摘 要：聚焦關(guān)于調(diào)和平均數(shù)、幾何平均數(shù)、算術(shù)平均數(shù)、平方平均數(shù)的均值不等式鏈的應用，利用中國古代數(shù)學典籍中的一些勾股測量問題或解直角三角形問題來編制高中數(shù)學的一類最值問題，為中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化融入高中數(shù)學教學（評價）的實踐提供參考。從中獲得啟示：挖掘數(shù)學史料，豐富問題資源；設(shè)計問題情境，體現(xiàn)數(shù)學應用；立足考查目標，加強知識聯(lián)系。

關(guān)鍵詞：中國古代數(shù)學；均值不等式；最值問題；題目命制

《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱“新課標”）在前言中指出：課程內(nèi)容有機融入中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化。［1］作為中華優(yōu)秀傳統(tǒng)數(shù)學文化重要組成部分的中國古代數(shù)學史（簡稱“中算史”）是一座寶藏，為當下的數(shù)學教學提供了豐富的內(nèi)容素材和思想養(yǎng)料。

無論教學還是評價，問題都是重要載體和工具。近年來，基于中算史料命制的高考數(shù)學試題時有出現(xiàn)。如2020年浙江卷命制了一道楊輝的高階等差數(shù)列求和問題，2021年浙江卷命制了一道以趙爽“弦圖”為背景的計算題，2021年全國卷命制了一道劉徽的海島高度測量問題，2022年浙江卷命制了一道以秦九韶“三斜求積”為背景的計算題，2022年全國卷命制了一道以沈括《夢溪筆談》中的“會圓術(shù)”為背景的計算題。這些問題的內(nèi)容來源主要集中在師生相對熟悉的圖形、公式或方法上；編制策略僅為復制式或條件式，較為單一。有些問題作為高考題的適切性還值得商榷，如趙爽“弦圖”問題、劉徽海島問題屬于初中數(shù)學問題。因此，基于中算史（乃至數(shù)學史）的數(shù)學問題編制，仍是需要深入研究的課題。

本文聚焦均值不等式的應用，利用中算典籍中的一些勾股測量問題或解直角三角形問題來編制高中數(shù)學的一類最值問題，為中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化融入高中數(shù)學教學（評價）的實踐提供參考。

一、 從基于中算史料證明均值不等式談起

中國古代數(shù)學家用過的圖形和思想方法為均值不等式的證明提供了思路啟迪［2-3］，其中最典型的例子是劉徽的“勾股容方圖”和趙爽的“勾股大方圖”。

圖1所示是兩個“勾股容方圖”的組合：Rt△ABC≌Rt△A′B′C′，BC＝B′C′＝a，AC＝A′C′＝b，正方形DECF和正方形D′E′C′F′分別內(nèi)接于Rt△ABC和Rt△A′B′C′，斜邊AB和A′B′部分重合，且點D和D′重合。由圖易得兩個內(nèi)接正方形的邊長均為d＝ab/a＋b（即為“勾股容方公式”），進而可得4ab/a＋b2≤ab（記為①），2ab/a＋b≤ab（記為②）。

二、 編制可用不等式G≤A解決的最值問題

均值不等式鏈中，最為基本或者說常用的是G≤A，即所謂的“基本不等式”。由此，可得“和定積最大”“積定和最小”兩個結(jié)論。基于中算史料，可以命制許多可用這兩個結(jié)論解決的最值問題。

首先，南宋數(shù)學家楊輝（13世紀）在《續(xù)古摘奇算法》中提出命題：“弦之內(nèi)外，分二勾股，其一勾中容橫，其一股中容直，二積之數(shù)皆同?！保?］用現(xiàn)代數(shù)學語言表述，即：如圖5，點E為長方形ABCD的對角線AC上任意一點，過點E分別作BC和AB的平行線，分別交AB、CD于點F、G，分別交AD和BC于點H、I，則長方形FBIE和HEGD的面積相等。這一命題（下文簡稱“楊輝定理”）可以看作“勾股容方公式”的推廣。

基于楊輝定理，讓“勾股容方圖”中的正方形不動、直角三角形動起來，可命制關(guān)于直角三角形面積的最值問題：

問題1 如圖6，四邊形ABCD為已知的正方形，AB＝BC＝a，點M為BC延長線上任意一點，連結(jié)MD并延長，交BA的延長線于點N。過點M作BC的垂線MP，過點N作AB的垂線NP，MP和NP交于點P。

（1） 求點P的軌跡；

（2） 求AN＋CM的最小值；

（3） 求Rt△MBN面積的最小值。

由楊輝定理知，本題第（1）問是在“積定”的情況下求軌跡，可用來鞏固反比例函數(shù)圖像（雙曲線）的知識。第（2）問是第（3）問的鋪墊，它們都可用“積定和最小”的結(jié)論解決。

其次，《九章算術(shù)》中有許多勾股測量問題，根據(jù)這些問題，可以編制具有現(xiàn)實背景的數(shù)學問題。

例如，《九章算術(shù)》“勾股”章中設(shè)題：“今有邑方不知大小，各中開門。出北門三十步有木。出西門七百五十步見木。問：邑方幾何？”［5］據(jù)此，可以設(shè)計以下校園測望問題：

問題2 如圖7，若一所學校所在區(qū)域為正方形ABCD，其邊長AB＝500米。學校北門和西門分別開在北圍墻和西圍墻的中點處。甲、乙兩人分別從北門E和西門G出發(fā)向正北和正西方向直走一段距離后止步測望，問：當兩人剛好能望見彼此時，他們步行總路程的最小值是多少？

再如，《九章算術(shù)》“勾股”章中設(shè)題：“今有邑方一十里，各中開門。甲乙俱從邑中央而出：乙東出，甲南出，出門不知步數(shù)，邪向東北，磨邑隅，適與乙會。率：甲行五，乙行三。問：甲、乙行各幾何？”［6］據(jù)此，可以設(shè)計以下校園測望問題：

問題3 如圖8，若一所學校所在區(qū)域為正方形ABCD，其邊長AB＝500米。學校東門和南門分別開在東圍墻和南圍墻的中點處。甲從校園中心O出發(fā)往南門G直走，出門后繼續(xù)沿正南方向直走一段距離至點H處，然后立即轉(zhuǎn)身望東偏北方向直走，中途經(jīng)過校園東南角C；乙從校園中心O出發(fā)往東門E直走，出門后繼續(xù)沿正東方向直走；二人在點F處會合。問：甲出南門后走多遠時拐彎，甲、乙所走的總路程最短？此時，甲、乙步行速度之比是多少？

又如，《九章算術(shù)》“勾股”章中設(shè)題：“今有邑方不知大小，各中開門。出北門二十步有木，出南門一十四步，折而西行一千七百七十五步見木。問：邑方幾何？”［7］據(jù)此，可以設(shè)計以下校園測望問題：

問題4 如圖9，若一所學校所在區(qū)域為正方形FGHI，其邊長FG＝200米。學校北門和南門分別開在北圍墻和南圍墻的中點處。甲、乙兩人分別從北門D和南門E出發(fā)向正北和正南方向直走相同距離達到點A和C處，乙轉(zhuǎn)而向西行至剛好能望見乙的點B處，問：甲向北走多少米時，他們所走路程總和最小？最小值是多少？

問題2—4都是以“勾股容方圖”為基礎(chǔ)的變式問題，均可用“積定和最小”的結(jié)論解決。其難度遞進：問題2只涉及兩條直角邊的長度，問題3還涉及斜邊的長度，問題4中的直角三角形內(nèi)接的是長方形（正方形的一半）。

以問題4為例，在此基礎(chǔ)上逆向思考，可以設(shè)計可用“和定積最大”解決的問題：

問題5 如圖9，有三棵樹分別位于一個等腰直角三角形的三個頂點A、B和C處，AC＝300米。若要建一矩形校園FGHI，使得點A、北門D（北圍墻FI的中點）、南門E（南圍墻GH的中點）和點C共線，DA＝EC，且校園一角F位于AB上，問：校園面積最大值是多少？

再次，金元時期數(shù)學家李冶（1192—1279）的《測圓海鏡》中也有一些解直角三角形問題，根據(jù)這些問題，也可以編制具有現(xiàn)實背景的數(shù)學問題。

例如，《測圓海鏡》卷二中設(shè)題：“甲、乙二人俱在圓城中心而立，乙穿城向東行一百三十六步而止，甲穿城南行二百五十五步望見乙，問：城徑幾何？”［8］據(jù)此，可以設(shè)計以下圓城測望問題：

問題6 如圖10，已知圓城的半徑r＝100米，甲、乙兩人分別從圓城的東門E、南門D出發(fā)向正東、正南方向直行至剛好能望見彼此，問：甲、乙分別向東、向南走多少米時，他們之間的距離最短？

再如，《測圓海鏡》卷二中設(shè)題：“或問：甲、乙二人俱在西門，乙東行二百五十六步，甲南行四百八十步望見乙。問：城徑幾何？”［9］據(jù)此，可以設(shè)計以下圓城測望問題：

問題7 如圖11，已知圓城的半徑為r，甲從西門A南行一段距離至點D，乙從東門B東行一段距離至點C，此時兩人恰好能望見彼此。問：當二人所走總路程為a（a＞r）時，甲、乙之間的最短距離是多少？

三、 編制可用不等式A≤R解決的最值問題

根據(jù)均值不等式鏈中的不等式A≤R，可得“平方和定和最大”“和定平方和最小”兩個結(jié)論。從幾何意義的角度看，“平方和定（最?。笨梢岳斫鉃椤爸苯侨切蔚男边叾ǎㄗ钚。?，“和最大（定）”可以理解為“直角三角形兩條直角邊的和最大（定）”。由此，可以設(shè)計直角三角形周長最大或最小的問題。例如：

問題8 笑笑是班級的文娛委員，班級要舉辦文藝活動，活動地點有一個Rt△ABC的區(qū)域需要布置，已知Rt△ABC的斜邊為16米，而兩條直角邊沒有具體數(shù)據(jù)，笑笑應該至少買多長的彩帶（圍繞Rt△ABC一周）才能保證材料夠用？

這是一個典型的基于現(xiàn)實背景的“直角三角形的斜邊確定，求其周長最大值”的問題，可用“平方和定和最大”的結(jié)論解決：因為a＋b/2≤2/2c，所以a＋b＋c≤（2＋1）c，當且僅當a＝b時等式成立。

在中算史料中尋找“斜邊確定，直角邊不確定”的問題?；凇肮垂纱蠓綀D”，加上現(xiàn)實背景，可以設(shè)計如下湖畔綠化問題：

問題9 如圖12，某公園內(nèi)有一邊長為100米的正方形人造湖?，F(xiàn)為了美化公園，需要在湖邊設(shè)計花圃，花圃的邊界為一個正方形的四條邊，且經(jīng)過湖的四個角。問：如何設(shè)計，可以確保綠化帶的邊界最長？最長邊界是多長？

進一步挖掘中算史料，發(fā)現(xiàn)《九章算術(shù)》“勾股”章中設(shè)題：“今有戶不知高、廣，竿不知長短。橫之不出四尺，從之不出二尺，邪之適出。問：戶高、廣、衺各幾何？”［10］這是一個解直角三角形問題：已知c－a、c－b，求a、b和c?！毒耪滤阈g(shù)》中給出解法：a＝2（c－a）（c－b）＋（c－b），b＝2（c－a）（c－b）＋（c－a），

c＝2（c－a）（c－b）＋（c－a）＋（c－b）。［11］

劉徽在《九章算術(shù)注》中利用“矩表方里圖”得到恒等式（a＋b－c）2＝2（c－a）（c－b），從而證明了上述公式。［12］根據(jù)劉徽的“矩表方里圖”，可以設(shè)計以下問題：

四、 編制可用關(guān)于調(diào)和平均數(shù)H的不等式解決的最值問題

均值不等式鏈中，調(diào)和平均數(shù)H是最小的“均值”。它的表達式稍顯復雜，但它出現(xiàn)在“勾股容方圖”中，即直角三角形內(nèi)接正方形邊長的2倍。因此，可以基于“勾股容方圖”，加上現(xiàn)實背景，編制可用關(guān)于H的不等式解決的最值問題。例如：

問題11 如圖14，有一塊面積為64 m2的正方形花壇，要為這個花壇圍一圈有公共直角的三角形綠化帶，求綠化帶周長和所圍面積的最小值。

問題12 如圖14，在一個Rt△ABC場地中，BC＝a，AC＝b，有一個與三角形有公共直角且面積最大的矩形商場，商場的入口在點M處。甲、乙二人分別在點A、點B處，相約在商場入口處會合。兩人同時出發(fā)（AB不可通行）。甲前半段路程步行，后半段路程騎自行車；乙前一半時間步行，后一半時間騎自行車。兩人步行速度和騎車速度分別相同，問誰先到達？

五、 若干啟示

以上我們看到，根據(jù)中算史料，利用“自由式”問題編制策略，可以編制“和定積最大”“積定和最小”“平方和定和最大”等類型的最值問題。這些問題都具備了科學性（基于原始文獻）、應用性（反映現(xiàn)實應用）和關(guān)聯(lián)性（考查相關(guān)知識）等特征。從中可以獲得如下啟示：

第一，挖掘數(shù)學史料，豐富問題資源。以《九章算術(shù)》為代表的中國古代數(shù)學典籍往往都是問題集。為了編制更多理想的中算史料題，教師需要深入研讀這些典籍，從中挖掘豐富的命題素材，利用多種不同策略［13］，編制新的數(shù)學問題。本文主要利用了《九章算術(shù)》《測圓海鏡》等名著中的勾股測量問題或解直角三角形問題，更多史料有待于挖掘。

第二，設(shè)計問題情境，體現(xiàn)數(shù)學應用。注重實用是中國古代數(shù)學的重要特征之一，而“應用性”正是中國高考評價體系（2019年版）所提考查要求的“四翼”［14］之一。本文涉及的《九章算術(shù)》《測圓海鏡》中的測量問題均為有實際背景的應用問題，對于這類問題，可以通過改變情境，編制新的問題；對于“勾股大方”“勾股容方”之類不涉及現(xiàn)實情境的問題，則可通過增加情境，形成新的問題。

第三，立足考查目標，加強知識聯(lián)系。古今數(shù)學有著巨大的差異，中算史上的很多原始問題往往不能直接用于今日的數(shù)學教學（評價），需要對條件和目標加以改變，方能產(chǎn)生滿足要求的新問題。也就是說，“自由式”是“古題今編”最主要的策略。本文中的古題并未涉及最值問題，但提供了豐富的幾何圖形和現(xiàn)實情境。將這些圖形和情境與今日代數(shù)、三角、解析幾何等領(lǐng)域的知識聯(lián)系起來，古題就有了新的“增長點”——正可謂“無心插柳柳成蔭”。

參考文獻：

［1］中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學課程標準（2017年版2020年修訂）［S］.北京：人民教育出版社，2020：前言4.

［2］汪曉勤.從“勾股容方”到均值不等式［J］.數(shù)學通報，2015（2）：7-9.

［3］汪曉勤.中華優(yōu)秀傳統(tǒng)數(shù)學文化融入高中數(shù)學教學的若干路徑［J］.教育研究與評論（中學教育教學），2022（9）：27-34.

［4］［8］［9］郭書春.中國科學技術(shù)典籍通匯·數(shù)學卷（一）［M］.鄭州：河南教育出版社，1994：1114，763，763.

［5］［6］［7］［10］［11］［12］郭書春.九章算術(shù)［M］.北京：科學出版社，2019：447，454，456，458，459，463.

［13］汪曉勤.基于數(shù)學史料的高中數(shù)學問題編制策略［J］.數(shù)學通報，2020（5）：9-15.

［14］教育部考試中心.中國高考評價體系［S］.北京：人民教育出版社，2019：11.