[摘 要] 文章以“銳角三角函數(shù)的概念”教學(xué)為例，基于大單元視角下抽象能力發(fā)展的數(shù)學(xué)教學(xué)展開了研究與思考. 首先從單元教學(xué)內(nèi)容與學(xué)情分析出發(fā)，根據(jù)實(shí)際情況分別從“梳理知識，確定研究路徑”“創(chuàng)設(shè)情境，認(rèn)識知識特征”“類比分析，抽象共性特征”“抽象概念，應(yīng)用符號表達(dá)”“理解概念，辨析加以應(yīng)用”“總結(jié)歸納，提煉知識架構(gòu)”等方面展開教學(xué)實(shí)踐與探索.

[關(guān)鍵詞] 大單元;抽象能力;教學(xué)

初中階段是培養(yǎng)與發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的關(guān)鍵期，隨著新課標(biāo)的落地，單元教學(xué)理念被推上了空前的高度. 如何基于大單元視角下培育初中階段學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)呢？對此筆者進(jìn)行了多維度的探索與研究，認(rèn)為基于大單元視角下注重對學(xué)生抽象能力的培養(yǎng)，不僅能體現(xiàn)學(xué)科教育“立德樹人”的價值，還能有效挖掘?qū)W生的潛能，促學(xué)力發(fā)展.

活動設(shè)計(jì)

（一）單元教學(xué)內(nèi)容分析

銳角三角函數(shù)的核心是對圖形的定量研究，本節(jié)課所探索的銳角三角函數(shù)是后續(xù)高中三角函數(shù)教學(xué)的基礎(chǔ). 為此，我們應(yīng)尤為關(guān)注對這部分內(nèi)容的研究，本單元的研究是基于直角三角形特殊的邊角關(guān)系，借助相似三角形的相關(guān)性質(zhì)，對其邊角關(guān)系實(shí)施量化分析的過程. 將本單元主要涉及的知識點(diǎn)與研究方法等羅列到一起，形成圖1.

（二）學(xué)情分析

此為九年級的教學(xué)內(nèi)容，該階段的學(xué)生已經(jīng)接觸過勾股定理、角的互余、相似與全等三角形、函數(shù)等知識，這些內(nèi)容都是本節(jié)課教學(xué)的基礎(chǔ). 結(jié)合課前測的反饋來看，百分之八十幾的學(xué)生能直接應(yīng)用“勾股定理”與“直角三角形中30°的角所對的直角邊等于斜邊的一半”這個結(jié)論;百分之七十幾的學(xué)生能應(yīng)用相似的性質(zhì)與判定定理. 基于學(xué)生實(shí)際認(rèn)知水平與活動經(jīng)驗(yàn)，為本節(jié)課設(shè)計(jì)教學(xué)活動，可引導(dǎo)學(xué)生從實(shí)驗(yàn)、觀察、猜想與驗(yàn)證中歸納結(jié)論，感知數(shù)學(xué)從特殊到一般的思想，發(fā)展學(xué)生的抽象能力與邏輯推理能力.

（三）教學(xué)簡錄

1. 梳理知識，確定研究路徑

大單元背景下的數(shù)學(xué)教學(xué)，需從結(jié)構(gòu)化與體系化的角度出發(fā)，對知識點(diǎn)進(jìn)行架構(gòu)性梳理，以便探尋新知的研究路徑，為形成研究的通性通法奠定基礎(chǔ)，提高教學(xué)效率. 本節(jié)課，所研究的核心知識與直角三角形相關(guān)，結(jié)合知識的上下位關(guān)系，教師可引導(dǎo)學(xué)生在課堂伊始一起回顧并整理三角形相關(guān)的知識結(jié)構(gòu)，為本節(jié)課教學(xué)夯實(shí)基礎(chǔ).

設(shè)計(jì)意圖 梳理三角形相關(guān)知識，可讓學(xué)生從宏觀的角度來理解本節(jié)課教學(xué)內(nèi)容在整個三角形知識體系中所處的具體位置，感知本節(jié)課將要探索問題的合理性與必要性，從而確定基本的研究路徑.

2. 創(chuàng)設(shè)情境，認(rèn)識知識特征

問題1 一位小朋友在放風(fēng)箏，風(fēng)箏在此時處于與水平方向成30°角的位置（∠A），已知在空中的風(fēng)箏線長AB=100 m，求風(fēng)箏所處的位置點(diǎn)B與牽線的手點(diǎn)A的高度差BC的值.

若從數(shù)學(xué)的角度來分析這個情境，可將該情境進(jìn)行如下轉(zhuǎn)化：如圖2，在Rt△ABC中，已知∠A=30°，AB=100 m，求BC的長.

此問難度不大，學(xué)生很快就解決了問題. 為了讓學(xué)生明確本節(jié)課的知識特征，教師順應(yīng)學(xué)生的思維提出如下問題：①當(dāng)AB的長度分別為120 m、140 m、a m時，分別計(jì)算BC的長;②說說你的判斷依據(jù);③通過以上幾組數(shù)據(jù)的探索，分析30°角的各條邊間存在什么聯(lián)系？所獲得的結(jié)論是否能應(yīng)用在所有含30°角的直角三角形中？

如表1，師生活動過程中，將不同大小，且滿足條件的邊角關(guān)系填入表格，以便進(jìn)行研究.

45°角的探索：

如圖3所示，在Rt△ABC中，∠C為直角，∠A=45°.

關(guān)于60°角的研究過程如下：

如圖4，已知Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°.

如表2，學(xué)生將探索結(jié)論填入表格.

設(shè)計(jì)意圖 從對30°角的對邊與斜邊關(guān)系的探索，拓展到對45°角與60°角的研究，學(xué)生在多輪探索中進(jìn)一步領(lǐng)悟“當(dāng)角為固定值時，不論直角三角形的大小怎樣，其邊的比值恒為不變. ”

3. 類比分析，抽象共性特征

問題3 通過對表2的觀察，說說你的感受.

問題4 在Rt△ABC中，若∠C為直角，∠A為度數(shù)確定的非特殊角，其對邊和斜邊的比值恒定不變，對嗎？

師生活動：借助幾何畫板進(jìn)行演示、驗(yàn)證，讓學(xué)生從可視化的圖象中體驗(yàn)猜想是否正確.

如表3，師生共同將各個角度的對應(yīng)值填入表格.

師：這個猜想是否可以求證？

師生活動：在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生以分組合作交流的方式進(jìn)行求證并展示（如圖5、圖6）. 如果Rt△ABC中∠A（銳角）的度數(shù)是確定的，那么它的對邊與斜邊的比恒為固定值.

設(shè)計(jì)意圖 隨著類比與抽象兩個步驟的實(shí)施，進(jìn)一步發(fā)展了學(xué)生的抽象素養(yǎng). 此環(huán)節(jié)，基于特殊角將問題進(jìn)一步拓展到直角三角形中任意銳角的問題，并要求學(xué)生自主求證猜想. 學(xué)生充分體驗(yàn)了合理猜想的重要性，并感知這是研究數(shù)學(xué)問題的重要途徑之一，關(guān)于猜想是否正確，還需通過合理論證才能確定. 方法的形成為后續(xù)學(xué)習(xí)更多、更復(fù)雜的知識奠定基礎(chǔ)，同時也有效提升了學(xué)生的抽象能力與推理能力.

4. 抽象概念，應(yīng)用符號表達(dá)

問題5 結(jié)合表3，說說根據(jù)直角三角形兩邊之比的固定值，會因?yàn)椤螦度數(shù)的改變而隨之變化，據(jù)此能聯(lián)想到以前接觸過的什么內(nèi)容？

師生活動：在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生通過對表3的觀察，探尋新、舊（函數(shù)）知識間的聯(lián)系，提煉“變化與對應(yīng)”的數(shù)學(xué)思想.

追問：該函數(shù)與我們之前所接觸的函數(shù)一樣嗎？

設(shè)計(jì)意圖 如此設(shè)計(jì)的精髓在于幫助學(xué)生建立新、舊知識間的聯(lián)系，揭露函數(shù)本質(zhì)及變化所對應(yīng)的數(shù)學(xué)思想. 正弦的定義也在問題的啟發(fā)與學(xué)生的交流中，自然而然形成.

5. 理解概念，辨析加以應(yīng)用

問題6 如何理解sin30°，sin45°，sin60°？它們的值分別是多少？

值得注意的是正弦的正確表達(dá)方式有三種，分別為：sinA，sin30°，sin∠BAC，其中sinA要注意省略角的符號. 此環(huán)節(jié)還可以設(shè)計(jì)一些辨析問題供學(xué)生課堂思考、練習(xí)，以進(jìn)一步深化對概念的理解.

設(shè)計(jì)意圖 概念教學(xué)需關(guān)注學(xué)生對概念內(nèi)涵與外延的理解，具體實(shí)例的應(yīng)用可幫助學(xué)生進(jìn)一步辨析概念，從真正意義上掌握概念本質(zhì). 問題6是對正弦概念的辨析過程，如此設(shè)計(jì)意在幫助學(xué)生更好地理解正弦概念. 此環(huán)節(jié)，涉及概念的應(yīng)用問題，學(xué)生經(jīng)歷抽象的第三個階段，即由系統(tǒng)到運(yùn)用的普適.

6. 總結(jié)歸納，提煉知識架構(gòu)

大單元背景下的概念教學(xué)，需基于整體的角度去教學(xué). 課堂尾聲，教師可引導(dǎo)學(xué)生思考以下幾個問題：①本節(jié)課的核心知識是什么？②應(yīng)用了什么方法進(jìn)行了研究？③還有什么是你想要研究的？

師生活動：在問題的引導(dǎo)下，學(xué)生獨(dú)立思考、描述，課堂尾聲借助多媒體完善本節(jié)課所涉及的知識結(jié)構(gòu)圖（見圖7），以進(jìn)一步完善知識體系.

設(shè)計(jì)意圖 如此設(shè)計(jì)主要是為了促進(jìn)學(xué)生自主總結(jié)、歸納教學(xué)內(nèi)容，并在總結(jié)過程中提煉數(shù)學(xué)思想，進(jìn)一步完善認(rèn)知體系，形成知識架構(gòu)，為后續(xù)教學(xué)奠定基礎(chǔ).

思考與感悟

（一）將概念置于結(jié)構(gòu)體系中探索

沒有任何一個數(shù)學(xué)知識是獨(dú)立的個體，知識與知識之間存在一定的邏輯關(guān)系. 教師在正式授課之前，可帶領(lǐng)學(xué)生基于大單元的視角梳理知識結(jié)構(gòu)，幫助學(xué)生厘清知識脈絡(luò)，以便更好地理解知識邏輯的連貫性. 本節(jié)課探索的主題為銳角三角函數(shù)的概念，與之相關(guān)的內(nèi)容有直角三角形以及邊角關(guān)系等，教師則將待探究的問題置于大單元知識體系內(nèi)，讓學(xué)生從知識結(jié)構(gòu)出發(fā)，以便更好地同化與順應(yīng)銳角三角函數(shù)的概念. 學(xué)生的抽象能力則在知識的整理與探索中得以發(fā)展.

（二）問題是發(fā)展抽象能力的關(guān)鍵

問題是數(shù)學(xué)的心臟，本節(jié)課從一個生活情境出發(fā)引出問題，讓學(xué)生基于已有的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)上探索相應(yīng)的問題. 學(xué)生親歷了30°角、45°角、60°角的探索過程，初步形成猜想，并經(jīng)過驗(yàn)證抽象出完整的概念. 由此可見，恰當(dāng)?shù)膯栴}與適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)撥是提升學(xué)生抽象能力的關(guān)鍵.

總之，學(xué)生是課堂的主人，基于大單元背景下培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力，需給予學(xué)生更寬裕的探索時間，讓學(xué)生親歷觀察、猜想、驗(yàn)證與總結(jié)的過程，從類比分析與歸納中發(fā)展數(shù)學(xué)抽象能力，提升核心素養(yǎng).