摘 "要：針對傳統(tǒng)指數(shù)趨近律中因函數(shù)不連續(xù)性所引起抖振和傳統(tǒng)指數(shù)趨近律趨近速度與抖振抑制之間無法同時滿足高性能控制系統(tǒng)要求的問題，提出基于系統(tǒng)狀態(tài)變量的新型滑模趨近律并應(yīng)用于永磁同步電機速度、電流控制器中。該趨近律通過引入系統(tǒng)狀態(tài)變量冪次項和狀態(tài)變量的雙曲正弦值，使系統(tǒng)狀態(tài)變量以等速和指數(shù)兩種速率趨向切換面。這樣可以加快系統(tǒng)到達切換面的速度，當系統(tǒng)接近切換面時，指數(shù)項接近于零，等速項開始起關(guān)鍵作用，對系統(tǒng)的抖振進行抑制。同時采用雙曲正切開關(guān)函數(shù)替代符號函數(shù)，以去除因函數(shù)的不連續(xù)性所引起的抖振問題。該方法既能提高系統(tǒng)到達滑模面的速度，又能有效抑制固有抖振，提升系統(tǒng)的動態(tài)性能。仿真和實驗結(jié)果表明，新型趨近律相比于傳統(tǒng)指數(shù)趨近律能夠有效降低永磁同步電機啟動時轉(zhuǎn)速超調(diào)，提高系統(tǒng)的響應(yīng)速度、抑制系統(tǒng)的抖振。

關(guān)鍵詞：永磁同步電機; 滑?？刂? 速度控制器; 電流控制器；動態(tài)性能; 抖振問題

DOI：10.15938/j.emc.

中圖分類號：TM341 " " " " " " 文獻標志碼：A " " " " "文章編號：1007-449X（2024）07-0000-00

Design of a new reaching law of sliding mode controller for "permanent magnet synchronous motor

KANG Erliang1， ZHU Jinrong1， HAN Kangwei2

（1. Engineering Technology Research Center of High Efficiency Direct-Drive System in Universities in Heilongjiang， Harbin University of Science and Technology， Harbin 150080， China; 2. Technical Center for Mechanical and Electrical Product Inspection and Testing of Shanghai Customs District， Shanghai 200030， China）

Abstract： In order to solve the problem that the jitter caused by the function discontinuity in the traditional exponential reaching law and the approaching speed and jitter suppression of the traditional exponential reaching law cannot meet the requirements of the high-performance control system at the same time， a new sliding mode reaching law based on system state variables was proposed and applied to the speed and current controller of permanent magnet synchronous motor. By introducing the power terms of the system state variable and the hyperbolic sine of the state variable， the system state variable tends to the sliding-mode surface at two rates： isokinetic and exponential. The speed at which the system reaches the sliding-mode surface can be accelerated by this method. And when the system approaches the sliding-mode surface， the exponential term approaches zero， and the isokinetic term begins to play a key role in suppressing the jitter of the system. At the same time， the hyperbolic tangent switch function is used instead of the symbolic function to eliminate the jitter problem caused by the discontinuity of the function. This method can not only improve the speed of the system reaching the sliding-mode surface， but also effectively suppress the inherent jitter and improve the dynamic performance of the system. Simulation and experimental results show that compared with the traditional exponential approach law， the new approach law can effectively reduce the speed overshoot of the permanent magnet synchronous motor when starting， improve the response speed of the system， and suppress the jitter of the system.

Keywords： permanent magnet synchronous motor; sliding mode control; speed controller; current controller; dynamic performance; jitter issues

0 引 "言

永磁同步電機（permanent magnet synchronous motor，PMSM）具有結(jié)構(gòu)簡單、功率密度高、效率高、調(diào)速性能好等優(yōu)點，已廣泛應(yīng)用于新能源交通和發(fā)電、機器人、物流、航空航天、高精度伺服等熱點領(lǐng)域[1-2]。傳統(tǒng)的線性控制方法如比例積分控制因其結(jié)構(gòu)簡單被廣泛應(yīng)用于PMSM控制系統(tǒng)中，但PMSM是一個多變量、強耦合、非線性、參數(shù)可變的控制對象，傳統(tǒng)線性控制方法無法滿足高性能控制的要求[2-4]。

為了解決傳統(tǒng)線性控制方法的問題，國內(nèi)外學者提出并發(fā)展了一些非線性控制理論，如模糊控制[5]、自抗擾控制[6]、預(yù)測控制[7]、滑?？刂疲╯liding mode control，SMC） [8-10]、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制[11]。其中，SMC由于其具有強魯棒性以及對系統(tǒng)不確定性不敏感等優(yōu)勢被廣泛應(yīng)用于運動控制、過程控制等領(lǐng)域[12]。

但在實際應(yīng)用中，傳統(tǒng)SMC超調(diào)量大、響應(yīng)速度慢、存在抖振等問題，阻礙了SMC在工業(yè)中的應(yīng)用。為了克服上述問題，趨近律法[13]、高階滑模法[14]、非奇異終端滑模法[15]、分數(shù)階滑模法[16]等眾多方法被提出。其中，趨近律法因為可以直接作用于趨近過程，所以可以更加有效地解決抖振問題。

文獻[17]提出一種基于變速趨近律方法的 PMSM滑模速度控制策略，該方法可以改善系統(tǒng)的魯棒性、提升系統(tǒng)的動態(tài)響應(yīng)速度。文獻[18]提出一種基于改進的冪次指數(shù)趨近律的模糊自適應(yīng)滑?？刂品椒?，該方法有效降低抖振，提升系統(tǒng)靜、動態(tài)性能。文獻[19]在指數(shù)趨近律指數(shù)項中引入滑動曲面函數(shù)的冪項，使得趨近律在趨近過程中可以用兩種不同的形式表示，實驗結(jié)果表明該方法可以有效抑制抖振。

為了進一步提高PMSM調(diào)速系統(tǒng)的動態(tài)性能，本文提出一種新型趨近律。新型趨近律通過引入狀態(tài)變量的冪次項和雙曲正弦值，使狀態(tài)變量以等速和指數(shù)兩種速率趨向切換面。這樣可以加快系統(tǒng)到達切換面的速度，同時當系統(tǒng)接近切換面時，指數(shù)項接近于零，等速項開始起關(guān)鍵作用，對系統(tǒng)的抖振進行抑制。同時采用雙曲正切開關(guān)函數(shù)替代符號函數(shù)，以去除因函數(shù)的不連續(xù)性所引起的抖振問題。

1.1 傳統(tǒng)指數(shù)趨近律

傳統(tǒng)指數(shù)趨近律公式為

（1）

式中sgn（s）函數(shù)在零點的不連續(xù)性會使控制系統(tǒng)產(chǎn)生時間和空間的滯后。此外，由于系統(tǒng)慣性和測量誤差的存在會導(dǎo)致滑模運動軌跡在滑模切換面往返穿梭，從而產(chǎn)生抖振。

同時，當運動點到達滑模面時有 。通過對其從0到t進行積分可得運動點到達滑模面的時間為

（2）

從式（2）可以看出，指數(shù)系數(shù) 與到達時間 成反比。即若想系統(tǒng)快速到達滑模面就要使 值盡可能大；但 值過大，會導(dǎo)致系統(tǒng)在趨近于滑模面時速度較快，增大系統(tǒng)抖振。

由此可知，傳統(tǒng)指數(shù)趨近律無法同時滿足趨近速度與抖振抑制的要求，且仍然存在傳統(tǒng)滑模因函數(shù)的不連續(xù)性所引起的抖振問題。

1.2 新型趨近律

根據(jù)上述問題，提出新型滑模趨近律為：

（3）

式中： ；x為系統(tǒng)的狀態(tài)變量； 均為正數(shù)； 。

新型趨近律的指數(shù)項可以近似為：

（4）

取k=1、 =0.5，繪制出新型趨近律與傳統(tǒng)指數(shù)趨近律指數(shù)項系數(shù)對比如圖1所示。

在趨近過程中，新型趨近律指數(shù)項的趨近速度大于指數(shù)趨近律的指數(shù)項。且新型趨近律指數(shù)項的趨近速度正比于狀態(tài)點到達滑模面的距離。距離滑模面越遠，趨近速度越快，以加速系統(tǒng)收斂；距離滑模面越近，速度越小，以抑制抖振。即新型趨近律指數(shù)項可以在加速系統(tǒng)趨近于滑模面的同時抑制抖振。

新型趨近律的等速項可以表示為

（5）

新型趨近律等速項在傳統(tǒng)等速趨近律的基礎(chǔ)上引入系統(tǒng)狀態(tài)變量的雙曲正弦函數(shù)值作為等速項的系數(shù)，該函數(shù)的特性可以保證在運動點距離滑模面較遠時，以較大的速度接近于滑模面；當運動點接近于滑模面時，以較小的速度來抑制系統(tǒng)抖振。同時用tanh（s）函數(shù)來代替符號函數(shù)，進一步抑制因切換函數(shù)的不連續(xù)性所引起的系統(tǒng)抖振。符號函數(shù)和tanh（s）函數(shù)圖像如圖2所示。

符號函數(shù)公式為：

（6）

tanh（s）函數(shù)公式為

（7）

式中qgt;0為可調(diào)參數(shù)。q值越小，切換函數(shù)由-1至1的趨近過程越慢，邊界值厚度越大，系統(tǒng)收斂越慢，電機抖振越小，但系統(tǒng)的魯棒性也會隨之變差。反之，q值越大，系統(tǒng)收斂越快、魯棒性越強，但會導(dǎo)致電機的抖振增大。當q值無限大時，tanh（s）無限接近符號函數(shù)。q值的選取與其他參數(shù)無關(guān)，僅與系統(tǒng)的收斂速度以及符號函數(shù)的不連續(xù)性所帶來抖振抑制有關(guān)。通過仿真驗證，在選取q=8，可以在滿足抖振抑制的同時保證系統(tǒng)的魯棒性，因此取q=8。根據(jù)圖2可以看出，tanh（s）在零點附近是連續(xù)函數(shù)可以避免因符號函數(shù)零點處的不連續(xù)性所引起的抖振。

由上可知，新型趨近律工作機制是使系統(tǒng)狀態(tài)變量以等速和指數(shù)兩種速率趨向切換面，這樣可以加速系統(tǒng)到達切換面，同時當運動點接近切換面時，指數(shù)項接近于零，等速項開始起關(guān)鍵作用，對系統(tǒng)的抖振進行抑制。同時將符號函數(shù)替換為雙曲正切函數(shù)以去除因切換函數(shù)過零點的不連續(xù)性而引起的系統(tǒng)抖振。

1.3 穩(wěn)定性證明

對上述新型趨近律的穩(wěn)定性進行分析，取李亞普諾夫函數(shù)，即

（8）

對函數(shù)進行求導(dǎo)得

（9）

滿足 時，能夠保證系統(tǒng)穩(wěn)定。

代入新型趨近律可得：

（10）

式中： gt;0； ； 、 、 和 恒大于0，可知新型趨近律滿足穩(wěn)定性條件。

2 基于狀態(tài)變量的新型趨近律滑?？刂破髟O(shè)計

采用 控制策略。表貼式永磁同步電機 坐標系下的數(shù)學模型為：

（11）

定義PMSM控制系統(tǒng)的狀態(tài)變量為：

（12）

式中： 為電機的參考轉(zhuǎn)速； 為電機的實際轉(zhuǎn)速。

定義 、 ，可得

（13）

定義滑模面函數(shù)為

（14）

式中 為待設(shè)計參數(shù)。

采用1.2節(jié)中設(shè)計的新型趨近律，對式（14）求導(dǎo)可得PMSM速度控制器的輸出為

（15）

對式（15）進行積分運算，可得q軸的參考電流為

（16）

式（16）中積分項的引入可以進一步減小控制系統(tǒng)的抖振、降低系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差，提高控制系統(tǒng)的性能。

2.2 滑模電流控制器設(shè)計

定義系統(tǒng)的狀態(tài)變量為：

（17）

定義滑模面函數(shù)為：

（18）

坐標系下，表貼式PMSM解耦后的電流方程為：

（19）

聯(lián)立式（18）、式（19）并將新型趨近律代入可得控制器的輸出為：

（20）

3 仿真和實驗驗證

3.1 仿真結(jié)果分析

采用 控制方式，通過Simulink分別搭建基于傳統(tǒng)滑?？刂疲╰raditional sliding mode control，TSMC）和新型滑?？刂疲╪ew sliding mode control，NSMC）的仿真模型，以驗證新型趨近律的可行性和有效性。永磁同步電機控制系統(tǒng)框圖如圖3所示。

設(shè)定仿真時間為0.4s，給定轉(zhuǎn)速為1000 。系統(tǒng)啟動時帶7 負載轉(zhuǎn)矩，在0.2s時負載變?yōu)?0 ，在0.3s時恢復(fù)為7 。永磁同步電機參數(shù)如表1所示。

仿真結(jié)果如圖4～圖10所示。

電機啟動時帶7 負載轉(zhuǎn)矩，由圖4可知，指數(shù)趨近律控制下的轉(zhuǎn)速超調(diào)量為4.5%，響應(yīng)時間約為0.045s；新型趨近律控制下的轉(zhuǎn)速超調(diào)量幾乎為0，響應(yīng)時間約為0.005s。

圖5為系統(tǒng)加載時轉(zhuǎn)速響應(yīng)曲線，在0.2s時負載由7 變?yōu)?0 ，指數(shù)趨近律控制下轉(zhuǎn)速下降9.6 ，經(jīng)過0.08s恢復(fù)到給定轉(zhuǎn)速。新型趨近律控制下下降6.4 ，經(jīng)過0.03s恢復(fù)到給定轉(zhuǎn)速。

圖6為系統(tǒng)減載時轉(zhuǎn)速響應(yīng)曲線，在0.3s時負載由10 恢復(fù)為7 ，指數(shù)趨近律控制下轉(zhuǎn)速上升9.3 ，經(jīng)過0.08s恢復(fù)到給定轉(zhuǎn)速。新型趨近律控制下轉(zhuǎn)速上升6.4 ，經(jīng)過0.03s恢復(fù)到給定轉(zhuǎn)速。

由圖7和圖8可知，指數(shù)趨近律控制下的三相電流毛刺較大，波形畸變明顯，而新型趨近律控制下的三相電流更加平滑。

由圖9和圖10可知，指數(shù)趨近律控制下的電磁轉(zhuǎn)矩在0.8 左右波動。新型趨近律控制下電磁轉(zhuǎn)矩在0.5 左右波動。

圖4～圖6的仿真結(jié)果表明，新型滑模趨近律相比于傳統(tǒng)滑模趨近律具有更好的啟動性能，在具有更快的響應(yīng)速度的同時可以實現(xiàn)無超調(diào)啟動。同時系統(tǒng)的帶載能力和抗擾性也有所提升。圖7～圖10的仿真結(jié)果表明，新型趨近律相比于指數(shù)趨近律可以有效抑制PMSM控制系統(tǒng)的抖振，提高控制精度。仿真結(jié)果驗證了新型趨近律的有效性。

3.2 實驗結(jié)果分析

為驗證上文提出的新型趨近律在工程上的正確性與可行性，根據(jù)圖3搭建PMSM控制系統(tǒng)實驗平臺如圖11所示。控制核心采用TMS320F28335芯片，采用直流可調(diào)電源調(diào)節(jié)負載電機進而實現(xiàn)對電機施加不同的負載的效果，最后通過示波器觀察實驗結(jié)果。實驗系統(tǒng)電機的參數(shù)同表1的電機參數(shù)一致。

實驗結(jié)果如圖12～圖20所示。

圖13為文獻[17]中所提新型變速趨近律在本實驗平臺相同實驗條件下轉(zhuǎn)速實驗波形，在給定轉(zhuǎn)速為1000 時，轉(zhuǎn)速超調(diào)量為10%，調(diào)節(jié)時間為1.2s，系統(tǒng)加載時轉(zhuǎn)速波動95 ，經(jīng)過0.9s恢復(fù)至給定轉(zhuǎn)速；系統(tǒng)減載時轉(zhuǎn)速波動100 ，經(jīng)過1s恢復(fù)至給定轉(zhuǎn)速，可以驗證所提趨近律應(yīng)用于PMSM控制系統(tǒng)可對系統(tǒng)的動態(tài)性能有進一步提升。

由圖12、圖14可以看出，在給定轉(zhuǎn)速為1000 時，指數(shù)趨近律控制下轉(zhuǎn)速超調(diào)量為12.5%，調(diào)節(jié)時間為1.2s，系統(tǒng)加載時轉(zhuǎn)速波動200 ，經(jīng)過1.6s恢復(fù)至給定轉(zhuǎn)速；系統(tǒng)減載時轉(zhuǎn)速波動170 ，經(jīng)過1.4s恢復(fù)至給定轉(zhuǎn)速。新型趨近律控制下轉(zhuǎn)速超調(diào)量幾乎為0，調(diào)節(jié)時間為0.8s，系統(tǒng)加載時轉(zhuǎn)速下降130 ，經(jīng)過1.2s恢復(fù)至給定轉(zhuǎn)速；系統(tǒng)減載時轉(zhuǎn)速上升120 ，經(jīng)過0.8s恢復(fù)至給定轉(zhuǎn)速。實驗結(jié)果與仿真結(jié)果基本相同，驗證了新型趨近律相比于指數(shù)趨近律具有更小的超調(diào)量、更快的響應(yīng)速度和更強的抗擾性能。

由圖15、圖16可知，指數(shù)趨近律在給定轉(zhuǎn)速為1700 時超調(diào)量為10%，調(diào)節(jié)時間為1.2s；給定轉(zhuǎn)速為2500 時超調(diào)量為4.4%，調(diào)節(jié)時間為1.6s。新型趨近律在給定轉(zhuǎn)速為1700 超調(diào)量為1.7%調(diào)節(jié)時間為0.8s，在給定轉(zhuǎn)速為2500 時超調(diào)量為2.4%，調(diào)節(jié)時間為0.7s。由此可知，新型趨近律應(yīng)用于PMSM控制系統(tǒng)中具有更小的超調(diào)量、更快的調(diào)節(jié)時間。

由圖17、圖18可知，在突加5 負載的情況下，新型趨近律相比于指數(shù)趨近律具有更快的動態(tài)響應(yīng)能力。

由圖19和圖20可知，指數(shù)趨近律控制下的電流毛刺較大，波形畸變明顯，而新型趨近律控制下的電流更加平滑。

4 結(jié) "論

本文針對傳統(tǒng)滑?？刂埔蚯袚Q函數(shù)不連續(xù)性的影響存在抖振和傳統(tǒng)指數(shù)趨近律的趨近速度與抖振抑制之間無法同時滿足高性能控制系統(tǒng)要求等問題，提出基于新型趨近律的滑?？刂破鳌Ｍㄟ^MATLAB/Simulink建立基于等速趨近律和新型趨近律的仿真模型，仿真結(jié)果表明，新型趨近律通過引入系統(tǒng)狀態(tài)變量冪次項、狀態(tài)變量雙曲正弦值和采用雙曲正切開關(guān)函數(shù)替代符號函數(shù)，可在加快PMSM控制系統(tǒng)的收斂速度、減小超調(diào)的同時抑制系統(tǒng)的抖振，提高系統(tǒng)的動態(tài)性能。最后，搭建PMSM調(diào)速系統(tǒng)實驗平臺，從工程上驗證本文所提出的新型趨近律與傳統(tǒng)等速趨近律相比，超調(diào)量更小、響應(yīng)速度更快、抗擾性更強。

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（編輯：邱赫男）