[摘 要] 基于深度學習的微專題教學是一種深入且高效的教學模式，對復習教學與優(yōu)化學生的數(shù)學思維具有重要價值. 文章以“旋轉(zhuǎn)構(gòu)造相似三角形”的復習教學為例，分別從旋轉(zhuǎn)全等形、旋轉(zhuǎn)相似形與旋轉(zhuǎn)圓形三類經(jīng)典問題出發(fā)，強調(diào)從微專題的角度開發(fā)課堂，是形成個性化課例教學的基礎，也是踐行深度學習理念的基本途徑.

[關(guān)鍵詞] 微專題;深度學習;旋轉(zhuǎn)

新課改背景下的數(shù)學課堂與傳統(tǒng)課堂相比，多了很多新的教學手段與方法，課堂也注入了很多新的活力. 然而，仍有部分學生習慣性地被動學習，缺少將新舊知識相聯(lián)系的習慣，導致對問題的思考不深入，對知識的理解浮光掠影. 若想改善這一現(xiàn)象，最好的辦法就是踐行深度學習理念，讓學生真正掌握知識本質(zhì)，對知識間的聯(lián)系產(chǎn)生明確認識. 微專題教學屬于一種高針對性、小切入點的專題教學模式，其對推進深度學習具有重要意義.

教學分析

在旋轉(zhuǎn)變換的基礎上探尋點的運動軌跡或線段的最值問題是初中階段數(shù)學教學的重點與難點之一，在中考考題中也常有出現(xiàn). 此類問題因涉及旋轉(zhuǎn)變換，對學生空間思維要求較高，尤其是動態(tài)圖形的旋轉(zhuǎn)給學生帶來不小的挑戰(zhàn). 細細揣摩這類問題，會發(fā)現(xiàn)此類題型并非無規(guī)律可循，它們之間存在一定的共性特點，即問題提供的圖形不會太復雜，只要梳理清楚點、線、形的從屬關(guān)系，發(fā)現(xiàn)問題背后的隱含條件，再借助旋轉(zhuǎn)變換構(gòu)造圖形，便能解決.

教學過程

（一）旋轉(zhuǎn)全等形

在復習課中，將經(jīng)典題源作為題根，不僅能幫助學生夯實知識基礎，還能以此為母題進行改編，發(fā)展學生思維的靈活性. 揭露幾何圖形中所隱含的“旋轉(zhuǎn)全等形”這一幾何模型，對解決幾何綜合性問題具有幫助.

問題1 如圖1所示，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，BA=CA，D是BC邊上不與點B，C重合的一個動點，連接AD，將AD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°，設點D的對應點為E，連接EC，那么BD與EC之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系？

于學生而言，本題難度不大. 在原有認知經(jīng)驗基礎上，學生會自主證得△ADB≌△AEC，因此BD=EC，∠ACE=∠DBA=45°. 所以EC⊥BC. 因此BD與EC為垂直且相等的關(guān)系.

變式1 如圖2所示，在Rt△ABC中，∠CAB=90°，BA=CA，點D在△ABC內(nèi)，CD=1，BD=3，∠ADC=135°，線段AD的長是多少？

設計意圖 解決本題的關(guān)鍵在于借助旋轉(zhuǎn)構(gòu)造全等三角形，通過轉(zhuǎn)換將DE與題中明確給出的兩條線段構(gòu)成一個直角三角形，由此解得AD=2.

如果將△ABC內(nèi)的點D遷移到三角形的外面，是否依然能快速獲得AD的長呢？基于這一想法，教師可順勢提出變式2.

變式2 如圖3所示，在四邊形ABCD中，∠ACB=∠ABC=∠ADC=45°，CD=1，BD=3，則AD的長是多少？

設計意圖 從形式上看，將點D由圖形內(nèi)轉(zhuǎn)移到圖形外，圖形形狀發(fā)生了較大改變，但從解題思路來看，它的解題方法與變式1高度相似，突出了解題過程“形變而理不變”的思想.

縱觀此教學過程，變式的應用促使學生獲得了舉一反三的能力，并從變化的問題中發(fā)現(xiàn)了解題通法. 基于“繞定點旋轉(zhuǎn)構(gòu)造全等圖形”這一動態(tài)變化，發(fā)現(xiàn)恒定不變的量，由此形成“以靜制動”的解題技巧，提升理解與思辨能力.

（二）旋轉(zhuǎn)相似形

基于學科角度來觀察，數(shù)學中的“全等”與“相似”總是相伴相隨，那么繞定點旋轉(zhuǎn)構(gòu)造圖形時，是否可從“相似”的角度來分析呢？為了探索這一問題，筆者帶領學生以特殊直角三角形的旋轉(zhuǎn)為切入點展開分析.

問題2 如圖4所示，在△ABC與△ADE中，∠BAC=∠EAD=90°，點D在BC邊上，且與點B和點C不重合，連接CE，∠ADE=∠ABC=60°，那么線段CE與BD之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系？

拓展1 如圖5所示，在Rt△ABC中，AB=3，AC=4，∠CAB=90°，D是BC邊上的一個動點，連接AD，將點A作為直角頂點作Rt△DEA，令∠EDA=60°，連接CE，那么線段CE最短是多少？（解題過程略）

設計意圖 題設條件明確給出兩條已知線段與待求線段BD之間的關(guān)系為“共用一個端點D”，根據(jù)這一條件與變式2進行類比，構(gòu)造直角三角形之后利用勾股定理實施求解. 逐層遞進的問題讓學生切身體會到了“繞定點旋轉(zhuǎn)構(gòu)造相似形”是解決這類問題的核心，此為發(fā)展學生建模能力的過程.

（三）旋轉(zhuǎn)圓形

探索旋轉(zhuǎn)類問題時，需將點的運動軌跡、直線運動、弧形運動問題進行辨析. 從某種意義上來說，弧形運動看似復雜，但解題思路并沒有什么新奇的地方，解題本質(zhì)不變. 為了幫助學生理解這一點，筆者讓學生在不同圖形的變化中進一步體會如何用靜態(tài)的方法解決動態(tài)圖形問題.

問題3 如圖8所示，點O為AB的中點，AB=4，☉O的半徑r=1，D為☉O上的一個動點，連接BD，同時把線段BD圍繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)90°，將旋轉(zhuǎn)后點B的對應點標注為點C，連接AC，那么線段AC的取值范圍是什么？

拓展1 如圖9所示，若P為正方形ABCD外一點，正方形ABCD的中心為O，AP=3，BP=4，則DP的最小值、CP的最大值分別是多少？OP的取值范圍呢？

半徑的圓. 所以3+4為線段CP的最大值. 以此類推，不難探索到線段DP的最小值. 至于OP的取值范圍，可從如下角度去思考：將△APB繞點B順時針旋轉(zhuǎn)45°，并縮小到原來的，得到△OP″B，得到動點O的運動軌跡為以點P″為圓心、為

拓展2 如圖10所示，已知正六邊形ABCDEF的中心為O，其外有一點P，AP=3，BP=4，求CP的最大值，DP的最小值，以及OP的取值范圍.

設計意圖 雖然拓展2中問題的載體發(fā)生了改變，但沒有改變其核心解題思路. 解決此類問題，基本遵循如下流程：分析圖形中動點、定點所在的圖形，探索待求線段之間所具備的位置關(guān)系，基于觀察與分析思考圍繞哪個定點旋轉(zhuǎn)可以構(gòu)造出相似圖形，由此暴露新圖形與特定條件間所具備的隱含關(guān)系，找到新動點所處的定圓. 如此設計可進一步幫助學生理順解題思路，讓學生體悟“動中探定”的一般流程，為形成解題通法奠定基礎.

教學思考

（一）精選例題、揭露規(guī)律是微專題教學的基礎

核心素養(yǎng)導向下的數(shù)學教學需在“雙減”的基礎上，精心設計教學方案，讓學生在少而精的問題中發(fā)現(xiàn)解決問題的一般規(guī)律，獲得知識或思想方法的融會貫通，形成舉一反三的解題能力. 本節(jié)課，教師根據(jù)學情與教情，精心挑選了三類典型問題帶領學生展開探索與分析，學生的思維隨著問題的演變逐漸深入，不僅獲得了解決這些問題的基本方法，還對一系列轉(zhuǎn)化過程有了明確認識，獲得了從“動”中發(fā)現(xiàn)“定”與從“定”中發(fā)現(xiàn)“變”的規(guī)律，真正落實了深度學習，體現(xiàn)了思維的創(chuàng)造性與靈活性.

（二）以生為本、深度探索是微專題教學的關(guān)鍵

《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》明確指出，學生是學習的主體，是課堂的主人. 教師應時刻謹記這一點，才能落實“立德樹人”的理念. 微專題應用在復習教學中，最大的特點是“既微又?！保饕w現(xiàn)在核心知識明確、探索過程清晰、思維含量高、探索程度深等方面. 本節(jié)課的探索主題為“旋轉(zhuǎn)構(gòu)造相似三角形”，那么一切教學活動的開展，均以這一知識點為核心. 整個探索過程，教師都將主動權(quán)交給學生，鼓勵學生以獨立思考、自主分析、合作交流等模式挖掘問題的本質(zhì)，提煉思想方法，歸納解決問題的一般流程，取得了不錯的教學成效.

（三）方法提煉、發(fā)展素養(yǎng)是微專題教學的目標

新課標引領下的初中數(shù)學教學，要將學生的發(fā)展作為教學的首要目標. 學生的發(fā)展主要體現(xiàn)在數(shù)學思想方法的提煉、思維品質(zhì)的提升、關(guān)鍵能力的形成與人格的建立等方面. 復習教學是基于學生已有認知經(jīng)驗的鞏固、提煉與升華，因此更需要關(guān)注對“人”的教育. 本節(jié)課，學生在對幾個經(jīng)典問題的探索中，不斷感知數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸、類比等思想方法對解題的重要性;變式與拓展的應用，進一步拓寬了學生的視野，讓學生對“動”“定”轉(zhuǎn)化問題有了更為深刻的認識;解題中，學生通過對問題的分析與總結(jié)，逐步提升了數(shù)學概括、邏輯推理、運算等素養(yǎng)，這些都是發(fā)展核心素養(yǎng)的必備條件.

總之，基于“小專題，大視野”的視角進行微專題復習教學，不僅能將深度學習、以生為本等理念落到實處，還能推進學生思維的發(fā)展，達到“立德樹人”的目標. 因此基于深度學習的微專題復習教學是促進學生學力發(fā)展的重要舉措.