摘要：本文將批閱試卷時(shí)發(fā)現(xiàn)的一些典型“錯(cuò)解”或優(yōu)秀解法收集整理，以便在試卷講評(píng)環(huán)節(jié)，作為重要的“生成性資源”或講評(píng)“學(xué)材”加以呈現(xiàn)，并在解題教學(xué)過(guò)程中追求“教思考、教思維、教反思”.

關(guān)鍵詞：解題教學(xué)；試卷講評(píng)；考題批閱

解題教學(xué)是初中數(shù)學(xué)教學(xué)的重要任務(wù)之一.對(duì)于一些較難題的解題教學(xué)往往更具有挑戰(zhàn)性，因?yàn)閷W(xué)生甚至連看懂題意都有困難，這時(shí)教師要在組織審讀題意、想清問(wèn)題這個(gè)環(huán)節(jié)“慢下來(lái)”，讓更多學(xué)生看懂問(wèn)題，并帶領(lǐng)學(xué)生“迎難而上”，貫通解題思路.解題教學(xué)的最后，教師還要引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)回顧反思，積累解題經(jīng)驗(yàn).本文從海安市九年級(jí)上學(xué)期期中考試的最后一題的閱卷說(shuō)起，并圍繞該題的解題教學(xué)，談?wù)剳?yīng)該如何體現(xiàn)“教思考、教思維以及教反思”.

1一道九上期中考試較難題的批閱展現(xiàn)

考題呈現(xiàn)（2023年11月海安市九年級(jí)上學(xué)期期中考試壓軸題）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線y＝x2-2ax-3a2（a＞0）與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D，OC＝3OA.若點(diǎn)P在拋物線的對(duì)稱軸上，當(dāng)直線BC上有且只有一個(gè)點(diǎn)Q滿足∠AQP＝45°時(shí)，分析符合要求的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)，并說(shuō)明理由.

解題思路：結(jié)合“題干信息”不難求出二次項(xiàng)系數(shù)a為1，拋物線函數(shù)解析式為y＝x2-2x-3.隨后直線BC也被確定，其解析式為y＝x-3.進(jìn)一步將問(wèn)題簡(jiǎn)化表述如下，如圖1所示，點(diǎn)A（-1，0），點(diǎn)P在直線x＝1上，當(dāng)直線y＝x-3上有且只有一個(gè)點(diǎn)Q滿足∠AQP＝45°時(shí)，求符合要求的點(diǎn)P的坐標(biāo).

閱卷記錄：由于該題是全卷最后一題的最后一問(wèn)，能完整解答出來(lái)的學(xué)生極少.當(dāng)看到有些學(xué)生能寫(xiě)滿答題卡時(shí)，閱卷教師要認(rèn)真閱讀，仔細(xì)辨別解答過(guò)程中的步驟與細(xì)節(jié).

考生解法1：如圖2所示，設(shè)以AP為弦，∠AQP為圓周角的圓的圓心為M，則∠AMP＝90°，MA＝MP.

對(duì)圖2的局部“放大”，如圖3所示，過(guò)點(diǎn)M作GH∥x軸，過(guò)點(diǎn)A作AG⊥GM，過(guò)點(diǎn)P作PH⊥GM，垂足分別為G、H.可得△AMG≌△MPH，則AG＝MH，GM＝HP.設(shè)M（a，b），P（1，t），可得-b＝1-a，a＋1=t-b，解得

a＝t2，b＝t-22，

即點(diǎn)Mt2，t-22.

故點(diǎn)M（圓心）在直線y＝x-1上運(yùn)動(dòng).要想在直線BC上有且僅有一個(gè)點(diǎn)Q，使得∠AQP＝45°，只要讓⊙M與直線BC相切就可以.直線y＝x-1與直線y＝x-3間的距離為2，則⊙M的半徑為2，MA＝2，可得關(guān)于t的方程t2＋12＋t-222＝（2）2，解得t＝0，即P（1，0）.

考生解法2：（同上思路）先分析出點(diǎn)M（圓心）在直線y＝x-1上運(yùn)動(dòng).由點(diǎn)Mt2，t-22，Q（p，p-3），借助坐標(biāo)平面內(nèi)兩點(diǎn)之間距離公式或者構(gòu)造直角三角形運(yùn)用勾股定理分別表示出AM2＝12t2＋2，MQ2＝12t2-2tp+2t-4p＋4＋2p2，由半徑AM＝MQ，可得t、p的等式12t2＋2＝12t2-2tp+2t-4p＋4＋2p2，視p為主元，整理得p2-（t＋2）·p＋t＋1＝0.結(jié)合直線BC上僅有一個(gè)點(diǎn)Q滿足要求，得根的判別式Δ＝（t＋2）2-4（t＋1）＝0，顯然，只有當(dāng)t＝0時(shí)，關(guān)于p的一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，對(duì)應(yīng)著“直線BC上僅有一個(gè)點(diǎn)Q滿足∠AQP＝45°”，即P（1，0）.

簡(jiǎn)評(píng)：需要指出，以上兩種解法都是不完整的.由于并沒(méi)有注意到點(diǎn)P為直線x＝1上任意一點(diǎn)，隨著點(diǎn)P位置的變化，所構(gòu)造的圖形也會(huì)相應(yīng)變化，特別是解法中提到的圓M的位置也發(fā)生了變化，需要考慮以AP為弦的兩個(gè)等圓與直線BC的公共點(diǎn)的情形.借助幾何畫(huà)板將點(diǎn)P變換不同位置，對(duì)應(yīng)不同位置的圖形演示，如圖4～圖9所示.

解題關(guān)鍵：從上面圖4～圖9的演示可以發(fā)現(xiàn)，本題的幾何直觀是以AP為對(duì)角線構(gòu)建一個(gè)正方形，該正方形的另外兩個(gè)頂點(diǎn)E1、E2所在軌跡分別是兩條直線，即直線y＝x-1和直線y＝-x＋1，然后以正方形另外兩個(gè)頂點(diǎn)為圓心、正方形邊長(zhǎng)為半徑分別作兩個(gè)圓與直線BC的公共點(diǎn)情況，需要注意的是，如圖8中，兩圓與直線BC的4個(gè)公共點(diǎn)中點(diǎn)Q1、Q3并不符合題意（此時(shí)∠AQP＝135°），應(yīng)舍去；在圖8中，滿足條件的公共點(diǎn)只有點(diǎn)Q2、Q4.可見(jiàn)，隨著點(diǎn)P在直線x＝1上的變化，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)P位于（1，0）時(shí)，如圖5所示，只有一個(gè)點(diǎn)Q滿足題意.

2在解題教學(xué)中發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)思維的幾點(diǎn)認(rèn)識(shí)

2.1在解題教學(xué)中要重視“教思考”

涂榮豹教授指出，數(shù)學(xué)解題教學(xué)的主要任務(wù)并不是解題，而是“學(xué)解題”［1］，并在此過(guò)程中教學(xué)生學(xué)會(huì)思考.對(duì)于上文提到的全卷最后一題最后一問(wèn)來(lái)說(shuō)，筆者所在農(nóng)村初中的考場(chǎng)上很少有學(xué)生能完整解答出來(lái).那么，試卷講評(píng)時(shí)，該如何幫助學(xué)生“學(xué)解題”“教思考”呢？筆者以為，首先要組織學(xué)生弄清題意，簡(jiǎn)化問(wèn)題，突出問(wèn)題本質(zhì)，然后引導(dǎo)學(xué)生突破關(guān)鍵步驟，必要時(shí)要通過(guò)預(yù)設(shè)鋪墊式問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)回顧，再破解問(wèn)題難點(diǎn).對(duì)照答案“照本宣科”式的講評(píng)不利于學(xué)生學(xué)會(huì)思考、學(xué)會(huì)解題.這也對(duì)教師的備課提出了較高的要求，即教師應(yīng)當(dāng)想清辨明較難問(wèn)題的難點(diǎn)與關(guān)鍵步驟，特別是從學(xué)情研判的視角出發(fā)，預(yù)設(shè)鋪墊問(wèn)題、啟發(fā)式問(wèn)題，幫助學(xué)生更好地理解題意、貫通思路.

2.2在解題教學(xué)中要重視“教思維”

眾所周知，數(shù)學(xué)教學(xué)要重視思維教學(xué).寧連華教授針對(duì)學(xué)生在高考答題中表現(xiàn)出來(lái)的“想得不深，變得不當(dāng)，算得不好，寫(xiě)得不精”等現(xiàn)狀，建議數(shù)學(xué)教學(xué)要重視“教深度思考，教合理變換，教運(yùn)算思維，教精準(zhǔn)表達(dá)”.［2］以上文提到的較難題為例，教師可以將該題設(shè)計(jì)出“一題一課”，帶領(lǐng)學(xué)生深度思考，通過(guò)條件將原問(wèn)題簡(jiǎn)化、轉(zhuǎn)化為等價(jià)問(wèn)題，促進(jìn)學(xué)生掌握合理變換的解題能力.在解題思路貫通之后，教師組織解題教學(xué)過(guò)程時(shí)，要重視教精準(zhǔn)表達(dá)，學(xué)會(huì)簡(jiǎn)化過(guò)程，減少“非必要表達(dá)步驟”的書(shū)寫(xiě).具體來(lái)說(shuō)，上文題例的解題關(guān)鍵是構(gòu)造圖形分析思路，突破構(gòu)圖這一難點(diǎn)，關(guān)鍵是引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)想到圓周角的性質(zhì)，同時(shí)還要注意運(yùn)動(dòng)變化與分類討論等數(shù)學(xué)思想的靈活運(yùn)用.當(dāng)然，以上這些都對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維提出了較高的要求.

2.3在解題教學(xué)中要重視“教反思”

解題教學(xué)的最后要重視解題回顧與反思環(huán)節(jié).教學(xué)生學(xué)會(huì)思考應(yīng)當(dāng)成為數(shù)學(xué)教育的根本目標(biāo)和不懈追求［3］，并且要“教在起始點(diǎn)，教在類比處，教在反思時(shí)”.對(duì)于上文提到的較難考題來(lái)說(shuō)，教師在回顧反思環(huán)節(jié)時(shí)可從以下幾個(gè)方面提出一些問(wèn)題，幫助學(xué)生學(xué)會(huì)回顧反思.例如，這道題的求解過(guò)程中，你覺(jué)得哪一步是最難想到的；你在初次思考時(shí)，有沒(méi)有出現(xiàn)思考不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)默F(xiàn)象，導(dǎo)致出現(xiàn)漏解；你之前有沒(méi)有遇到過(guò)類似的問(wèn)題；通過(guò)這道題的學(xué)習(xí)，你積累了哪些解題經(jīng)驗(yàn).課后教師還可鼓勵(lì)學(xué)生用數(shù)學(xué)寫(xiě)作、解題隨筆的方式，對(duì)這道較難題的思路、解題步驟、解題反思進(jìn)行整理.對(duì)整理得好的學(xué)生隨筆，教師可以利用“班級(jí)園地”“班報(bào)”“班級(jí)公眾號(hào)”等方式進(jìn)行展示、推介，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)生解題自信.

參考文獻(xiàn)

［1］涂榮豹.數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)原理的構(gòu)建——教學(xué)生學(xué)會(huì)思考［M］.北京：科學(xué)出版社，2018.

［2］寧連華.指向核心素養(yǎng)的數(shù)學(xué)高考評(píng)價(jià)及教學(xué)轉(zhuǎn)向?qū)徦迹跩］.中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2022（11）：1-4.

［3］顧鋒，寧連華.于無(wú)疑處教有疑——高中數(shù)學(xué)課堂“教思考”質(zhì)量提升策略探索［J］.數(shù)學(xué)通報(bào)，2022（7）：35-38.