摘要：化歸思想作為一種最基本的數(shù)學(xué)思想，在初中數(shù)學(xué)解題過(guò)程中

普遍運(yùn)用，其本質(zhì)就是將繁瑣的問(wèn)題化為簡(jiǎn)單易操作的問(wèn)題，將未知考點(diǎn)轉(zhuǎn)化為已知知識(shí)來(lái)解答的過(guò)程.本文從實(shí)數(shù)計(jì)算、方程或不等式（組）、函數(shù)探究、三角函數(shù)應(yīng)用、幾何證明等方面結(jié)合具體實(shí)例進(jìn)行分析說(shuō)明，并在研究過(guò)程中指導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用化歸思想，提升其數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué)；化歸思想；解題研究

化歸思想是一種將問(wèn)題由困難轉(zhuǎn)化為容易，由繁瑣轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的過(guò)程，也可以說(shuō)是轉(zhuǎn)化與歸一的總結(jié).化歸思想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中經(jīng)常涉及，在平時(shí)的解題過(guò)程中也都能體會(huì)到化歸思想的重要性.

1化歸思想的本質(zhì)特點(diǎn)

化歸思想是學(xué)生在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)常用的一種思想方法，其本質(zhì)就是在解決問(wèn)題過(guò)程中，把需要解決的問(wèn)題通過(guò)已知知識(shí)進(jìn)行轉(zhuǎn)化，歸結(jié)形成另一個(gè)比較簡(jiǎn)單的問(wèn)題，或是可以用已學(xué)知識(shí)解決的問(wèn)題，這樣就可以通過(guò)解決這個(gè)簡(jiǎn)單或利用已知知識(shí)能解決的問(wèn)題達(dá)到解決原始

問(wèn)題的目的.［1］歸根到底化歸的實(shí)質(zhì)就是轉(zhuǎn)化.

2化歸思想在數(shù)學(xué)解題過(guò)程中的具體應(yīng)用

化歸不僅是初中數(shù)學(xué)中一種重要的解題思想，也是一種問(wèn)題突破的最基本思維策略，更是一種問(wèn)題研究過(guò)程中有效的數(shù)學(xué)思維方式.［2］因此在解題過(guò)程中使用化歸思想進(jìn)行分析研究，解答問(wèn)題會(huì)取得意想不到的效果.

2.1化歸思想在實(shí)數(shù)計(jì)算過(guò)程中的應(yīng)用

以人教版《義務(wù)教育教科書(shū)數(shù)學(xué)七年級(jí)上冊(cè)》第一章《有理數(shù)》教學(xué)為例，教師先引入“相反數(shù)”這個(gè)概念并把握“有理數(shù)的加法運(yùn)算”，再學(xué)習(xí)“有理數(shù)的減法”，這就將減法問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已經(jīng)熟悉把握的加法問(wèn)題，學(xué)習(xí)了“倒數(shù)”知識(shí)點(diǎn)后，將有理數(shù)的除法運(yùn)算轉(zhuǎn)化為乘法運(yùn)算來(lái)解答，這樣難以表述的問(wèn)題很自然地就可以解決了.正負(fù)數(shù)的減法就化歸為已經(jīng)解決的正負(fù)數(shù)的加法了，而引入“倒數(shù)”這個(gè)概念后，正負(fù)數(shù)的除法就化歸為已經(jīng)解決的正負(fù)數(shù)的乘法了.具體案例如下.

例1數(shù)學(xué)問(wèn)題：計(jì)算12+122+123+124+…+12n（其中n是正整數(shù)，且n≥2）.

問(wèn)題研究：直接計(jì)算上述問(wèn)題，顯然對(duì)于七年級(jí)的學(xué)生來(lái)說(shuō)很難，但是

轉(zhuǎn)化一下思想，將問(wèn)題運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法，通過(guò)不斷地分割一個(gè)面積為1的正方形（如圖1），把問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系和所分割的幾何圖形巧妙地結(jié)合起來(lái)，并采取一般問(wèn)題特殊化的策略來(lái)進(jìn)行探究，這個(gè)問(wèn)題就容易解決了.

具體操作如下.第1次，分別連接各邊中點(diǎn)得到圖2，第2次，將圖2右下角正方形按上述方法再分割得到圖3，……，以此類(lèi)推.當(dāng)進(jìn)行第n次操作后，將右下角最小正方形剪去，剩余圖形的面積是1-12n.

2.2化歸思想在方程或不等式（組）“消元”問(wèn)題中的應(yīng)用在計(jì)算一些特殊的方程或不等式（組）問(wèn)題時(shí)，也是利用化歸思想將疑難方程進(jìn)行轉(zhuǎn)化，將“多元”的轉(zhuǎn)化為“一元”的，將“特殊”形式轉(zhuǎn)化為“常規(guī)”形式進(jìn)行解答.［3］例如，我們學(xué)習(xí)了一元一次不等式（組）的解法后，可以通過(guò)化歸思想來(lái)突破一元二次不等式的解法，以此解決后面的問(wèn)題.具體案例如下.

例2解一元二次不等式x2-4＞0.顯然，這樣的問(wèn)題已經(jīng)遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出學(xué)生的知識(shí)學(xué)習(xí)范圍，但是可以將整式x2-4進(jìn)行分解因式，得x2-4＝（x+2）（x-2）.

∵x2-4＞0，∴（x+2）（x-2）＞0，再根據(jù)有理數(shù)的乘法法則“兩數(shù)相乘，同號(hào)得正”，得到式子x+2>0，x-2>0或x+2<0，x-2<0，這樣就將超綱問(wèn)題轉(zhuǎn)化為學(xué)生可解問(wèn)題，這種解一元二次不等式的過(guò)程，真正體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的化歸思想.

2.3化歸思想在函數(shù)探究問(wèn)題中的應(yīng)用

在一些函數(shù)問(wèn)題上也經(jīng)常用到化歸思想，將不好把握的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為容易理解的問(wèn)題進(jìn)行處理，如函數(shù)與方程或不等式之間的關(guān)系，借助圖形將問(wèn)題轉(zhuǎn)化，解答輕而易舉.［5］具體案例如下.

例3在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線(xiàn)y＝ax2+bx經(jīng)過(guò)A（4，0），B（1，4）兩點(diǎn).P是拋物線(xiàn)上一點(diǎn)，且在直線(xiàn)AB的上方.如圖5所示，OP交AB于點(diǎn)C，PD∥BO交AB于點(diǎn)D.記△CDP，△CPB，△CBO的面積分別為S1，S2，S3.判斷S1S2+S2S3是否存在最大值.若存在，求出最大值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

針對(duì)S1S2+S2S3是否存在最大值的問(wèn)題，學(xué)生很難直接入手，但如果將面積問(wèn)題轉(zhuǎn)化為線(xiàn)段之間的關(guān)系問(wèn)題，學(xué)生就容易理解.如圖6所示，根據(jù)PD∥OB，可得△DPC∽△BOC，所以CP∶CO＝CD∶CB＝PD∶OB，從而發(fā)現(xiàn)S1S2=CDCB=PDOB，S2S3=CPCO=PDOB，此時(shí)發(fā)現(xiàn)S1S2+S2S3＝2PDOB，這樣只要再計(jì)算2PDOB的最大值即可將問(wèn)題解決.

2.4化歸思想在三角函數(shù)問(wèn)題中的應(yīng)用

在三角函數(shù)的相關(guān)內(nèi)容學(xué)習(xí)時(shí)，也常常出現(xiàn)角與邊之間的關(guān)系，利用化歸思想，很容易突破邊角關(guān)系，建立等式讓問(wèn)題得解.具體案例如下.

例4某市要舉辦首屆旅游發(fā)展大會(huì)，該市積極優(yōu)化環(huán)境.如圖7所示，規(guī)劃中的一片三角形區(qū)域需美化，已知∠A＝67°，∠B＝53°，AC＝80米，求這片區(qū)域的面積.（結(jié)果保留根號(hào).參考數(shù)據(jù)：sin53°≈0.8，sin67°≈0.9）

根據(jù)題目的條件，學(xué)生無(wú)法進(jìn)行正常計(jì)算，但是考慮到問(wèn)題涉及三角函數(shù)，需要進(jìn)行添加輔助線(xiàn)，構(gòu)造直角三角形.在△ABC中，∠A，∠B，∠C所對(duì)的邊分別為a，b，c，如圖8所示，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D，則在Rt△BCD中，CD＝asinB，在Rt△ACD中，CD＝bsinA，∴asinB＝bsinA，可得asinA＝bsinB，據(jù)此，可以轉(zhuǎn)化得到三角形三邊與三角函數(shù)值的關(guān)系，從而借助上述關(guān)系求得

AE，BC的值，即可得到S△ABC的大小，問(wèn)題得以解決.

2.5化歸思想在幾何證明過(guò)程中的應(yīng)用以人教版《義務(wù)教育教科書(shū)數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)》中關(guān)于“圓”部分內(nèi)容為例，在研究分析“同弧所對(duì)的圓周角的度數(shù)等于這條弧所對(duì)的圓心角的度數(shù)的一半”的過(guò)程中，將問(wèn)題分為三種情況：①當(dāng)點(diǎn)O的位置在圓周角的一條邊上（如圖9）；

②在圓周角的內(nèi)部（如圖10）；③在圓周角的外部（如圖11）.

教材根據(jù)第一種情況可以利用外角性質(zhì)直接得到答案，但是對(duì)于后面兩種情況，卻要求學(xué)生自己研究解決.

面對(duì)這樣的問(wèn)題，很多同學(xué)在分析時(shí)找不到思路，其實(shí)是忽略了化歸思想的運(yùn)用，既然第一種方法如此簡(jiǎn)單，就可以將第二種、第三種情況分別轉(zhuǎn)化為第一種問(wèn)題的模式上來(lái)，從而連接點(diǎn)C與點(diǎn)O，形成直徑，再利用第一種情況的解法順利解答.

在幾何圖形求解陰影面積等方面，化歸思想也經(jīng)常體現(xiàn)其中.具體案例如下.

例5如圖12所示，已知在Rt△ABC中，四邊形DECF是正方形，點(diǎn)D在線(xiàn)段AB上，AD=3，BD=4，求其陰影面積；如圖13所示，半徑為1，圓心角為90°的扇形OAB中，分別以O(shè)A、OB為直徑作半圓，求圖中陰影部分的面積.

像這樣的陰影面積問(wèn)題，學(xué)生直接去求各個(gè)部分的面積往往計(jì)算量大或者繁瑣，但是

在問(wèn)題的特點(diǎn)基礎(chǔ)上可以利用化歸思想，將不規(guī)則的圖形轉(zhuǎn)化為規(guī)則的圖形，解起來(lái)就非常簡(jiǎn)單，如圖12中可以添加DA′這樣一條輔助線(xiàn)，通過(guò)旋轉(zhuǎn)將兩個(gè)直角三角形轉(zhuǎn)化為一個(gè)直角三角形即可求解.扇形問(wèn)題通過(guò)分割將不規(guī)則的扇形填補(bǔ)形成一個(gè)等腰直角三角形，問(wèn)題也很容易求解.

當(dāng)然，在研究其他類(lèi)型的幾何圖形證明過(guò)程中，同樣可以借助題干中的情境進(jìn)行轉(zhuǎn)化，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為圖形或者思維導(dǎo)圖等方式進(jìn)行解答，這樣的化歸思想能夠?qū)?wèn)題直觀化.思路顯性化，很容易找到問(wèn)題的突破.

3結(jié)語(yǔ)

綜上所述，化歸思想在初中數(shù)學(xué)解題中有重要意義，把握化歸思想的本質(zhì)特點(diǎn)，善于從問(wèn)題的情境中獲取相關(guān)信息，進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，從而很容易將疑難問(wèn)題化解.

［5］有了這種思想可以減輕學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)難題的恐懼感，也能輕而易舉地找到問(wèn)題的突破口隨著新課程標(biāo)準(zhǔn)的實(shí)施，數(shù)學(xué)問(wèn)題也不斷向思維深度發(fā)展，教師在教學(xué)過(guò)程中更要注意化歸思想的灌輸與引導(dǎo)，讓學(xué)生充分地把握其內(nèi)涵，并在訓(xùn)練中靈活運(yùn)用，從而達(dá)到提高數(shù)學(xué)思維能力，提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的最終目的.

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