[摘 要] 整體思想方法是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，其在解題中有著廣泛的應(yīng)用. 教學(xué)中，教師要重視培養(yǎng)學(xué)生整體意識，引導(dǎo)學(xué)生從不同視角出發(fā)，尋求多種解決問題的方法，讓學(xué)生在經(jīng)歷與體驗(yàn)中感悟知識間、方法間的聯(lián)系，感悟整體思想的價值，真正提高學(xué)生的思維能力和解題能力.

[關(guān)鍵詞] 整體思想方法;整體意識;思維能力;解題能力

整體思想著眼于宏觀，從整體上把握問題的來龍去脈，避免“只見樹木，不見森林”的局限性，可以幫助學(xué)生樹立整體觀念，提高學(xué)生學(xué)習(xí)能力. 不過，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，為了降低問題的難度，教師常常引導(dǎo)學(xué)生將問題進(jìn)行拆分，讓學(xué)生通過小問題的解決來達(dá)到解題的目的. 要知道，對于一些問題的解決，有時從局部出發(fā)會使問題變得越來越煩瑣，不僅會增加計算量，而且有時可能難以達(dá)到解題的目的. 因此，教師應(yīng)重視培養(yǎng)學(xué)生的整體觀念，引導(dǎo)學(xué)生從全局的角度出發(fā)，尋求已知與未知的聯(lián)系，通過適度的滲透來增加學(xué)生思維的深度，拓展學(xué)生思維的廣度，提高學(xué)生解決問題的能力. 另外，解題中教師切勿就題論題，要讓學(xué)生追問一個“為什么”，以此通過深度思考提煉數(shù)學(xué)思想方法，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)本質(zhì). 筆者以具體教學(xué)案例為切入點(diǎn)，就整體思想方法在解題中的應(yīng)用提出了幾點(diǎn)看法，若有不足，請指正.

問題呈現(xiàn)

復(fù)習(xí)“整式及其加減”一課中，在教師引導(dǎo)和師生互動交流中學(xué)生完成了對相關(guān)知識的系統(tǒng)梳理. 為了鞏固知識，強(qiáng)化技能，教師又給出經(jīng)典試題讓學(xué)生練習(xí)，以此通過“講練結(jié)合”的方式提升學(xué)生解題技能. 一道關(guān)于應(yīng)用整體數(shù)學(xué)思想方法處理的題目，引發(fā)了筆者的思考.

例1 已知m2-2m-1=0，求4m-2m2+3的值.

教學(xué)片段回放

大多數(shù)學(xué)生認(rèn)為要求4m-2m2+3的值，需要先求出m的值，但是學(xué)生還沒有學(xué)習(xí)如何解一元二次方程. 為了幫助學(xué)生順利解決問題，教師直接呈現(xiàn)解題過程.

師：我們還可以用整體思想方法來處理此題，將已知條件變形得2m-m2= -1，兩邊同時乘2得4m-2m2= -2，所以4m-2m2+3=-2+3=1.

教師給出類似的題目讓學(xué)生練習(xí)：

在例1的基礎(chǔ)上，學(xué)生很快運(yùn)用整體代換得到答案.

教學(xué)思考：教學(xué)中，當(dāng)學(xué)生遇到障礙后，教師簡單分析解題方法后就直接呈現(xiàn)解題過程，然后讓學(xué)生進(jìn)行模仿練習(xí)，這樣通過“示范+練習(xí)”的模式會有一定的教學(xué)效果，但是因?yàn)槿狈W(xué)生深度分析的過程，很難讓學(xué)生形成深刻的認(rèn)識，不利于學(xué)生提煉整體思想方法，提升善思善變解題能力. 因此，在實(shí)際教學(xué)中，教師還應(yīng)對以上教學(xué)素材進(jìn)行深度挖掘，充分發(fā)揮其教育價值，讓學(xué)生深刻理解整體思想方法，培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

改進(jìn)策略

1. 多視角分析，理解整體思想

整體思想就是從問題的整體入手，善于用“集成”的眼光看問題，突出對問題整體結(jié)構(gòu)分析和改造，運(yùn)用整體代入、整體換元、整體聯(lián)想等形式將某些式子看成一個整體，從更高的角度來把握問題的方向和解決問題的策略. 在日常教學(xué)中，很多學(xué)生習(xí)慣于從細(xì)節(jié)出發(fā)，關(guān)注單一問題的解決，使得在解決一些問題時走了彎路，影響了解題效率. 為了改變這一局面，教師要引導(dǎo)學(xué)生把注意力和著眼點(diǎn)放在整體上，發(fā)現(xiàn)問題的整體結(jié)構(gòu)的特征，把一些看似孤立但卻緊密相連的問題作為一個整體來處理.

初中生的思維處于由具體形象思維到抽象思維的過渡期. 在培養(yǎng)學(xué)生整體思想觀念時，教師應(yīng)從教學(xué)實(shí)際出發(fā)，基于學(xué)生的思維特點(diǎn)設(shè)計一些具體直觀的實(shí)例，從而通過經(jīng)歷“觀察—分析—聯(lián)想—抽象”等過程，讓學(xué)生領(lǐng)悟整體思想方法. 另外，教師要帶領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行多角度分析，將抽象的思想方法轉(zhuǎn)化為整體代入、整體換元、整體運(yùn)算等具體方法，通過“抽象與具體”的轉(zhuǎn)化，真正提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力和解題能力.

另外，對抽象的數(shù)學(xué)思想方法的理解是一個自我感悟的過程，是無法靠機(jī)械灌輸達(dá)成的，因此，教學(xué)中教師要預(yù)留一定的時間和空間讓學(xué)生去體會、發(fā)現(xiàn)、感悟，不能直接通過“示范—練習(xí)”的方式讓學(xué)生機(jī)械模仿. “整體”是一個相對的概念，要將其放在限定的情境中，讓學(xué)生結(jié)合具體問題進(jìn)行分析、對比，最終確定最優(yōu)方案. 對于例1，認(rèn)真分析“已知”和“所求”不難發(fā)現(xiàn)，“m2-2m”與“4m-2m2”存在明顯的聯(lián)系，若從整體出發(fā)，運(yùn)用整體代入法來求解可以有效避免煩瑣運(yùn)算，從而提高解題效率和解題準(zhǔn)確率.

2. 多方位體驗(yàn)，積累解題經(jīng)驗(yàn)

“一題多解，多題歸一”是提高學(xué)生解題能力的重要武器，其有利于學(xué)生揭示問題的本質(zhì)，提高舉一反三的能力. 在實(shí)際教學(xué)中，教師要給予學(xué)生更多體驗(yàn)的機(jī)會，讓學(xué)生在體驗(yàn)中積累活動經(jīng)驗(yàn)，從而通過經(jīng)歷“舉三歸一”，促進(jìn)“舉一反三”的達(dá)成. 教師不僅要把自己的解題經(jīng)驗(yàn)教給學(xué)生，也要預(yù)留時間讓學(xué)生去體會、理解，從而將經(jīng)驗(yàn)轉(zhuǎn)化為能力.

例如，在探索例1的過程中，當(dāng)學(xué)生求解碰壁后，教師不要急于呈現(xiàn)解決問題的方法，可以啟發(fā)學(xué)生從“整體”角度出發(fā)，尋找其他解題路徑. 同時，教師要提供時間讓學(xué)生去思考、嘗試，然后通過點(diǎn)撥和指導(dǎo)讓學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)求解方法. 在學(xué)生理解和掌握的基礎(chǔ)上，教師再給出類似的題目并預(yù)留時間讓學(xué)生思考，摸索規(guī)律，總結(jié)方法，最終形成個體寶貴的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，發(fā)展學(xué)生的整體意識，提升核心素養(yǎng).

因?yàn)閭€體間存在差異，所以學(xué)生看問題的角度也有所不同. 對此，教師不妨讓學(xué)生多方位體驗(yàn)，從而積累豐富的活動經(jīng)驗(yàn)，發(fā)散數(shù)學(xué)思維. 教師啟發(fā)學(xué)生從“整體”出發(fā)后，預(yù)留時間讓學(xué)生獨(dú)立探索，學(xué)生給出了如下探索路徑.

路徑1：由已知得出一項.

方法1：已知變形得m2=2m+1，代入得4m-2m2+3=4m-2（2m+1）+3=1.

方法2：已知變形得1=m2-2m，代入得4m-2m2+3=4m-2m2+3（m2-2m）=m2-2m=1.

路徑2：由已知得出兩項.

方法1：已知變形得2m+1=m2，兩邊同時乘2，得4m+2=2m2，代入得4m-2m2+3=（4m+2）+1-2m2=2m2+1-2m2=1.

方法2：已知變形得2m-m2=-1，兩邊同時乘2得4m-2m2=-2，所以4m-2m2+3=-2+3=1.

路徑3：將三項視為整體.

=-2（m2-2m-1）+1

=-2×0+1

=1.

教師展示學(xué)生解題過程，并讓學(xué)生思考如下問題：

（1）對比以上解題路徑，你的體會是什么？

（2）對于整體思想方法，你是如何理解的？

（3）你還有其他解決該問題的方法嗎？能否求出m的值，然后代入代數(shù)式中求解呢？

（4）假設(shè)可以求出m的值，你認(rèn)為還有必要應(yīng)用整體代入法嗎？

這樣通過解后反思既可以幫助學(xué)生積累豐富的活動經(jīng)驗(yàn)，又可以培養(yǎng)學(xué)生的整體意識，有利于學(xué)生理解、接受和記憶. 另外，問題3中，教師讓學(xué)生思考如何求解m的值，激發(fā)了學(xué)生的探究欲，為今后學(xué)習(xí)解一元二次方程做好鋪墊. 同時，在此過程中，通過多方位體驗(yàn)，讓學(xué)生感知知識間的關(guān)聯(lián)性、方法間的統(tǒng)一性，有利于打開學(xué)生的視野、拓展學(xué)生的思維、發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

3. 多層次分析，強(qiáng)化整體意識

對初中生而言，因受知識水平、思維習(xí)慣、學(xué)習(xí)習(xí)慣和教學(xué)方式等多種因素的影響，大多數(shù)學(xué)生的整體意識不強(qiáng)，在一定程度上影響了學(xué)生知識結(jié)構(gòu)的建立，限制了學(xué)生思維能力的發(fā)展，因此教師應(yīng)把培養(yǎng)學(xué)生整體意識作為一項基本任務(wù). 所謂整體意識就是從全局上考慮問題的思維習(xí)慣和自覺意識，它是讓學(xué)生領(lǐng)悟整體思想的關(guān)鍵. 當(dāng)然，在培養(yǎng)學(xué)生整體意識的過程中，不能僅強(qiáng)調(diào)整體，還要強(qiáng)調(diào)整體與局部的關(guān)系，理解整體與局部是相對的，讓學(xué)生學(xué)會用發(fā)展的眼光看待問題.

在以上教學(xué)中，教師引導(dǎo)學(xué)生從整體出發(fā)，得到了多種解決問題的方法，并理解了整體思想. 通過經(jīng)歷、體驗(yàn)、思考等過程后，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生從全局上考慮，通過對知識的梳理和總結(jié)，強(qiáng)化學(xué)生整體意識. 在例1順利求解后，教師可以引導(dǎo)學(xué)生從如下幾個方面進(jìn)行梳理：

（1）從解法的共性出發(fā)，利用已知確定代換的對象，通過經(jīng)歷“代換—化簡”，最后求出代數(shù)式的值.

（2）從解法的不同出發(fā)，不同的路徑其運(yùn)算量不同，思維要么順向要么逆向. 路徑1是一項代入，在該路徑的探究中學(xué)生得到了不同的方法. 方法1更具代表性，m2替換后，可以達(dá)到降冪的效果，以此將“未知”（一元二次方程）轉(zhuǎn)化為“已知”（一元一次方程），運(yùn)用已有經(jīng)驗(yàn)輕松解決問題. 路徑2是兩項代入，將已知變形后再代入，充分利用已知條件與代數(shù)式間的聯(lián)系，通過有效變形，整體代入求值. 路徑3是三項代入，該方法對思維水平要求較高，先是“拼湊”變形，然后是整體代換，一般很少有學(xué)生想到應(yīng)用路徑3求解.

通過分析和梳理，讓學(xué)生理解不同方法的優(yōu)、缺點(diǎn)，此時教師還可以引導(dǎo)學(xué)生思考，對于例1，哪種方法運(yùn)算最方便，哪種方法最易于理解，通過對比分析培養(yǎng)學(xué)生的最優(yōu)意識. 另外，在知識梳理過程中，教師還需要指出，已知m2-2m-1=0是關(guān)于m的一元二次方程，以后會具體學(xué)習(xí)一元二次方程的解法，這樣可以先求出m的值，再直接代入代數(shù)式求值，以此通過適當(dāng)鋪墊喚起學(xué)生探究新知（一元二次方程）的欲望.

4. 多角度引導(dǎo)，化解思維障礙

教師應(yīng)多從學(xué)生的視角去思考和解決問題，捕捉學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中出現(xiàn)的難點(diǎn)、疑惑點(diǎn)，從而通過重點(diǎn)教學(xué)幫助學(xué)生排難解惑. 從學(xué)生解決問題的過程來看，學(xué)生不能敏銳地感知代數(shù)式結(jié)構(gòu)關(guān)系，沒有很好地將知識與未知建立聯(lián)系，進(jìn)而在解題時陷入混沌，未能順利解題. 為了幫助學(xué)生突破難點(diǎn)，教師要給予及時的指導(dǎo)、啟發(fā)，讓學(xué)生在學(xué)會的基礎(chǔ)上會學(xué)，提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)水平.

（1）整體分析，尋找解題入口

分析 通過觀察題設(shè)信息，可以確定利用整體代換解決問題，但是具體如何替換？選擇什么作為代換的對象呢？

思路2：設(shè)a=2m，則b=3m，代入求值.

思維3：將所求代數(shù)式變形.

（2）整體觀察，優(yōu)化運(yùn)算

在以上解題過程中，教師不要急于呈現(xiàn)答案，應(yīng)放手讓學(xué)生去思考，并在學(xué)生遇到障礙時進(jìn)行適度的啟發(fā)與指導(dǎo)，鼓勵學(xué)生從整體出發(fā)，通過整體分析與觀察找到最優(yōu)的解題辦法，從而讓學(xué)生在思考與探索中獲得成功的體驗(yàn)，提升學(xué)習(xí)信心.

教學(xué)思考

解題時合理應(yīng)用整體思想可以使數(shù)學(xué)問題變得簡單，有利于學(xué)生提高解題效率. 在教學(xué)中，教師要有意識地培養(yǎng)學(xué)生的整體意識，引導(dǎo)學(xué)生從整體觀點(diǎn)出發(fā)，運(yùn)用整體觀察、整體分析、整體運(yùn)算等策略來優(yōu)化解題過程，以此讓學(xué)生感受整體思想的價值，提高數(shù)學(xué)應(yīng)用意識.

從以上教學(xué)過程來看，因?yàn)閷W(xué)生整體性觀察能力較為薄弱，所以在解決例1時并沒有將已知與未知建立聯(lián)系，從而在解題時受阻. 為了改變這一現(xiàn)象，教學(xué)中教師要避免單一地講授和機(jī)械地模仿，應(yīng)帶領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷知識與方法的形成過程，讓學(xué)生在問題的解決中總結(jié)規(guī)律，形成經(jīng)驗(yàn)，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想方法. 同時，教師應(yīng)從學(xué)生實(shí)際情況出發(fā)，充分挖掘習(xí)題的教育功能，通過采用不同路徑的解決策略來培養(yǎng)學(xué)生的整體意識，讓學(xué)生在探索中發(fā)現(xiàn)多樣的解題方法，通過對比分析強(qiáng)化學(xué)生的整體意識. 另外，教師既要認(rèn)真研究教學(xué)，精心預(yù)設(shè)，又要結(jié)合教學(xué)實(shí)際靈活調(diào)整教學(xué)策略，還要進(jìn)行有效的教后反思，以此推動以“學(xué)”為中心的教學(xué)策略的開展.

許多數(shù)學(xué)題目的解法是多種多樣的，教師要利用好“一題多解、一題多變、多題歸一”等多樣的教學(xué)手段，鼓勵和啟發(fā)學(xué)生多角度、多維度地探究問題，以便在不斷的探索與嘗試中積累豐富的解題經(jīng)驗(yàn)，提高解題能力.

總之，在日常教學(xué)中，教師不要越俎代庖，要充分發(fā)揮好學(xué)生的主體性，貫徹“以生為本”的教學(xué)理念，提供機(jī)會和時間讓學(xué)生去經(jīng)歷、體驗(yàn)、感悟，進(jìn)而有效發(fā)展思維能力，落實(shí)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).