摘要：以高考真題為研究對象，有的放矢地進行高考復習是教學中的重點.本文以高中數(shù)學“函數(shù)的概念與性質”為例，精選近幾年高考真題進行分析研究，探尋高考命題方向，把握重要考點，并提出高考復習建議，以期夯實學生的基礎知識，提升學生的綜合應用能力.

關鍵詞：真題研究；命題方向；教學建議

《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱“新課標”）實施以來，如何科學備戰(zhàn)新高考是當前教師需要重點關注的內容.教學中應以“一核、四層、四翼”的高考評價體系為指導，并以新課標規(guī)定的新高考試卷的考試范圍為重點，剖析高考典型例題，以考情為目標，探尋高考命題方向，注重對學科知識的深入理解與靈活運用，注重問題性、真實性、探究性的任務情境設置，注重對學科核心素養(yǎng)的培養(yǎng).本文以“函數(shù)的概念與性質”為例，在研究高考真題的基礎上，探尋高考命題方向，把握核心考點，提升學生的能力和核心素養(yǎng).

1探尋命題方向：考查函數(shù)的相關概念

例1（2023年全國新高考Ⅰ卷）已知函數(shù)f（x）的定義域為R，f（xy）=y2f（x）+x2f（y），則（）.

A. f（0）=0

B. f（1）=0

C. f（x）是偶函數(shù)

D. x=0為f（x）的極小值點

思路分析：本題考查抽象函數(shù)的應用，解題的關鍵在于取特殊值.對于選項A、B，求當x=0，x=1時對應的函數(shù)值，只需要令x=y=0，x=y=1，代入f（xy）=y2f（x）+x2f（y）中計算即可求得函數(shù)f（x）的值.對于選項C，要證f（x）是偶函數(shù)，即證f（-x）=f（x），通過取特殊值，先求出f（-1）=0，再經過變形求得目標式.對于選項D，取滿足條件的特殊函數(shù)f（x）=0即可判斷.

解答過程：選項A，令x=y=0，則f（0）=0×f（0）+0×f（0），則f（0）=0，故A正確.

選項B，令x=y=1，則f（1）=1×f（1）+1×f（1），則f（1）=0，故B正確.

選項C，令x=y=-1，則f（1）=（-1）2×f（-1）+（-1）2×f（-1），則f（-1）=0.

再令y=-1，則f（-x）=（-1）2f（x）+x2·f（-1），即f（-x）=f（x），故C正確.

選項D，不妨設f（x）=0為常函數(shù)，且滿足原函數(shù)f（xy）=y2f（x）+x2f（y），常函數(shù)沒有極值點，故D錯誤.故選ABC.

回顧與反思：函數(shù)是高中數(shù)學中最基本的概念之一，貫穿整個高中數(shù)學的學習.函數(shù)可以理解為兩個集合的對應關系或映射.對應法則、定義域、值域是函數(shù)的三要素，其中起決定作用的是對應法則和定義域.函數(shù)的表示法有解析法、列表法與圖象法，其中解析法是最基本、最重要的方法，按分類的方法不同，函數(shù)的類型各異.結合近年的高考試題來看，主要的考點有求函數(shù)的定義域和值域以及求函數(shù)的解析式.函數(shù)的定義域是討論函數(shù)性質的前提，值域表明了函數(shù)值的取值范圍，它們都是函數(shù)最基本的要素，解析式是函數(shù)的表示方法里最重要的一種，使得函數(shù)形式化、顯性化.

教學建議：在高三數(shù)學復習中，首要任務是立足教材，圍繞核心概念重構函數(shù)的知識體系，讓學生查漏補缺，將知識條理化、完整化、系統(tǒng)化.教師結合重要考點有針對性地選擇模擬試題和真題，讓學生在有效的訓練中加深對知識的理解，提升綜合運用能力和思維能力.

2探尋命題方向：考查函數(shù)的性質

例2（2019年浙江卷）已知a，b∈R，函數(shù)f（x）=x，x<0，

13x3-12（a+1）x2+ax，x≥0，若函數(shù)y=f（x）-ax-b恰有3個零點，則（）.

A. a<-1，b<0

B. a<-1，b>0

C. a>-1，b<0

D. a>-1，b>0

思路分析：本題主要考查判斷分段函數(shù)的零點個數(shù)問題，需要對x和參數(shù)a的范圍進行分類討論，利用導數(shù)研究函數(shù)單調性，判斷零點個數(shù)，畫出函數(shù)圖象的簡圖.在求解時，首先對x分段討論，當x<0時，所求的方程是關于x的一元一次方程，最多只有一個解，所以函數(shù)y=f（x）-ax-b最多只有一個零點.當x≥0時，函數(shù)y=f（x）-ax-b=13x3-12（a+1）x2-b是一個三次函數(shù)，因此需要運用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，又導函數(shù)含有參數(shù)a，則需進一步對a進行分類討論，確定函數(shù)的單調性，并根據(jù)單調性畫出簡圖.

解答過程：由題意可知，當x<0時，y=f（x）-ax-b=x-ax-b=（1-a）x-b=0，當a=1時，y=-b，若b=0顯然不符合題意，若b≠0，則無零點；當a≠1時，解得x=b1-a，所以y=f（x）-ax-b最多有一個零點.

當x≥0時，y=f（x）-ax-b=13x3-12（a+1）x2+ax-ax-b=13x3-12（a+1）x2-b，所以y′=x2-（a+1）x.

當a+1≤0時，即a≤-1時，y′≥0，y=f（x）-ax-b在［0，+∞）上單調遞增，y=f（x）-ax-b最多一個零點.不符合題意.

當a+1>0，即a>-1時，令y′>0，解得x∈［a+1，+∞），此時函數(shù)單調遞增；令y′<0，解得x∈［0，a+1），此時函數(shù)單調遞減，所以函數(shù)最多有兩個零點.

如圖1所示，要使函數(shù)y=f（x）-ax-b恰有三個零點，則函數(shù)y=f（x）-ax-b在（-∞，0）上有一個零點，在［0，+∞）上有兩個零點.

所以x=b1-a<0，

-b>0，

13（a+1）3-12（a+1）2-b<0.

解得b<0，

-1<a<1.故答案為C.

回顧與反思：函數(shù)的性質主要有奇偶性、單調性、周期性、對稱性、連續(xù)性等，是高考中的重要考點之一，結合近年的高考試題可以看出，其主要考查方式有判斷分段函數(shù)的零點個數(shù)，滲透分類討論思想，要求學生利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，有時輔以圖象，考查學生對冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的圖象和性質的運用.運用函數(shù)性質，解決新定義型函數(shù)問題重在考查學生的遷移能力和創(chuàng)新能力.利用函數(shù)的單調性、奇偶性和周期性等性質解決函數(shù)綜合性問題往往是壓軸題，綜合考查導數(shù)、不等式、數(shù)列等知識，難度大，對學生的能力提出了更高的要求，是拉分題.

教學建議：在高三數(shù)學復習中，函數(shù)性質作為函數(shù)的重點內容，教師不僅要回歸教材，梳理知識，熟練掌握各個性質來龍去脈、具體含義，同時要增強學生運用性質的意識.以函數(shù)的單調性為例，教師可以從三個方面來復習.①什么是函數(shù)的單調性.通過回歸教材，落實概念的學習.②如何判斷和證明一個函數(shù)在區(qū)間內的單調性.這是綜合性問題，主要是利用單調性的定義、基本初等函數(shù)的單調性、不等式的性質和導數(shù)進行判斷和證明.③函數(shù)單調性的應用有哪些.主要的應用是求函數(shù)的最值，此外還有不等式、比較大小等問題.通過追根溯源的方式，多角度展開復習，提升學生對知識的理解能力和綜合應用能力.

3探尋命題方向：考查利用圖象變換等方法解決函數(shù)問題

例3（2021年浙江卷）已知函數(shù)f（x）=x2+14，g（x）=sinx，則圖象為如圖2所示的函數(shù)可能是（）.

A. y=f（x）+g（x）-14

B. y=f（x）-g（x）-14

C. y=f（x）g（x）

D. y=f（x）g（x）

思路分析：本題根據(jù)圖象確定函數(shù)解析式，采用排除法，首先由圖象判斷出該復合函數(shù)為奇函數(shù)，然后根據(jù)奇函數(shù)和偶函數(shù)的性質，分別判斷每個選項解析式的奇偶性，選項A、B的解析式直接根據(jù)奇函數(shù)的性質f（x）=-f（-x）進行判斷.選項C的解析式，借助導數(shù)可以判斷函數(shù)為單調遞增函數(shù)，所以排除C，因此選擇D選項，從而避免了選項D中的分式函數(shù)的復雜運算過程.

解答過程：由圖2可知，圖象關于原點對稱，則所求函數(shù)為奇函數(shù).

因為f（x）=x2+14為偶函數(shù)，g（x）=sinx為奇函數(shù).

所以函數(shù)y=f（x）+g（x）-14=x2+sinx為非奇非偶函數(shù)，故選項A錯誤.

所以函數(shù)y=f（x）-g（x）-14=x2-sinx為非奇非偶函數(shù)，故選項B錯誤.

函數(shù)y=f（x）g（x）=x2+14sinx，y′=2xsinx+x2+14cosx>0對x∈0，π4恒成立，此時函數(shù)為單調遞增函數(shù)，故選項C錯誤，由排除法，故選D.

回顧與反思：函數(shù)圖象是對函數(shù)關系的一種直觀、形象的表示，是函數(shù)整體性質的一種幾何呈現(xiàn)方式，通過圖象可以更直觀地了解函數(shù)的特點，如奇偶性、對稱性、極值點以及周期性等，有利于學生的理解和應用.涉及的考點有函數(shù)圖象及圖象變換.

教學建議：在高考復習中，要求學生熟練掌握基本初等函數(shù)的圖象以及圖象的平移變換、對稱變換、伸縮變換，在訓練中強調以下三點.①作圖.應注意在定義域內依據(jù)函數(shù)的性質選取關鍵的一部分點.②識圖.在觀察分析圖象時，要注意到圖象的分布及變化趨勢，以及解析式與圖象的關系.③用圖.函數(shù)的圖象形象地顯示了函數(shù)的性質，充分利用圖象提供的信息可以研究函數(shù)的定義域、值域、單調性、奇偶性、對稱性等問題，利用函數(shù)y=f（x）與y=g（x）的圖象交點個數(shù)判斷f（x）=g（x）解的個數(shù)及不等式的解集等.

4探尋命題方向：考查函數(shù)實際應用問題

例4（2020年上海卷）在研究某市交通情況時，道路密度是指該路段上一定時間內通過的車輛數(shù)除以時間，車輛密度是該路段一定時間內通過的車輛數(shù)除以該路段的長度，現(xiàn)定義交通流量為v=qx，x為道路密度，q為車輛密度，交通流量v=f（x）=100-135·1380x，0&lt;x<40，

-k（x-40）+85，40≤x≤80.

（1）若交通流量v>95，求道路密度x的取值范圍.

（2）已知道路密度x=80時，測得交通流量v=50，求車輛密度q的最大值.

思路分析：第（1）問，由于是分段函數(shù)，需要在不同的定義域內進行分類討論.另外，結合實際的情況，需要對函數(shù)的單調性進行判斷，這是學生容易忽視的.第（2）問，其本質是利用函數(shù)的單調性求分段函數(shù)的最大值，進一步細化問題，即是求復合指數(shù)函數(shù)的最大值和二次函數(shù)的最大值，結合具體的知識不難解出.

解題過程：（1）按實際情況而言，交通流量v隨著道路密度x的增大而減小，故v=f（x）是單調遞減函數(shù)，所以k>0.

當40≤x≤80時，v的最大值為85，不符合題意.

當0<x<40時，由100-135·1380x>95，解得x<803.所以x∈0，803.

綜上所述，道路密度x的取值范圍為0，803.

（2）把x=80，v=50代入v=f（x）=-k（x-40）+85中，得50=-k×40+85，解得k=78.所以q=vx=100x-135·1380xx，0<x<40，

-78（x-40）x+85x，40≤x≤80.

當0<x<40時，v=100-135·1380x<100，q=vx<4000.

當40≤x≤80時，q=-78x2+120x，q′=-74x+120.

當q′>0時，40≤x<4807，此時q=-78x2+120x為單調遞增函數(shù)；

當q′≤0時，4807≤x≤80，此時q=-78x2+120x為單調遞減函數(shù).

當x=4807時，q有最大值，qmax=-78×48072+120×4807=288007>4000.

綜上所述，車輛密度q的最大值為288007.

回顧與反思：函數(shù)是數(shù)學建模的核心概念，也是解決實際問題的重要工具.函數(shù)的實際運用一直以來都是高考的重點和熱點，通過設置情境化試題，要求學生在新穎或陌生的情境中主動思考，獲取有效信息，分析新問題，并與所學的知識建立關聯(lián)，遷移應用，解決問題，體現(xiàn)了數(shù)學的應用性，有利于培養(yǎng)學生應用數(shù)學的意識、解決實際問題的能力和創(chuàng)新能力.

教學建議：盡管考題的形式千變萬化，考點卻始終不變，在高三數(shù)學復習中，教師要以不變應萬變，讓學生熟練掌握函數(shù)的概念與性質這些核心知識點，然后引導學生面對各種新情境要精準審題，提取有用的信息，并有效關聯(lián)所學的知識，順利實現(xiàn)遷移應用.

5結語

從對近年的高考試題分布來看，重要的考點是函數(shù)的性質，如奇偶性、單調性、對稱性，指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)、函數(shù)的圖象、分段函數(shù)、函數(shù)與方程有關零點問題等.從函數(shù)考查情況來看，試題中規(guī)中矩，這與考綱相符合沒有偏、難、怪試題.因此，數(shù)學教學要回歸教材，重視基礎知識，重視基本技能的培養(yǎng).在訓練中，從偏基礎性題目開始，循序漸進，過渡到綜合性、應用性、創(chuàng)新性題型，重在函數(shù)與方程思想、數(shù)形結合思想、分類討論思想、化歸與轉化思想的滲透，著重培養(yǎng)學生的數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模素養(yǎng).