[摘 要] 文章以“二元一次方程組課時設(shè)計1：定義”為例，從內(nèi)容及其解析、教學(xué)目標(biāo)及其解析、教學(xué)問題診斷分析、教學(xué)過程設(shè)計幾個角度給出其“大立意設(shè)計、大情境引領(lǐng)、大任務(wù)驅(qū)動、大概念統(tǒng)攝”下的課時教學(xué)設(shè)計，以期為后續(xù)相關(guān)課例提供參考.

[關(guān)鍵詞] 二元一次方程組;大單元;大概念;定義

內(nèi)容及其解析

（一）內(nèi)容

“二元一次方程組”是魯教版七年級下冊第七章的教學(xué)內(nèi)容，是章起始課，共1個課時，位于教材的第2～5頁，主要內(nèi)容為二元一次方程（組）及其解的概念.

本節(jié)課重在引導(dǎo)學(xué)生感受二元一次方程（組）學(xué)習(xí)的必要性，及其在解決問題中的優(yōu)越性，理解其概念和解的意義，并進(jìn)一步體會方程是刻畫現(xiàn)實(shí)世界數(shù)量關(guān)系的有效模型.

（二）內(nèi)容解析

教材章引言為學(xué)生提供了本章內(nèi)容學(xué)習(xí)的路徑和方法;章前圖為學(xué)生呈現(xiàn)了古老的數(shù)學(xué)問題——雞兔同籠，意在引導(dǎo)學(xué)生通過多種方式（代數(shù)方法和方程方法，設(shè)“一個未知數(shù)”和設(shè)“兩個未知數(shù)”）解決上述問題，初步感受方程是刻畫現(xiàn)實(shí)世界數(shù)量關(guān)系的有效模型; 教材情境1以圖文并茂的形式為學(xué)生呈現(xiàn)了“誰的包裹多”的問題，通過此問題的解決引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步感受二元一次方程（組）是刻畫現(xiàn)實(shí)世界數(shù)量關(guān)系的有效模型，以及其在解決問題中的優(yōu)越性;教材情境2以圖文并茂的形式為學(xué)生介紹了現(xiàn)實(shí)生活中的“購票問題”，除了深化上述目的外，這個情境的另一重要目的在于引出“二元一次方程（組）”解的概念，教學(xué)中應(yīng)引起一線教師的足夠重視.

二元一次方程組是最簡單的線性方程組之一，它是刻畫現(xiàn)實(shí)世界數(shù)量關(guān)系的一個有效數(shù)學(xué)模型，也是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，乃至學(xué)習(xí)物理、化學(xué)等其他學(xué)科知識的重要基礎(chǔ). “認(rèn)識二元一次方程組”一課既是一元一次方程的延續(xù)，又是進(jìn)一步學(xué)習(xí)其他方程的前提，與研究一元一次方程的“基本套路（定義、解法、應(yīng)用）”相同.

在上述分析的基礎(chǔ)上，為體現(xiàn)單元整體設(shè)計和學(xué)科育人的理念，我們結(jié)合國際時事熱點(diǎn)，創(chuàng)設(shè)了以杭州亞運(yùn)會為主題的大情境，在保證實(shí)現(xiàn)教材情境1和情境2目的的基礎(chǔ)上，重在引導(dǎo)學(xué)生感受國家日益繁榮富強(qiáng)，培養(yǎng)學(xué)生的愛國主義情懷和頑強(qiáng)拼搏的奮斗精神.

（三）教學(xué)重點(diǎn)

基于以上分析，可確定本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)是：

二元一次方程（組）的概念，及其解的意義.

教學(xué)目標(biāo)及其解析

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（下文簡稱“《課標(biāo)2022》”）對本節(jié)課的要求如下：能根據(jù)現(xiàn)實(shí)情境理解（二元一次）方程的意義，能針對具體問題列出（二元一次）方程;理解（二元一次）方程解的意義.

（一）教學(xué)目標(biāo)

通過上述分析，可確定本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)為：

1. 在情境1和情境2中，再次感受（二元一次）方程是刻畫現(xiàn)實(shí)世界數(shù)量關(guān)系的有效模型.

2. 在情境1和情境2的解決中，概括二元一次方程（組）的概念;體會二元一次方程（組）解的意義.

3. 在課堂學(xué)習(xí)中，培養(yǎng)自強(qiáng)愛國和頑強(qiáng)拼搏的個人情懷，培育“模型觀念、運(yùn)算能力、應(yīng)用意識”等核心素養(yǎng).

（二）目標(biāo)解析

目標(biāo)1達(dá)成的標(biāo)志是：學(xué)生能夠在具體情境中發(fā)現(xiàn)兩組等量關(guān)系，在靈活設(shè)置未知數(shù)的基礎(chǔ)上，準(zhǔn)確列出方程.

目標(biāo)2達(dá)成的標(biāo)志是：學(xué)生能通過相應(yīng)的探究活動說出二元一次方程和二元一次方程組的概念;學(xué)生能說出二元一次方程的解和二元一次方程組的解的概念，并能判斷出一組數(shù)是不是某個二元一次方程組的解.

目標(biāo)3達(dá)成的標(biāo)志是：學(xué)生感受到“數(shù)學(xué)來源于生活，又服務(wù)于生活”，體會到二元一次方程（組）學(xué)習(xí)的必要性，以及其在解決問題中的優(yōu)越性;在具體情境和問題解決中為學(xué)生種下“自強(qiáng)愛國”和“頑強(qiáng)拼搏”的種子，進(jìn)而培育《課標(biāo)2022》提出的“有理想、有本領(lǐng)、有擔(dān)當(dāng)”的“三有”時代新人. （本目標(biāo)屬于情感、態(tài)度與價值觀的目標(biāo)，需要在長期過程中慢慢形成. ）

教學(xué)問題診斷分析

（一）學(xué)生已有基礎(chǔ)分析

通過一元一次方程相關(guān)內(nèi)容的學(xué)習(xí)，學(xué)生基本具備了在具體情境中尋求一組等量關(guān)系的能力，對“元”和“次”有了感性的認(rèn)識，并且能夠用一元一次方程解決現(xiàn)實(shí)生活中的實(shí)際問題，具備學(xué)習(xí)新方程的能力和條件.

（二）學(xué)生基礎(chǔ)與目標(biāo)的差距

學(xué)生雖然在六年級掌握了一元一次方程學(xué)習(xí)的“基本套路”，對“元”和“次”有了感性認(rèn)識，但是僅限于“一元”;對于簡單的等量關(guān)系（一組）可以利用方程表示，但是對于相對復(fù)雜的等量關(guān)系（兩組）的解決存在困難. 具體分析如表1.

（三）教學(xué)難點(diǎn)

通過上述分析，可確定本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)是：

在具體情境中，發(fā)現(xiàn)（兩組）等量關(guān)系，列出二元一次方程（組）.

教學(xué)過程設(shè)計

（一）創(chuàng)設(shè)情境，復(fù)習(xí)反思

播放“杭州亞運(yùn)會開幕式中國代表團(tuán)入場”的視頻，與學(xué)生一起從視頻中見證 “中國運(yùn)動力量”的震撼時刻，并讓學(xué)生談一談自己的感受.

情境1 9月23日杭州亞運(yùn)會拉開帷幕，我國共派出886名運(yùn)動員征戰(zhàn)亞運(yùn). 已知男運(yùn)動員比女運(yùn)動員多12人，你能從中發(fā)現(xiàn)或提出怎樣的數(shù)學(xué)問題？

預(yù)設(shè)：學(xué)生根據(jù)情境條件提出男、女運(yùn)動員人數(shù)的相關(guān)問題，建立一元一次方程來解決.

師生活動：通過教師引導(dǎo)，引出一元一次方程及其研究思路的復(fù)習(xí)，即定義、解法、應(yīng)用. 為本節(jié)課類比一元一次方程的研究思路，來探究學(xué)習(xí)新的一類方程——二元一次方程（組）做好鋪墊.

設(shè)計意圖 通過復(fù)習(xí)一元一次方程的相關(guān)內(nèi)容，為本節(jié)課和本章內(nèi)容的學(xué)習(xí)搭建“腳手架”;在此基礎(chǔ)上出示學(xué)習(xí)目標(biāo)，滲透本節(jié)課和本章的研究思路與方法，體現(xiàn)知識的系統(tǒng)性和一致性. 通過“確定人數(shù)”這一情境，培養(yǎng)學(xué)生在實(shí)際問題中發(fā)現(xiàn)或提出數(shù)學(xué)問題的能力，讓學(xué)生用“數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界”，培育學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng). 同時，在杭州亞運(yùn)會開幕式中國代表團(tuán)入場的壯觀場面和熱鬧氛圍中，感受祖國的繁榮昌盛，培養(yǎng)學(xué)生“自強(qiáng)愛國”和“頑強(qiáng)拼搏”的精神，培育學(xué)生的核心素養(yǎng).

（二）自主探究，目標(biāo)反思

情境2 云云和小亞以大學(xué)生志愿者的身份參與了杭州亞運(yùn)會，兩人收集了一定數(shù)量的亞運(yùn)會吉祥物徽章作為紀(jì)念. 云云收集的徽章數(shù)量比小亞多1個，如果小亞給云云1個徽章，那么云云收集的數(shù)量是小亞的2倍. 云云和小亞各收集了多少個吉祥物紀(jì)念徽章？

問題1 你能根據(jù)題目條件列出相應(yīng)的方程嗎？

設(shè)計意圖 情境2的設(shè)置，目的在于使學(xué)生意識到面對較為復(fù)雜的問題時，一元一次方程難以解決. 引發(fā)學(xué)生思考：當(dāng)“一個元”難以解決問題時，若添加一個“元”使其變?yōu)椤岸?，是否會更加簡單？根?jù)情境列出相應(yīng)的方程是一個重點(diǎn)也是難點(diǎn)，教師需引導(dǎo)學(xué)生嘗試設(shè)兩個未知數(shù)，依據(jù)等量關(guān)系將未知轉(zhuǎn)化為已知，列出二元一次方程（組），讓學(xué)生感受學(xué)習(xí)二元一次方程（組）的優(yōu)越性和必要性.

問題2 回顧情境1，你能依據(jù)其中的等量關(guān)系嘗試設(shè)兩個未知數(shù)列出相應(yīng)的方程嗎？

預(yù)設(shè)及師生活動：通過問題1和問題2，學(xué)生可以得到四個方程，分別是x-y=1 ，x+1=2（y-1）;m+n=886，m-n=12.

問題3 以上4個方程具有哪些共同特征？

預(yù)設(shè)及師生活動：在問與追問中學(xué)生類比一元一次方程歸納出二元一次方程及二元一次方程組的概念.

設(shè)計意圖 通過問題3，引導(dǎo)學(xué)生在一元一次方程的定義基礎(chǔ)上，通過類比思想，觀察“元”與“次數(shù)”的特點(diǎn)，加深對“元”和“次數(shù)”的認(rèn)識，從而歸納出二元一次方程和二元一次方程組的定義.

課堂生成：在類比一元一次方程定義的基礎(chǔ)上，通過觀察未知數(shù)個數(shù)和含未知數(shù)項的次數(shù)的特征，學(xué)生可以輕松地用自己的語言給出二元一次方程的定義;教師通過引導(dǎo)學(xué)生對同個情境中感受未知數(shù)代表對象的一致，給出二元一次方程組的定義.

練習(xí)：

1.下列方程是二元一次方程嗎？

2.下列方程組是二元一次方程組嗎？

3. 如果關(guān)于x，y的方程xm-1-y4+n=7是二元一次方程，則m=____， n=____.

變式：若（m-1）x∣m∣-2y=1是關(guān)于x，y的二元一次方程，則m=____.

4. 在亞運(yùn)會的女子輕量級雙人雙槳比賽中，中國體育代表團(tuán)的鄒佳琪和岳秀萍奪得冠軍，摘得杭州亞運(yùn)會首金. 在一場雙人雙槳比賽中，小亞一家前去觀賽. 已知小亞家共5人，買門票花費(fèi)400元（成人門票100元，學(xué)生半價），請問小亞家成人和學(xué)生各多少人？（只列方程，不求解）

設(shè)計意圖 練習(xí)1和練習(xí)2是較為簡單的概念辨析練習(xí)題，目的是使學(xué)生加深對二元一次方程（組）中“二元”和“一次”的理解. 練習(xí)3及變式則為二元一次方程（組）概念的簡單應(yīng)用，難度稍大，能加強(qiáng)學(xué)生對知識的理解. 練習(xí)4以“亞運(yùn)會主題背景”的形式呈現(xiàn)，目的是讓學(xué)生通過現(xiàn)實(shí)情境問題建立方程模型，并進(jìn)一步體會方程模型思想. 同時，進(jìn)一步體會中華民族頑強(qiáng)拼搏的精神，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的激情和動力.

（三）合作探究，問題反思

問題4 （1）如果考慮練習(xí)4情境，你能找到哪些x，y的值滿足方程x+y=5？

（2）如果不考慮練習(xí)4的情境，你能找到哪些x，y的值滿足方程x+y=5 ？

（3）按照同樣的方法，你能找到哪些x，y的值滿足方程100x+50y=400？

問題5 根據(jù)你找到的x，y的值，你有什么發(fā)現(xiàn)？

設(shè)計意圖 問題4（1）的設(shè)置使學(xué)生先在具體的情境中感受二元一次方程的解存在的實(shí)際意義，再在問題4（2）（3）去除問題情境時，從純數(shù)學(xué)問題的角度充分感受二元一次方程的解的可能性，最后通過問題5類比一元一次方程的解，發(fā)現(xiàn)二元一次方程的解的特點(diǎn)——存在無數(shù)組解.

課堂生成：學(xué)生通過具體情境中的實(shí)際條件，發(fā)現(xiàn)x，y的值存在一些限制，只能得到有限組滿足二元一次方程的值. 但在去除情境后，從代數(shù)的角度，學(xué)生大膽代入各類數(shù)值，會發(fā)現(xiàn)滿足二元一次方程的值存在無數(shù)組，從而充分感受到二元一次方程與一元一次方程的解的不同之處，從而類比一元一次方程的解的概念，總結(jié)出二元一次方程的解的概念.

問題6 小組合作，對比下面兩個表格中每一組x，y的值，你有什么發(fā)現(xiàn)？

設(shè)計意圖 感受二元一次方程組的解是其兩個方程的公共解是一個難點(diǎn)，而直觀的表格對比能夠讓學(xué)生清晰地觀察到當(dāng)兩個x的值相等時，對應(yīng)的y值僅存在一組是相等的，從而理解二元一次方程組的解是兩個方程各組解的“公共部分”，加深對二元一次方程組的解的感受.

課堂生成：當(dāng)學(xué)生獨(dú)自觀察時，容易將兩個方程對應(yīng)的x值和y值當(dāng)作兩個獨(dú)立的“個體”來進(jìn)行觀察，這時教師需要引導(dǎo)學(xué)生把解組合，并注意兩個方程每一組的解在x值相同時，對應(yīng)的y值是怎樣的特點(diǎn)，學(xué)生就能較為直觀地找到“公共解”，從而歸納出二元一次方程組的解的概念.

練習(xí)：

1.下面4組數(shù)值，哪些是二元一次方程2x+y=10的解？

（四）整合提高，總結(jié)反思

如圖1所示.

設(shè)計意圖 通過思維導(dǎo)圖的形式，站在方程的大單元視角回顧本節(jié)課的學(xué)習(xí)過程，通過方程的基本學(xué)習(xí)思路（定義、解法、應(yīng)用）奠定“二元一次方程組”這一章節(jié)后續(xù)課程的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)，并為后續(xù)學(xué)習(xí)分式方程、一元二次方程指明學(xué)習(xí)方向，指向“學(xué)會學(xué)習(xí)”. 將方程的學(xué)習(xí)思路放在初中階段“數(shù)與式”中函數(shù)與不等式的學(xué)習(xí)中也同樣適用，從而完善了初中數(shù)學(xué)“數(shù)與式”的大單元學(xué)習(xí)套路. 同時，在方程大單元的學(xué)習(xí)過程中，幫助學(xué)生構(gòu)建知識結(jié)構(gòu)圖，將所學(xué)知識納入原有知識體系，能培育學(xué)生的抽象觀念、模型觀念、應(yīng)用意識等核心素養(yǎng).

（五）布置作業(yè)，梳理反思

達(dá)標(biāo)檢測：

1. 下列不是二元一次方程組的是（ ）

3. 作為世界級賽事的亞運(yùn)會承擔(dān)著向外界展示我國科技力量的任務(wù)，而延續(xù)人工智能特色的食堂自冬奧會起就一直吸引著各國媒體的眼球. 承包食物加工的公司收購了某種蔬菜140 t，該公司每天可以粗加工16 t、精加工6 t，現(xiàn)計劃用15天完成加工任務(wù)，請問：該公司應(yīng)安排幾天粗加工、幾天精加工？（只列方程組，不求解）

布置作業(yè)：

1. 基礎(chǔ)作業(yè)：課時作業(yè)，共10題，其中選擇題4題，填空題3題，解答題3題，每種題型均分層呈現(xiàn)試題（要求當(dāng)天完成，限于篇幅，此處略去）.

2. 實(shí)踐作業(yè)：

請你結(jié)合亞運(yùn)會，編一道與“二元一次方程組”有關(guān)的題目.

預(yù)設(shè)及師生活動：達(dá)標(biāo)檢測獨(dú)立完成，教師訂正答案，學(xué)生交換批改. 短作業(yè)（基礎(chǔ)作業(yè)）課后20分鐘內(nèi)完成;長作業(yè)（實(shí)踐作業(yè)）貫穿本章學(xué)習(xí)的始終，提高學(xué)習(xí)能力和興趣，為后續(xù)二元一次方程組解法的學(xué)習(xí)做鋪墊.

設(shè)計意圖 通過一組練習(xí)鞏固本節(jié)課學(xué)習(xí)的“二元一次方程和二元一次方程組”，實(shí)現(xiàn)“堂堂清、日日清”. 作業(yè)是學(xué)生鞏固知識、形成能力、培養(yǎng)習(xí)慣的重要載體，也是教師了解學(xué)情、完善教學(xué)管理的重要手段，在“雙減”背景下，上述作業(yè)設(shè)計力求做到“讓不同的學(xué)生在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展”，體現(xiàn)了控制數(shù)量、提高質(zhì)量;分層作業(yè)，面向全體;注重基礎(chǔ)，培育素養(yǎng).