[摘 要] 教育的目的不僅是學會知識，而且要習得一種思維方式，數(shù)學作為一門思維的科學，教師更應該注重教學生學會思考. 研究者以一類周長最小值問題的教學設計為例，旨在教學生學會思考，提升學生的數(shù)學思維能力.

[關鍵詞] 學會思考;數(shù)學思維;周長最小值;初中數(shù)學

數(shù)學是一門特殊的學科，正如我國著名數(shù)學家、數(shù)學教育家張奠宙先生所說：數(shù)學的對象是具有抽象性的形式化思想材料. 對于“思想材料”的學習，要依靠“思想實驗”而不是“物質實驗”. 所以數(shù)學學習就是大腦對“思想材料”進行“思想實驗”的思維活動，即思考[1]. 數(shù)學課堂就是學生在教師的帶領下進行思維活動，數(shù)學教學的本質就是“教學生學會思考”. “教學生學會思考”才是有效教學的根本，才能形成高質量的初中數(shù)學課堂.

如何在課堂教學中教學生學會思考，本文將以一類周長最小值問題的教學設計為例：先通過“創(chuàng)設情境—提出問題”的原理，教學生學會發(fā)現(xiàn)問題、提出問題;然后用“從無到有探究”的原理，教學生尋找解決問題的方法;再利用“反思性教學”的原理，教學生把握數(shù)學對象的本質;最后通過“歸納總結”，教學生學會形成知識系統(tǒng).

教學設計

1. 創(chuàng)設情境，提出問題

情境：如圖1，在某一兒童體能訓練館的地面上畫有一正方形ABCD，其邊AB長為10. 現(xiàn)教練布置其中一項訓練任務，每一位小朋友從點A出發(fā)，快速奔跑至邊CD的中點P處，然后快速奔跑至邊BC上某處Q，最后回到點A.

問題1：在這個生活情境中，同學們認為小朋友從點A到點P奔跑的路徑應該是什么樣的？蘊含了什么數(shù)學原理？

問題2：對于這個生活情境，你們還會提出什么樣的數(shù)學問題？

設計意圖?; 呈現(xiàn)生活中體能訓練的情境，可以給學生切身的感受，容易引起學生的學習興趣和求知欲望. 問題1讓學生從生活情境出發(fā)，發(fā)現(xiàn)數(shù)學問題，抽象出數(shù)學原理. 問題2激發(fā)學生積極思考，教學生從情境中提出相關的數(shù)學問題.

2. 引導探究，解決問題

問題3：如圖2，認真觀察△APQ的各邊長，求△APQ的周長的最小值，如何思考、分析？

設計意圖 通過暗示學生觀察三角形的三條邊，讓其發(fā)現(xiàn)一條邊長AP為定值，求△APQ周長最小值只需確定PQ+AQ的最小值，引導學生進行“從無到有”的自主探究，探索問題對象的本質屬性，尋找問題解決方法，讓學生經歷知識發(fā)現(xiàn)、本質探究、方法解決的思維活動.

師生活動1：小組合作，求出△APQ周長最小值.

活動設想：學生會給出下面兩種解答.

問題4：解答過程用到了哪些知識和方法？

問題5：通過比較，哪種更簡便些，為什么呢？這給我們什么啟示呢？

設計意圖 首先通過小組合作的探究活動，引導學生經歷思考、交流，求出△APQ的周長的最小值. 問題4旨在讓學生歸納問題解決過程中用到的對稱、轉化、勾股定理的知識和方法，從而真正實現(xiàn)“從無到有的探究”. 問題5讓學生比較、分析兩種作對稱的方法，引導學生對問題解決的方法進行質疑與反思，培養(yǎng)學生思維的深度和廣度，發(fā)展學生嚴謹?shù)乃季S能力.

3. 舉一反三，把握本質

問題6：請同學們思考，是否可以改變題設條件，繼續(xù)探究周長最小值問題？

設計意圖 數(shù)學是抽象的思想材料，學生不可能一次性直接把握數(shù)學對象的本質，所以要通過反思性教學來實現(xiàn). 問題6，引導學生對問題的條件進行改變，培養(yǎng)學生學會舉一反三的學習習慣，激發(fā)學生反思性學習，以其讓學生洞察數(shù)學對象的本質特征.

師生活動2：改變上述問題，P還是CD的中點，現(xiàn)在Q，R為BC和BD上的兩個動點，如圖5，求△PQR的周長的最小值. 小組交流，合作完成.

問題7：和前面求△APQ的周長的最小值有什么不同之處？

設計意圖 通過改變條件，讓學生進行小組交流，合作探究，經歷方法的再運用和思維的再提升. 同時，學生進行對比、分析，歸納出不同之處：（1）此處作了兩次對稱變換，而之前只作一次;（2）取最小值時，此處最終是當四點共線時，而之前是三點共線時. 通過改變問題條件的反思性教學，教學生把握數(shù)學對象的本質，讓學生的思維力和認識力再生長.

師生活動3：改變條件，P是CD的中點，Q，R為BC上的兩個動點，且QR=2，如圖8. 求四邊形APQR的周長的最小值. 繼續(xù)小組交流，合作完成.

問題8：此處用到了什么變換？它們有什么共性？

設計意圖 將三角形周長最小值問題進一步深化到四邊形周長的最小值問題，讓學生進行小組活動：通過變換、轉化，四邊形周長最小值問題本質上還是兩點之間線段最短的數(shù)學原理. 問題8，讓學生發(fā)現(xiàn)，要先進行平移變換，再進行對稱變換，歸納其共性實質都是等量變換.

師生活動4：再次改變條件，P，Q分別是CD，AB上的兩個動點，且AQ=PD，如圖11，求四邊形APCQ的周長的最小值. 學生獨立思考并完成.

設計意圖 此題是求四邊形周長最小值的另一種變化形式，讓學生進行自主探索，再次運用變換、轉化的方法. 通過反思性教學，教學生形成問題的一般結論，即能分析出一類數(shù)學對象的本質，真正學會解決一類問題而不是一個問題，從而加深對知識概念、思想方法的理解，加強對數(shù)學對象本質的把握，達到數(shù)學思維力和認識力真正意義上的提高.

4. 歸納總結，形成系統(tǒng)

問題9：通過本節(jié)課的學習，你學習了一類什么數(shù)學問題，是怎樣解決問題的？

設計意圖 課堂小結的意義在于讓學生對學習的內容進一步吸收消化，反思梳理知識方法，形成知識系統(tǒng)，從整體上把握知識內容、思想方法，進而真正達到教學生學會思考的教學本質.

教學思考

1. 問題從哪來：“創(chuàng)設情境—提出問題”的原理

問題從哪來，即如何教學生提出問題？由于數(shù)學對象是具有抽象性的形式化思想材料，所以正處于思維發(fā)展階段的中學生不可能完全靠自己提出問題，故而需要教師創(chuàng)設情境來引導學生提出問題[2]. 所以，這里的情境就是能夠啟發(fā)學生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題的適當情境，其實質就是“問題情境”. 當然，問題情境要生動有趣、源于生活、貼近學生，更重要的是要便于學生理解而提出問題，同時利于學生把握數(shù)學對象的本質. 例如本節(jié)課設計的跑步路徑的問題情境，學生很容易發(fā)現(xiàn)從點A到點P奔跑的路徑是線段，全程路徑是一個三角形，學生很自然會想到如何使得全程路徑最短，進而提出三角形周長的最小值問題. 所以創(chuàng)設情境是學生提出問題的前提，教學生提出問題是創(chuàng)設情境的目標和核心.

2. 問題提出之后如何解決：“從無到有探究”的原理

問題提出之后如何解決？正確的方式就是引導學生去尋找解決問題的方法，這個過程實質就是探究的學習過程[3]. 數(shù)學教學中常遵循“從無到有的探究”的原理來進行，即逐步從不懂到懂、++yWm1zN09xyMl6ohpN6BXYLtDgs/LRJ5WxdOEHPjeA=不會到會的探究過程. 本節(jié)課中，先讓學生進行發(fā)現(xiàn)式探究，即獨立活動下的自主探究，學生觀察發(fā)現(xiàn)：在△APQ中，AP為定值，求其周長的最小值只需求出PQ+AQ的最小值;然后再進行引導式探究，學生利用對稱變換，將PQ+AQ的最小值轉化為兩點之間線段最短的數(shù)學本質. 所以，“從無到有的探究”的教學方式.其本質亦是通過引導學生思考，從已有的“無”到新的“有”，從而達到教學生學會思考的教學目的.

3. 問題解決之后如何把握本質：“反思性教學”的原理

“反思性教學”是引導學生通過反思性思維活動，對思考過的對象和解決后的問題進行信息轉換加工，使獲得的知識更加清晰和完整，以幫助學生深刻把握數(shù)學對象的本質. 反思性教學可以是引導學生對涉及的知識、有聯(lián)系的問題、思考的過程、涉及的數(shù)學思想方法等方面進行反思.

參考文獻：

[1]涂榮豹. 數(shù)學教學設計原理的構建——教學生學會思考[M].北京：科學出版社，2018.

[2]段志貴. 教學生學會思考是數(shù)學的根本——訪南京師范大學涂榮豹教授[J]. 中學數(shù)學教學參考，2019（Z1）：8-11.

[3]李鋒雷，胡恩良. 教學生學會思考，回溯數(shù)學教學根本[J]. 中學數(shù)學月刊，2020（09）：11-12+18.