浙江省2023年及以前的中考命題存在地區(qū)差異，但2024年將統(tǒng)一命題，遵循新標準。此變化標志著浙江初中數(shù)學(xué)教學(xué)和評價體系的新階段。函數(shù)是初中數(shù)學(xué)的核心，特別是一次函數(shù)、反比例函數(shù)和二次函數(shù)，對提升學(xué)生的數(shù)學(xué)能力和素養(yǎng)至關(guān)重要。因此，本文專題分析了2023年浙江省各地區(qū)中考數(shù)學(xué)試題，發(fā)現(xiàn)試題要求學(xué)生全面掌握函數(shù)知識，并能應(yīng)用其解決實際問題，全面檢驗了學(xué)生的知識儲備和思維能力。

一、2023年浙江省中考函數(shù)試題分析

（一）關(guān)注本質(zhì)，指向核心知識

在探討函數(shù)相關(guān)問題時，教師應(yīng)著重引導(dǎo)學(xué)生深入理解函數(shù)的本質(zhì)——即函數(shù)的概念及其基本性質(zhì)。以二次函數(shù)為例，通過表達式分析，我們可以直接得出函數(shù)的開口方向、對稱軸和頂點位置等重要信息。這些信息對于繪制函數(shù)圖象、解決參數(shù)取值范圍等問題具有至關(guān)重要的作用。在解決函數(shù)問題時，學(xué)生應(yīng)能夠根據(jù)函數(shù)的表達式想象出對應(yīng)的圖象，或者從圖象中推斷出函數(shù)的性質(zhì)。

試題1：在二次函數(shù)y=x2-2tx+3（t＞0）中，（1）若它的圖象過點（2，1），則t的值為多少？（2）當0≤x≤3時，y的最小值為-2，求出t的值；（3）如果A（m-2，a），B（4，b），C（m，a）都在這個二次函數(shù)的圖象上，且a＜b＜3，求m的取值范圍。

此題目的本質(zhì)在于讓學(xué)生理解二次函數(shù)的基本形式y(tǒng)=ax2+bx+c及其性質(zhì)，如開口方向、對稱軸、頂點等。此題中，函數(shù)形式為y=x2-2tx+3，其中a=1（開口向上），b=-2t，c=3。對稱軸為x=t。圖象過點（2，1），將點（2，1）代入函數(shù)表達式，得到1=4-4t+3。解此方程可得t的值。這是利用函數(shù)圖象與坐標軸交點的性質(zhì)來求解參數(shù)t的基本方法。由于二次函數(shù)開口向上，其最小值出現(xiàn)在對稱軸上，即x=t處。將x=t代入函數(shù)表達式，并令其等于-2，得到t2-2t2+3=-2。解此方程可得t的值。這里需要注意的是，由于t＞0，需要舍去不符合條件的解。由于點A和C的縱坐標相同，根據(jù)二次函數(shù)的對稱性，它們關(guān)于對稱軸對稱。即m-2和m的平均值等于t，從而得到t=■=m-1。點B（4，b）在函數(shù)圖象上，且b＜3，說明當x=4時，y的值小于3。將x=4代入函數(shù)表達式，得到16-8t+3＜3，解此不等式可得t的一個范圍。結(jié)合a＜b＜3的條件，以及點A、C的縱坐標相同且小于b，可以進一步確定m的取值范圍?？梢哉f，此題通過不同的設(shè)問方式，全面考查了學(xué)生對二次函數(shù)性質(zhì)、圖象以及參數(shù)求解的掌握情況。在解題過程中，始終圍繞函數(shù)的本質(zhì)和核心知識展開，既考查了基礎(chǔ)知識的掌握情況，又考查了運用知識解決實際問題的能力。類似的問題在杭州卷第8題、麗水卷23題、寧波卷第9題和紹興卷23題中也有出現(xiàn)。

（二）立足方法，凸顯數(shù)形結(jié)合

函數(shù)作為數(shù)學(xué)中的核心概念，其表示方式多樣，包括解析法、圖象法和表格法等。但在深入研究各類函數(shù)時，我們更常依賴于解析法和圖象法的緊密結(jié)合。在浙江省2023年各地區(qū)的中考卷中，我們可以明顯看到這一趨勢的體現(xiàn)。大量題目要求考生結(jié)合方程、不等式和代數(shù)式來解決問題，這正是“數(shù)”的力量的體現(xiàn)。

試題2：在“探索一次函數(shù)y=kx+b的系數(shù)k，b與圖象的關(guān)系”的活動中，教師給出了直角坐標系中的三個點：A（0，2），B（2，3），C（3，1）。同學(xué)們畫出了經(jīng)過這三個點中每兩個點的一次函數(shù)圖象，并得到對應(yīng)的函數(shù)表達式y(tǒng)1=k1x+b，y2=k2x+b，y3=k3x+b，分別計算k1+b，k2+b，k3+b的值，其中最大的值等于_____。

試題3：一次函數(shù)y＝ax+b的圖象與反比例函數(shù)y=■的圖象交于點A（2，3），（m，-2），則不等式ax+b＞■的解是（ ）。

此題目通過對一次函數(shù)y=kx+b的系數(shù)k、b與圖象的關(guān)系的探索，加深了學(xué)生對數(shù)形結(jié)合的理解，不僅考查了學(xué)生的作圖、識圖能力，還要求學(xué)生能夠從圖象中直觀地找到答案，實現(xiàn)數(shù)與形的完美結(jié)合。試題3考查的是如何利用函數(shù)圖象來解決方程和不等式問題。題目中一次函數(shù)y=ax+b的圖象與反比例函數(shù)y=■的圖象的交點，直接對應(yīng)了方程的解；而不等式的解則可以通過觀察圖象中函數(shù)值的大小關(guān)系來得出。這種方法既直觀又高效，充分體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合在解題中的優(yōu)勢。

試題4：如圖1所示，點A，B分別在函數(shù)y=■（a＞0）圖象的兩支上（A在第一象限），連接AB交x軸于點C。點D，點E在函數(shù)（b＜0，x＜0）的圖象上，AE∥x軸，BD∥y軸，連接DE，BE。若AC=2BC，△ABE的面積為9，四邊形ABDE的面積為14，則a-b的值為__________，a的值為__________。

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圖1

函數(shù)圖象與幾何綜合問題考查反比例函數(shù)k的幾何意義，解決此類問題要牢牢把握圖象與幾何圖形的交點坐標，通過坐標的概念實現(xiàn)坐標與線段之間的轉(zhuǎn)化，再結(jié)合所學(xué)幾何圖形的性質(zhì)，通過勾股定理、相似三角形、點在函數(shù)圖象上等方式構(gòu)建方程求解，過程復(fù)雜，需要學(xué)生對函數(shù)、幾何知識系統(tǒng)理解、掌握。

（三）遷移素養(yǎng)，彰顯育人價值

在2023年浙江省各地區(qū)的中考中，實際問題的類型非常豐富，包括方案選擇問題、行程問題、項目化問題等。學(xué)生需要從實際問題中摒棄其中的物理因素，抽象得到數(shù)學(xué)問題，通過作圖、活動經(jīng)驗、收集實驗數(shù)據(jù)建立數(shù)量關(guān)系以及量之間的變化規(guī)律，完成數(shù)學(xué)的再抽象，形成函數(shù)模型思想，增強學(xué)生的函數(shù)應(yīng)用意識以及學(xué)科核心素養(yǎng)。

試題5：“刻漏”是我國古代的一種利用水流計時的工具。綜合實踐小組準備用甲、乙兩個透明的、豎直放置的容器和一根帶節(jié)流閥（控制水的流速大小）的軟管制作簡易計時裝置。

【實驗操作】綜合實踐小組設(shè)計了如下實驗：先在甲容器里加滿水，此時水面高度為30 cm，開始放水后每隔10 min觀察一次甲容器中的水面高度，獲得的數(shù)據(jù)表（略）。

任務(wù)1：分別計算表中每隔10 min水面高度觀察值的變化量。

【建立模型】小組討論發(fā)現(xiàn)“t=0，h=30”是初始狀態(tài)下的準確數(shù)據(jù)，水面高度值的變化不均勻，但可以用一次函數(shù)近似地刻畫水面高度h與流水時間t的關(guān)系。

任務(wù)2：利用t=0時，h=30；t=10時，h=29這兩組數(shù)據(jù)求水面高度h與流水時間t的函數(shù)解析式。

【反思優(yōu)化】經(jīng)檢驗，發(fā)現(xiàn)有兩組表中觀察值不滿足任務(wù)2中求出的函數(shù)解析式，存在偏差。小組決定優(yōu)化函數(shù)解析式，減少偏差。通過查閱資料后知道：t為表中數(shù)據(jù)時，根據(jù)解析式求出所對應(yīng)的函數(shù)值，計算這些函數(shù)值與對應(yīng)h的觀察值之差的平方和，記為w；w越小，偏差越小。

任務(wù)3：計算任務(wù)2得到函數(shù)解析式的w值。

【設(shè)計刻度】得到優(yōu)化的函數(shù)解析式后，綜合實踐小組決定在甲容器外壁設(shè)計刻度，通過刻度直接讀取時間。

任務(wù)4：請你簡要寫出時間刻度的設(shè)計方案。

此試題以我國古代的“刻漏”為背景，采用項目化問題解決的形式進行設(shè)計。學(xué)生首先需要理解“刻漏”的計時原理，即水面高度和流水時間有關(guān)。這實際上是將實際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題的第一次抽象，然后，借助一次函數(shù)進行刻畫，考查學(xué)生的函數(shù)應(yīng)用意識。在數(shù)據(jù)的選擇上，學(xué)生需要進行分析和思考以及后續(xù)進行模型優(yōu)化。這體現(xiàn)了模型應(yīng)用的一般思路：建?！饽！獌?yōu)模。在后續(xù)的模型優(yōu)化中，學(xué)生需要科學(xué)、準確地使用實驗數(shù)據(jù)和模型數(shù)據(jù)，選取誤差較小的k進行模型優(yōu)化。

試題6：某校與部隊聯(lián)合開展紅色之旅研學(xué)活動，上午7：00，部隊官兵乘坐軍車從營地出發(fā)，同時學(xué)校師生乘坐大巴從學(xué)校出發(fā)，沿公路（如圖2）到愛國主義教育基地進行研學(xué)，上午8：00，軍車在距離營地60 km的地方追上大巴并繼續(xù)前行，到達倉庫后，部隊官兵下車領(lǐng)取研學(xué)物資，然后乘坐軍車按原速度前行，最后和師生同時到達基地，軍車和大巴距離營地的路程s（km）與所用時間t（h）的函數(shù)關(guān)系如圖3所示。

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圖2 圖3

（1）求大巴距離營地的路程s與所用時間t的函數(shù)表達式及a的值。

（2）求部隊官兵在倉庫領(lǐng)取物資所用的時間。

此試題改編自書本例題，學(xué)生解決問題時需要先將實際問題抽象成數(shù)學(xué)問題，并結(jié)合圖3的函數(shù)圖象進行數(shù)學(xué)建模，依據(jù)函數(shù)圖象特征，用一次函數(shù)模型刻畫該行程問題，通過函數(shù)圖象中的特殊點進行分析并結(jié)合實際情境解決問題，考查學(xué)生的建模、用模能力。

二、初中數(shù)學(xué)教學(xué)策略、建議

（一）理解核心概念，夯實基礎(chǔ)

函數(shù)作為描述和研究運動變化的重要工具，其核心概念的理解對培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力和素養(yǎng)至關(guān)重要。初中階段涉及的三種主要函數(shù)：一次函數(shù)、反比例函數(shù)和二次函數(shù)，雖然形式上都是通過表達式來定義，但它們各自背后所蘊含的核心意義卻截然不同。

一次函數(shù)通過斜率截距形式y(tǒng)=kx+b，其斜率k直觀地描述了勻速變化的快慢，而截距b則給出了函數(shù)圖像與y軸的交點位置。在教學(xué)中，教師要讓學(xué)生明確理解一次函數(shù)與勻速變化之間的對應(yīng)關(guān)系，通過引入實際問題，讓學(xué)生體會一次函數(shù)模型在現(xiàn)實生活中的應(yīng)用。反比例函數(shù)則通過y=■的形式來表示，其中k為常數(shù)，體現(xiàn)了變量間的定積關(guān)系。在教學(xué)過程中，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生理解反比例函數(shù)圖象的雙曲線特性，以及為何在某些實際問題中需要用反比例函數(shù)來描述變量間的關(guān)系。二次函數(shù)作為刻畫勻變速運動的工具，其形式為y=ax2+bx+c。通過二次函數(shù)的頂點、對稱軸等性質(zhì)，學(xué)生可以深入理解勻變速運動的特點。在教學(xué)中，教師可以通過實驗數(shù)據(jù)、物理情境等，讓學(xué)生直觀感受二次函數(shù)與勻變速運動之間的聯(lián)系，進而加深對二次函數(shù)概念的理解。

在夯實函數(shù)核心概念的基礎(chǔ)上，教師還應(yīng)重視計算的教學(xué)。計算不僅是為了得出結(jié)果，更重要的是讓學(xué)生通過計算過程，理解函數(shù)表達式的運算邏輯和算理。為此，教師可以設(shè)置小型競賽、限時訓(xùn)練等教學(xué)活動，讓學(xué)生在競賽中提高計算速度和準確性，在限時訓(xùn)練中鍛煉思維的敏捷性和嚴密性。

（二）編織知識網(wǎng)絡(luò)，完善體系

為幫助學(xué)生全面理解數(shù)學(xué)知識，教師應(yīng)構(gòu)建邏輯清晰的教學(xué)框架，將數(shù)學(xué)中的核心概念、原理和方法整體傳授給學(xué)生，使他們能夠?qū)⑦@些知識點有效地串聯(lián)，進而形成系統(tǒng)、完整的知識體系。

首先，教師需要深入剖析每個數(shù)學(xué)核心概念，并利用知識框架圖，將相關(guān)知識點按其邏輯關(guān)系進行有序的排列和連接，幫助學(xué)生清晰地看到知識點之間的聯(lián)系和區(qū)別，從宏觀角度把握數(shù)學(xué)知識體系的結(jié)構(gòu)。

其次，教師可以通過創(chuàng)新的教學(xué)方法來鞏固和深化學(xué)生對知識的理解。例如，教師可以鼓勵學(xué)生制作數(shù)學(xué)小報，自主搜集、整理、總結(jié)與所學(xué)知識點相關(guān)的內(nèi)容。這一過程不僅能鍛煉學(xué)生的信息搜集和整理能力，還能讓他們在實踐中發(fā)現(xiàn)知識點之間的內(nèi)在聯(lián)系，從而更深入地理解和掌握數(shù)學(xué)知識。

最后，為了提高學(xué)生的知識應(yīng)用能力，教師需要注重跨學(xué)科知識的融合。例如，在函數(shù)的教學(xué)中可以引入物理學(xué)科中的速度和加速度等概念，通過建立速度與時間之間的函數(shù)關(guān)系，讓學(xué)生理解勻速、勻加速等運動狀態(tài)下的函數(shù)圖象和性質(zhì)。這樣，學(xué)生不僅能夠直觀地理解函數(shù)的概念，還能夠看到數(shù)學(xué)在解決實際問題中的應(yīng)用。

（三）滲透數(shù)學(xué)思想，提升能力

在函數(shù)模塊的學(xué)習(xí)中，數(shù)學(xué)思想的滲透對學(xué)生能力的培養(yǎng)至關(guān)重要。其中，“數(shù)形結(jié)合”與“函數(shù)建模”是兩種核心的數(shù)學(xué)思想，它們對提升學(xué)生的數(shù)學(xué)能力和解決實際問題具有顯著意義?！皵?shù)形結(jié)合”思想的學(xué)習(xí)和應(yīng)用，在新課和復(fù)習(xí)課中都應(yīng)得到充分體現(xiàn)。例如，當學(xué)生學(xué)習(xí)含參二次函數(shù)時，教師可以通過引導(dǎo)學(xué)生自己動手作圖，讓他們直觀地觀察到函數(shù)圖象的變化規(guī)律。學(xué)生在嘗試繪制含參二次函數(shù)圖象的過程中，不僅能夠加深對函數(shù)性質(zhì)的理解，還能在考試時靈活運用數(shù)形結(jié)合的方法解決問題。相較于單一的代數(shù)法，數(shù)形結(jié)合能更直觀地揭示問題的本質(zhì)，從而提高解題效率。此外，學(xué)生在作圖過程中，不僅能培養(yǎng)動手能力，還能更深入地理解二次函數(shù)的性質(zhì)。在比較和探究的過程中，學(xué)生的推理能力以及數(shù)形結(jié)合思想都會得到顯著提升。

“函數(shù)建?！眲t是連接數(shù)學(xué)知識與現(xiàn)實生活的橋梁。在現(xiàn)實生活中，許多問題都可以通過函數(shù)建模來解決。因此，教師在復(fù)習(xí)時應(yīng)著重總結(jié)函數(shù)建模的一般方法。例如，教師可以引導(dǎo)學(xué)生將實際問題中的關(guān)鍵信息提取出來，識別出適用的數(shù)學(xué)模型，如線性模型、二次模型等。然后，學(xué)生根據(jù)這些模型建立數(shù)學(xué)方程，進而解決問題。在此過程中，學(xué)生不僅能掌握函數(shù)建模的方法，還能培養(yǎng)問題解決能力。為了進一步優(yōu)化模型，教師還可以引導(dǎo)學(xué)生對建立的模型進行驗證和調(diào)整，使其更符合實際問題的需求。通過這樣的學(xué)習(xí)過程，學(xué)生不僅能深刻理解函數(shù)建模的思想，還能在實際應(yīng)用中提升自己的問題解決能力。

（四）反思解題過程，遷移素養(yǎng)

解決問題是學(xué)生綜合能力的全面體現(xiàn)，它不僅涉及知識和技能的掌握，還體現(xiàn)了學(xué)生的數(shù)學(xué)能力和學(xué)科核心素養(yǎng)。為了進一步提升學(xué)生的理解和應(yīng)用能力，教師需要引導(dǎo)學(xué)生進行深入的解題反思，并通過題型轉(zhuǎn)換和變式訓(xùn)練加強學(xué)生對解題過程的總結(jié)。在二次函數(shù)的教學(xué)中，反思解題過程尤為重要。教師可以通過設(shè)計選擇題和填空題，幫助學(xué)生鞏固二次函數(shù)的基礎(chǔ)知識。例如，給出具有不同系數(shù)的二次函數(shù)表達式，讓學(xué)生求解函數(shù)的頂點、函數(shù)與坐標軸的交點等問題。這樣的訓(xùn)練旨在使學(xué)生熟練掌握二次函數(shù)的基本性質(zhì)和解題方法。隨著學(xué)生對基礎(chǔ)知識的逐漸掌握，教師可以適當增加題目的難度，如給出部分系數(shù)未知的二次函數(shù)表達式，引導(dǎo)學(xué)生進行求解。在此過程中，學(xué)生不僅需要靈活運用所學(xué)的知識和技能，還需要深入反思和總結(jié)解題的方法和思路。

解題反思的過程不僅有助于提升學(xué)生的數(shù)學(xué)知識和技能，還能培養(yǎng)其邏輯思維和分析問題的能力。通過不斷的反思和總結(jié)，學(xué)生能夠逐漸形成遷移核心素養(yǎng)的能力，即在面對新的問題和挑戰(zhàn)時能夠靈活運用所學(xué)的知識和方法，迅速找到解決問題的有效途徑。最終，這種深入的解題反思和總結(jié)將顯著提升學(xué)生的元認知能力。學(xué)生將能夠更加清晰地認識到自己的解題過程和思路，從而更好地監(jiān)控和調(diào)節(jié)自己的學(xué)習(xí)過程，實現(xiàn)高效學(xué)習(xí)。同時，這種遷移核心素養(yǎng)的能力也將為學(xué)生的未來學(xué)習(xí)和發(fā)展奠定堅實的基礎(chǔ)，使其成為具備終身學(xué)習(xí)能力和創(chuàng)新精神的優(yōu)秀人才。

綜上所述，隨著浙江省中考命題方式的轉(zhuǎn)變，全省統(tǒng)一命題的到來為初中數(shù)學(xué)教學(xué)帶來了新的挑戰(zhàn)和機遇。通過對2023年中考中有關(guān)函數(shù)試題的深入分析，不難發(fā)現(xiàn)，函數(shù)內(nèi)容在中考中占據(jù)重要地位，其考查方式充分體現(xiàn)了對學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的全面要求。因此，在未來的教學(xué)中，教師應(yīng)更加注重對核心概念的理解、數(shù)學(xué)思想的滲透以及解題過程的反思，以幫助學(xué)生構(gòu)建完整的數(shù)學(xué)知識體系，提升數(shù)學(xué)能力和問題解決能力。

（作者單位：浙江杭州市余杭區(qū)太炎中學(xué)）

編輯：趙文靜