摘要：在現(xiàn)實(shí)生活中，折紙不僅可以鍛煉手指的靈活性，還可以培養(yǎng)智力.數(shù)學(xué)折紙實(shí)驗(yàn)是通過(guò)對(duì)不同形狀的紙片進(jìn)行一系列的折疊操作，從而形成不同的幾何圖形，進(jìn)而探索幾何圖形性質(zhì)的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn).在數(shù)學(xué)課堂中借助折紙實(shí)驗(yàn)開展教學(xué)，不僅有助于學(xué)生掌握必備的基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能，還可以培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維和推理能力以及創(chuàng)新意識(shí)和實(shí)踐能力，并促進(jìn)學(xué)生在情感態(tài)度與價(jià)值觀等方面的發(fā)展.

關(guān)鍵詞：折紙實(shí)驗(yàn)；數(shù)學(xué)教學(xué)；核心素養(yǎng)

數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)，它源于對(duì)現(xiàn)實(shí)世界的抽象.本文通過(guò)設(shè)計(jì)貼近學(xué)生生活且有一定思維價(jià)值的折紙活動(dòng)，變“聽”數(shù)學(xué)為“做”數(shù)學(xué)，使學(xué)生在課堂上手腦并用，更好地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生自主探索、動(dòng)手實(shí)踐和合作交流的能力.

1折紙實(shí)驗(yàn)助力學(xué)生感悟數(shù)學(xué)

在自然數(shù)的基礎(chǔ)上，因?yàn)榉峙湟约熬_丈量土地和數(shù)學(xué)本身的需要產(chǎn)生了分?jǐn)?shù).在實(shí)際教學(xué)中，如何在學(xué)習(xí)了整數(shù)的基礎(chǔ)上，讓學(xué)生突破已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)來(lái)認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)是學(xué)習(xí)的難點(diǎn).對(duì)此，在教學(xué)中，教師可以通過(guò)折紙實(shí)驗(yàn)讓學(xué)生直觀地對(duì)分?jǐn)?shù)產(chǎn)生感性認(rèn)識(shí).例如，對(duì)于“拿出正方形紙片折一折，取其中一部分涂上顏色，涂色部分占正方形紙片的幾分之幾”這個(gè)問(wèn)題，在折疊過(guò)程中，學(xué)生可以依據(jù)重合部分面積相等，輕松認(rèn)識(shí)到正方形紙片被分XAbTG9IUVsAko+9xU4h7W9A9HfWQOXiB8ca88VJVOSE=成了面積相等的若干部分，并在進(jìn)一步涂色的過(guò)程中，直觀感受分?jǐn)?shù)的變化、分?jǐn)?shù)的性質(zhì)、分?jǐn)?shù)的加法運(yùn)算等.

幾何學(xué)習(xí)在歷史上經(jīng)歷了三個(gè)階段：無(wú)意識(shí)的幾何學(xué)、科學(xué)的幾何學(xué)、論證的幾何學(xué).在教學(xué)中，學(xué)生首先需要通過(guò)無(wú)意識(shí)的形式，或簡(jiǎn)單的工藝勞作，或?qū)ψ匀唤缰械默F(xiàn)象進(jìn)行簡(jiǎn)單觀察來(lái)熟悉幾何概念.其次在感性認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)上，學(xué)生通過(guò)實(shí)驗(yàn)歸納出一系列幾何事實(shí).最后學(xué)生以推理演繹的形式學(xué)習(xí)幾何學(xué)的論證.

例如，在小學(xué)階段的“長(zhǎng)方形和正方形的認(rèn)識(shí)”的學(xué)習(xí)中，怎么認(rèn)識(shí)它們的特征呢？對(duì)此，可結(jié)合學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)，開展“折一折”的折紙實(shí)驗(yàn).在實(shí)驗(yàn)過(guò)程中，學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)，把長(zhǎng)方形對(duì)折一次，兩邊正好重合；對(duì)折兩次，四個(gè)角也正好重合，所以上下、左右兩組對(duì)邊分別相等，四個(gè)角相等.通過(guò)折紙活動(dòng)學(xué)生認(rèn)識(shí)到長(zhǎng)方形對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角相等的基本性質(zhì).對(duì)正方形可進(jìn)行類比操作，讓學(xué)生掌握正方形四條邊都相等，四個(gè)角都相等的基本性質(zhì).此外，教師可讓學(xué)生進(jìn)一步思考“如何用一張長(zhǎng)方形紙片折出一張最大的正方形”，通過(guò)實(shí)驗(yàn)將結(jié)果直觀地呈現(xiàn)到學(xué)生面前，幫助學(xué)生理解與掌握.在操作活動(dòng)中，學(xué)生不僅積累了認(rèn)識(shí)平面圖形特征的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，也為他們今后繼續(xù)研究其他平面圖形的特征打下基礎(chǔ).

進(jìn)入初中以后，學(xué)生的幾何學(xué)習(xí)逐步進(jìn)入演繹論證的論證幾何學(xué)階段.對(duì)此，教師可通過(guò)“折三角形三線”的活動(dòng)，讓學(xué)生經(jīng)歷折三角形的高線、角平分線、中線的形成過(guò)程，借助折紙中“對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角相等的基本性質(zhì)”，加深對(duì)“三線”的認(rèn)識(shí)，并探索出三條中線、三條角平分線、三條高線都交于一點(diǎn)的共同特征.同時(shí)，讓學(xué)生通過(guò)體會(huì)銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形三條高線相交情況的不同，認(rèn)識(shí)三角形中的重要線段.

綜上，在教學(xué)過(guò)程中，折紙實(shí)驗(yàn)可以讓學(xué)生親身經(jīng)歷知識(shí)產(chǎn)生的過(guò)程，使幾何概念、幾何事實(shí)以更加直觀的形態(tài)呈現(xiàn)在學(xué)生眼前.同時(shí)，在感性認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)上，教師啟發(fā)學(xué)生進(jìn)一步進(jìn)行歸納論證，進(jìn)而學(xué)習(xí)論證幾何學(xué)，發(fā)展學(xué)生的抽象思維與邏輯推理能力.

2折紙實(shí)驗(yàn)啟發(fā)學(xué)生邏輯思考

用演繹法證明或者證偽一個(gè)數(shù)學(xué)命題之前，首先需要教師進(jìn)行猜想，猜想需要通過(guò)直覺、觀察、類比、實(shí)驗(yàn)或者其他經(jīng)驗(yàn)方法引導(dǎo)學(xué)生的思維.折紙實(shí)驗(yàn)正是提供了激發(fā)學(xué)生猜想的契機(jī)，但隨著學(xué)生知識(shí)與思維水平的提高，折紙實(shí)驗(yàn)的運(yùn)用不應(yīng)僅局限在對(duì)數(shù)學(xué)事實(shí)的發(fā)現(xiàn)上，還需要學(xué)生進(jìn)一步思考事實(shí)背后的數(shù)學(xué)原理.學(xué)生在通過(guò)實(shí)驗(yàn)方式獲得數(shù)學(xué)事實(shí)“如何”的基礎(chǔ)上，還要用演繹方式去證明“為何”是這樣的.

案例1：折等腰三角形.

活動(dòng)要求：不限方法，從一張長(zhǎng)方形紙片中剪出一個(gè)等腰三角形.思考并交流所剪的三角形為等腰三角形的理由.得到等腰三角形后，通過(guò)折疊操作，發(fā)現(xiàn)等腰三角形的軸對(duì)稱性，繼而探索出等腰三角形的性質(zhì)，即等邊對(duì)等角、三線合一.

活動(dòng)過(guò)程：學(xué)生通過(guò)折紙的方式剪出等腰三角形.通過(guò)折紙前后對(duì)應(yīng)邊相等的基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生發(fā)現(xiàn)等腰三角形腰相等的基本事實(shí)，并通過(guò)折疊等腰三角形，探索得出等腰三角形的基本性質(zhì).折紙實(shí)驗(yàn)不僅可以幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)事實(shí)，還可以幫助學(xué)生尋找證明的方法.在折疊等腰三角形的過(guò)程中，借助“折三角形三線”中積累的基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生從構(gòu)造中線、高線、角平分線輔助線的方式進(jìn)行邏輯論證.

案例2：折菱形.

活動(dòng)過(guò)程：

（1）利用矩形紙片折出菱形.

把一張矩形紙片ABCD按照如下步驟進(jìn)行折疊：

將矩形紙片ABCD沿某條直線折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)D重合，得到折痕與AD，BC的交點(diǎn)E，F(xiàn)（如圖1）.請(qǐng)你證明四邊形EBFD是菱形.

（2）利用三角形紙片折出菱形.

從矩形紙片中剪出一個(gè)三角形紙片ABC，按照?qǐng)D2的步驟進(jìn)行折疊：

①將三角形紙片ABC沿過(guò)點(diǎn)A的某條直線折疊，使AB與AC重合，得到折痕與AC的交點(diǎn)D；

②再將三角形紙片ABC沿某條直線折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)D重合，得到折痕與AB，AC的交點(diǎn)E，F(xiàn).請(qǐng)你證明四邊形EAFD是菱形.

圖1圖2

（3）你還能設(shè)計(jì)出其他折出菱形的方法嗎？

在這個(gè)實(shí)驗(yàn)過(guò)程中，以開放的問(wèn)題，讓學(xué)生根據(jù)菱形的性質(zhì)，探究操作方法.學(xué)生通過(guò)操作得到菱形，并用多種方法來(lái)說(shuō)明所得到的四邊形為菱形.在此過(guò)程中，學(xué)生的數(shù)學(xué)思維得到啟發(fā).學(xué)生從實(shí)驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，獲得理解數(shù)學(xué)知識(shí)的現(xiàn)實(shí)材料，從而發(fā)展推理能力.

通過(guò)折紙活動(dòng)，學(xué)生體驗(yàn)到了探索、推理數(shù)學(xué)事實(shí)的動(dòng)態(tài)過(guò)程.同時(shí)，帶著問(wèn)題進(jìn)行操作的教學(xué)方法，不僅提高了學(xué)生思考和理解問(wèn)題的敏銳性，還幫助學(xué)生發(fā)展分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力.

3折紙實(shí)驗(yàn)促進(jìn)學(xué)生深度思考

借助折疊實(shí)驗(yàn)，學(xué)生在多次操作和不斷探索中，提高了分析問(wèn)題與解決問(wèn)題的能力.折紙活動(dòng)的開放性，也給學(xué)生提供了想象的空間，并讓其發(fā)揮學(xué)習(xí)的自主性，進(jìn)而提升創(chuàng)新意識(shí)和實(shí)踐能力.

案例3：折等邊三角形.

活動(dòng)1： 如何用一張正方形紙片ABCD折出一個(gè)等邊三角形？

方法1：將紙片ABCD對(duì)折得到折痕EF，沿點(diǎn)C翻折紙片，使點(diǎn)C落在EF上的點(diǎn)M處，連接BM，△BCM即為所求的等邊三角形（如圖3）.

方法2：將紙片ABCD對(duì)折得到折痕EF，沿點(diǎn)A翻折紙片，使點(diǎn)A落在EF上的點(diǎn)M處，連接CM，△BCM即為所求的等邊三角形（如圖4）.

兩種方法都基于等邊三角形的判定方法——三邊相等.借助正方形邊長(zhǎng)相等的知識(shí)，學(xué)生首先想到的是利用折疊的方式，使A、D兩點(diǎn)重合.在操作過(guò)程中，學(xué)生發(fā)現(xiàn)A、D的重合點(diǎn)在正方形的對(duì)邊中點(diǎn)連線上，從而受到啟發(fā)先將紙片對(duì)折得到折痕EF.

活動(dòng)2： 如何用一張矩形紙片ABCD折出一個(gè)等邊三角形？

方法1：從矩形中折出一個(gè)正方形紙片，然后將問(wèn)題轉(zhuǎn)化成活動(dòng)1的問(wèn)題.

方法2：類比活動(dòng)1中的方法.

第1步，對(duì)折矩形紙片ABCD（AB>BC），使AB與DC重合，得到折痕EF，把紙片展平.

第2步，再一次折疊紙片，使點(diǎn)C落在EF上的P處，并使折痕經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，得到折痕BG，連接PB、PC，得到△PBC（如圖5）.

方法3：運(yùn)用活動(dòng)1得到的結(jié)論.

第1步，對(duì)折矩形紙片ABCD，使AD與BC重合，得到折痕MN，將紙片展平.

第2步，再一次折疊紙片，使點(diǎn)A落到MN上的點(diǎn)G處，延長(zhǎng)EG，交BC于點(diǎn)F，連接BE，交MN于點(diǎn)H，△BEF即為等邊三角形（如圖6）.

活動(dòng)3：如何在正方形紙片中，折出一個(gè)最大的等邊三角形？

作為開放性設(shè)計(jì)的折紙實(shí)驗(yàn)，設(shè)置階梯問(wèn)題可以給學(xué)生空間，讓學(xué)生充分地思考問(wèn)題，并借助已有的數(shù)學(xué)知識(shí)與折紙活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，多角度發(fā)散思維.在折紙活動(dòng)中，學(xué)生手、眼、腦三位一體協(xié)調(diào)發(fā)展，而層層遞進(jìn)的問(wèn)題設(shè)置，更是不斷推動(dòng)著學(xué)生實(shí)踐能力和創(chuàng)新意識(shí)的發(fā)展.

4折紙實(shí)驗(yàn)提升學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)

在活動(dòng)中驗(yàn)證數(shù)學(xué)命題，不僅給學(xué)生的猜想提供機(jī)會(huì)，更是增加了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的趣味性.靈活的折紙操作，讓學(xué)生看到生活中的數(shù)學(xué)，用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界.折紙后的深度思考，啟發(fā)學(xué)生用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界，用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界.

案例4：A4紙的秘密.

工作生活中印刷紙大小的變化規(guī)律：A0紙長(zhǎng)度方向?qū)φ垡话牒笞優(yōu)锳1紙；A1紙長(zhǎng)度方向?qū)φ垡话牒笞優(yōu)锳2紙；A2紙長(zhǎng)度方向?qū)φ垡话牒笞優(yōu)锳3紙；A3紙長(zhǎng)度方向?qū)φ垡话牒笞優(yōu)锳4紙……這種關(guān)系中蘊(yùn)含著冪運(yùn)算.為保證放大或縮小文檔不會(huì)出現(xiàn)圖文失真，A系列不同型號(hào)紙張的長(zhǎng)寬比會(huì)保持固定的比值，所以不同型號(hào)紙張存在相似性.從相似的角度，

我們可以推理出A系列紙張的長(zhǎng)寬比為2，也可以從折紙的角度去驗(yàn)證它是否滿足長(zhǎng)寬比為2.

如圖7所示，將矩形紙片ABCD（AD>DC）沿AF對(duì)折，使得點(diǎn)B落在AD邊上點(diǎn)E處，得到正方形AEFB.然后將AD沿AP折疊，使AD與AF重合.若點(diǎn)D與點(diǎn)F重合，則矩形ABCD長(zhǎng)寬比為2.

折紙實(shí)驗(yàn)的素材來(lái)源于日常生活，操作簡(jiǎn)單，易于在課堂中實(shí)現(xiàn).筆者曾經(jīng)以亂扔紙飛機(jī)為契機(jī)，帶領(lǐng)學(xué)生探究紙飛機(jī)中折痕長(zhǎng)度、折疊角度大小的活動(dòng).課堂上同學(xué)們都積極獻(xiàn)計(jì)獻(xiàn)策，靈活運(yùn)用知識(shí)去解決設(shè)計(jì)的問(wèn)題.課后，意猶未盡的學(xué)生們相互折紙，讓對(duì)方去求解.當(dāng)學(xué)生對(duì)事物有了更深入的理解后，思維也會(huì)更深刻，活動(dòng)也將不再局限于事物的表面.這次活動(dòng)后，班級(jí)內(nèi)也很少出現(xiàn)亂扔紙飛機(jī)的現(xiàn)象了.

5結(jié)語(yǔ)通過(guò)折紙活動(dòng)，學(xué)生能關(guān)注到生活中與數(shù)學(xué)相關(guān)的信息，主動(dòng)用數(shù)學(xué)的眼光看待生活.在深入思考折紙實(shí)驗(yàn)中的數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，學(xué)生能夠克服困難，樹立學(xué)好數(shù)學(xué)的信心，體會(huì)數(shù)學(xué)的價(jià)值，欣賞并嘗試創(chuàng)造數(shù)學(xué)美.同時(shí)，在活動(dòng)過(guò)程中，學(xué)生也能養(yǎng)成認(rèn)真勤奮、獨(dú)立思考、交流合作、反思質(zhì)疑的學(xué)習(xí)習(xí)慣.