand the operating process of devices comprehensively. We propose the integrating electronic simulation - a general research method- into the device teaching process， making students master another tool to understand and explore the useful devices. We compare the advantages and disadvantages of theoretical analysis and numerical simulation， expound the role of electronic simulation software in the teaching of PN junctions， and clarify the doubts in the textbook by simulation. It is believed that simulation tools will stimulate students’ interest in learning， promote the transformation from the knowledge-based learning habit to the independent exploration paradigm， thereby improving the teaching effect of the course and abridging the path from course learning to practical research.

Key words： electronic simulation; PN junctions; theoretical analysis