摘要：隨著新課程改革的不斷深入，數(shù)學(xué)建模思想，特別是函數(shù)模型思想，作為一種重要的數(shù)學(xué)思想，已逐漸融入高中數(shù)學(xué)教學(xué)之中.受到諸多外部因素影響，數(shù)學(xué)建模思想并未廣泛應(yīng)用于高中數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)，這使得數(shù)學(xué)建模思想優(yōu)勢(shì)難以體現(xiàn).鑒于此，教師依托新課標(biāo)積極開(kāi)展高中函數(shù)模型教學(xué)活動(dòng)，凸顯數(shù)學(xué)建模思想的重要作用，致力于為高中函數(shù)教學(xué)注入新鮮血液，促進(jìn)數(shù)學(xué)建模思想的推廣應(yīng)用，為提高高中生解決數(shù)學(xué)問(wèn)題能力提供有效手段.

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；數(shù)學(xué)建模思想；函數(shù)模型教學(xué)；教學(xué)設(shè)計(jì)

函數(shù)模型是數(shù)學(xué)的重要分支，也是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的核心內(nèi)容之一.在傳統(tǒng)的高中函數(shù)模型教學(xué)中，教師過(guò)于注重公式和定理的灌輸，忽視了學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力的培養(yǎng).隨著《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》（以下簡(jiǎn)稱“新課標(biāo)”）的頒布，數(shù)學(xué)建模作為一種重要的教學(xué)方法已逐漸融入高中數(shù)學(xué)教學(xué)之中.［1］本文旨在通過(guò)實(shí)證研究，探討和分析數(shù)學(xué)建模思想融入高中函數(shù)模型教學(xué)的效果和影響，增強(qiáng)學(xué)生實(shí)踐能力.

1函數(shù)模型教學(xué)設(shè)計(jì)

1.1教材分析

函數(shù)作為高中數(shù)學(xué)知識(shí)體系的重要組成內(nèi)容，貫穿于高中數(shù)學(xué)教學(xué)始終.函數(shù)知識(shí)是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重點(diǎn)和難點(diǎn)內(nèi)容之一，對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力要求較高.其中，指數(shù)函數(shù)是最基本且最具代表性的函數(shù)，是幫助學(xué)生打好函數(shù)學(xué)習(xí)基礎(chǔ)的重要學(xué)習(xí)內(nèi)容.因此，在指數(shù)函數(shù)學(xué)習(xí)中，有必要引入函數(shù)模型教學(xué)手段，加強(qiáng)對(duì)函數(shù)的研究與解決，增強(qiáng)學(xué)生函數(shù)學(xué)習(xí)技能.

《指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)與圖象》是人教B版《普通高中教科書(shū)數(shù)學(xué)必修第二冊(cè)》中的內(nèi)容，這一知識(shí)點(diǎn)的學(xué)習(xí)是在學(xué)生已學(xué)習(xí)過(guò)函數(shù)概念與性質(zhì)、實(shí)數(shù)指數(shù)冪及運(yùn)算等知識(shí)點(diǎn)的基礎(chǔ)上，對(duì)指數(shù)函數(shù)的概念、性質(zhì)、圖象等進(jìn)行系統(tǒng)性學(xué)習(xí)，為學(xué)生綜合性發(fā)展提供重要依據(jù).教師在指數(shù)函數(shù)性質(zhì)與圖象教學(xué)中，能夠增強(qiáng)學(xué)生對(duì)函數(shù)圖象、代數(shù)運(yùn)算方法的應(yīng)用能力，使學(xué)生在探索函數(shù)性質(zhì)的基礎(chǔ)上建構(gòu)函數(shù)模型思維，闡明數(shù)學(xué)建模思想的重要作用，為學(xué)生形成數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)提供有效路徑.

1.2學(xué)情分析

教師在開(kāi)始函數(shù)模型的教學(xué)設(shè)計(jì)之前，需要對(duì)學(xué)生的情況進(jìn)行分析.根據(jù)新課標(biāo)的要求，學(xué)生已經(jīng)掌握了一定程度的基礎(chǔ)函數(shù)知識(shí)，包括代數(shù)、幾何和初中階段的函數(shù)概念.然而，學(xué)生在函數(shù)模型的理解和應(yīng)用上仍存在一定困難，尤其是在將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)模型的能力上.因此，教師在教學(xué)設(shè)計(jì)中需要考慮如何幫助學(xué)生建立函數(shù)模型的概念，提高他們應(yīng)用函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題的能力.

從知識(shí)基礎(chǔ)層面分析，學(xué)生已具備函數(shù)概念知識(shí)素養(yǎng)，能夠通過(guò)數(shù)學(xué)語(yǔ)言、數(shù)學(xué)方法了解他們?cè)趯W(xué)習(xí)過(guò)程中遇到的問(wèn)題和困難，以及他們對(duì)數(shù)學(xué)建模思想的認(rèn)識(shí)和接受程度.

從認(rèn)知能力層面分析，學(xué)生在理解知識(shí)點(diǎn)時(shí)存在認(rèn)知偏差，不利于提高對(duì)知識(shí)點(diǎn)的分析與解讀能力.通過(guò)本節(jié)課教學(xué)，教師以指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)與圖象的問(wèn)題解決，激發(fā)學(xué)生對(duì)函數(shù)知識(shí)點(diǎn)的求知欲，提高學(xué)生的函數(shù)學(xué)習(xí)綜合能力.

1.3教學(xué)目標(biāo)

本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)如下.

（1）知識(shí)與技能目標(biāo)：讓學(xué)生理解函數(shù)模型的概念，掌握函數(shù)模型的基本性質(zhì)和特點(diǎn).

（2）過(guò)程與方法目標(biāo)：培養(yǎng)學(xué)生將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)模型的能力，提高他們應(yīng)用函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題的能力.在研究指數(shù)函數(shù)y=2x 和y=12x的圖象和性質(zhì)后，增強(qiáng)學(xué)生的高階思維能力，發(fā)展數(shù)學(xué)建模思想.

（3）情感態(tài)度與價(jià)值觀目標(biāo)：培養(yǎng)學(xué)生通過(guò)數(shù)學(xué)語(yǔ)言和符號(hào)表達(dá)函數(shù)模型的能力，提高他們的數(shù)學(xué)表達(dá)能力，使其在進(jìn)階思維轉(zhuǎn)化中培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模思想，為學(xué)生強(qiáng)化數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力提供重要依據(jù).

1.4教學(xué)重難點(diǎn)

本節(jié)課的教學(xué)重難點(diǎn)如下.

（1）教學(xué)重點(diǎn)：培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力，引導(dǎo)學(xué)生了解函數(shù)模型的概念和基本性質(zhì).

（2）教學(xué)難點(diǎn)：幫助學(xué)生掌握將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)模型的方法和技巧，培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題的能力.

1.5教法分析

通過(guò)將數(shù)學(xué)建模思想融入高中函數(shù)模型教學(xué)的效果，筆者發(fā)現(xiàn)結(jié)合數(shù)學(xué)建模的教學(xué)策略可以有效提高高中函數(shù)教學(xué)的質(zhì)量和學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，調(diào)動(dòng)學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)意識(shí)，從而培養(yǎng)學(xué)生模型建構(gòu)思維，提升學(xué)生主動(dòng)建構(gòu)模型的能力.［2］同時(shí)，探究指數(shù)函數(shù)知識(shí)點(diǎn)時(shí)，教師應(yīng)體現(xiàn)以學(xué)生為主體的思想，為學(xué)生提供良好的學(xué)習(xí)環(huán)境，培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)能力，促使學(xué)生具備深入思考、系統(tǒng)解讀、小組合作、互動(dòng)學(xué)習(xí)等綜合能力.在講解函數(shù)模型的概念時(shí)，通過(guò)具體的例子讓學(xué)生理解函數(shù)模型的基本性質(zhì)和特點(diǎn)，幫助學(xué)生建立函數(shù)模型的概念.

2函數(shù)模型的教學(xué)過(guò)程

2.1創(chuàng)設(shè)情境，導(dǎo)入新知

例1細(xì)胞經(jīng)過(guò)分裂，1個(gè)分2個(gè)，2個(gè)分4個(gè)，4個(gè)分8個(gè)，以此類推. 1個(gè)細(xì)胞經(jīng)過(guò)x 次分裂后，得到的細(xì)胞個(gè)數(shù)y 與分裂次數(shù)x 之間存在怎樣的關(guān)系.

教師要求學(xué)生獨(dú)立思考，再進(jìn)行小組合作學(xué)習(xí)，最終獲得學(xué)習(xí)結(jié)果.教師選擇兩個(gè)學(xué)習(xí)小組進(jìn)行作答.

預(yù)設(shè)答案：第一次細(xì)胞分裂，個(gè)數(shù)為2，2=21；第二次細(xì)胞分裂，個(gè)數(shù)為4，4=22；第三次細(xì)胞分裂，個(gè)數(shù)為8，8=23，以此類推，第x次細(xì)胞分裂，個(gè)數(shù)為2x ，y=2x.

師：我們之前學(xué)習(xí)了哪些函數(shù)？它們有什么共同特點(diǎn)？

生1：我們學(xué)過(guò)一次函數(shù)、二次函數(shù)等，它們的共同特點(diǎn)是可以表示兩個(gè)變量之間的關(guān)系.

師：這些函數(shù)在實(shí)際生活中有哪些應(yīng)用？

生2：一次函數(shù)可以表示直線，應(yīng)用于測(cè)量、建筑設(shè)計(jì)等；二次函數(shù)可以表示拋物線，應(yīng)用于物理、工程等領(lǐng)域.

師：同學(xué)們總結(jié)得很好.今天我們將學(xué)習(xí)一種新的函數(shù)模型——指數(shù)函數(shù).請(qǐng)大家認(rèn)真觀察指數(shù)函數(shù)的定義式y(tǒng)=ax（a為常數(shù)且a>0，a≠1）.

【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)“細(xì)胞分裂”情境，引導(dǎo)學(xué)生思考如何用數(shù)學(xué)模型來(lái)描述實(shí)際問(wèn)題，以此來(lái)激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性.這樣的情境教學(xué)很好地詮釋了高中數(shù)學(xué)的跨學(xué)科價(jià)值，幫助學(xué)生感受數(shù)學(xué)在不同學(xué)科中的作用，鍛煉學(xué)生將數(shù)學(xué)知識(shí)與其他學(xué)科緊密融合的能力，由此引導(dǎo)學(xué)生在實(shí)際問(wèn)題中建構(gòu)模型抽象思維，為導(dǎo)入指數(shù)函數(shù)相關(guān)知識(shí)點(diǎn)做好鋪墊.

2.2自主探究，模型建立

教師引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)指數(shù)函數(shù)的概念和性質(zhì).

（1）指數(shù)函數(shù)的解析式為y=ax（a為常數(shù)且a>0，a≠1）.

（2）指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性：當(dāng)a>1時(shí)，函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增；當(dāng)0<a<1時(shí)，函數(shù)在定義域上單調(diào)遞減.

（3）指數(shù)函數(shù)的圖象特點(diǎn)：函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)第一、二象限，過(guò)定點(diǎn)（0，1）.

師：請(qǐng)大家用幾何畫(huà)板驗(yàn)證一下指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性.

學(xué)生自主探究，教師巡回指導(dǎo).

生3：我發(fā)現(xiàn)，當(dāng)a>1時(shí)，指數(shù)函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增；當(dāng)0<a<1時(shí)，指數(shù)函數(shù)在定義域上單調(diào)遞減.

師：非常好，同學(xué)們已經(jīng)掌握了指數(shù)函數(shù)的基本性質(zhì).下面，我將舉例說(shuō)明指數(shù)函數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用.

【設(shè)計(jì)意圖】教師通過(guò)具體的例子講解函數(shù)模型的概念，讓學(xué)生理解函數(shù)模型的基本性質(zhì)和特點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生思考如何用數(shù)學(xué)模型來(lái)描述這些問(wèn)題，并從中分析一些具體的實(shí)際問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)模型，并通過(guò)數(shù)學(xué)語(yǔ)言和符號(hào)表達(dá)出來(lái).［3］

2.3總結(jié)性質(zhì)，分析模型

教師總結(jié)：函數(shù)是數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要概念，它們廣泛應(yīng)用于各個(gè)領(lǐng)域. 指數(shù)函數(shù)具有獨(dú)特的性質(zhì)和應(yīng)用，讓學(xué)生了解指數(shù)函數(shù)的基本形式y(tǒng)=ax（a為常數(shù)且a>0，a≠1）.

師：研究指數(shù)函數(shù)y=2x的性質(zhì)，并繪制出它的函數(shù)圖象.

教師通過(guò)提問(wèn)的方式引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合已學(xué)過(guò)的函數(shù)知識(shí)，如一次函數(shù)、二次函數(shù)等，繪制y=2x的圖象.

預(yù)設(shè)答案：學(xué)生通過(guò)列表（見(jiàn)表1）、描點(diǎn)繪制圖象（如圖1）.

教師引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)觀察圖象總結(jié)指數(shù)函數(shù)y=2x 的性質(zhì).

定義域：R.值域：（0，+∞）.奇偶性：非奇非偶函數(shù).單調(diào)性：在R上單調(diào)遞增.

師：請(qǐng)同學(xué)們類比指數(shù)函數(shù)y=2x 的性質(zhì)的研究過(guò)程，研究指數(shù)函數(shù)y=12x的圖象和性質(zhì).

預(yù)設(shè)答案：學(xué)生通過(guò)列表（見(jiàn)表2）、描點(diǎn)繪制圖象（如圖2）.

教師引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)觀察圖象總結(jié)指數(shù)函數(shù)y=12x的性質(zhì).

定義域：R.值域：（0，+∞）.奇偶性：非奇非偶函數(shù).單調(diào)性：在R上單調(diào)遞減.

師：觀察指數(shù)函數(shù)y=2x和y=12x的圖象，你能發(fā)現(xiàn)什么？

預(yù)設(shè)答案：學(xué)生通過(guò)描點(diǎn)，將y=2x和y=12x的圖象繪制到同一個(gè)平面直角坐標(biāo)系中（如圖3）.觀察圖象總結(jié)如下性質(zhì).

（1）底數(shù)互為倒數(shù)的指數(shù)函數(shù)，它們的圖象關(guān)于y 軸對(duì)稱.

（2）兩個(gè)指數(shù)函數(shù)圖象均過(guò)定點(diǎn)（0，1），因?yàn)槿魏畏橇銓?shí)數(shù)的零次冪都為1，所以（0，1）為指數(shù)函數(shù)圖象上的定點(diǎn).

【設(shè)計(jì)意圖】學(xué)生掌握了冪函數(shù)的基本性質(zhì)和應(yīng)用后，教師準(zhǔn)確地總結(jié)一般指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，增強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力，進(jìn)而了解指數(shù)函數(shù)的形成過(guò)程，增強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知能力.

2.4應(yīng)用模型，鞏固提升

例2下列各函數(shù)中，哪些是指數(shù)函數(shù)？

（1）y=2x；（2）y=x2；（3）y=-2x；

（4）y=（-2）x；（5）y=2x+1；（6）y=2-x.

【設(shè)計(jì)意圖】教師通過(guò)例題訓(xùn)練學(xué)生的數(shù)學(xué)概念解讀能力，使學(xué)生能夠準(zhǔn)確把握指數(shù)函數(shù)模型的特點(diǎn)：①指數(shù)的位置必須是自變量x；②指數(shù)函數(shù)的系數(shù)是1；③指數(shù)函數(shù)的底數(shù)必須是大于0且不等于1的常數(shù).

2.5課堂練習(xí)，作業(yè)小結(jié)

教師發(fā)放探究任務(wù)單，要求學(xué)生獨(dú)立探究以下問(wèn)題.

（1）什么是函數(shù)模型？

（2）如何構(gòu)建函數(shù)模型？

（3）函數(shù)模型在實(shí)際生活中有哪些應(yīng)用？

生：函數(shù)模型是用來(lái)描述兩個(gè)變量之間關(guān)系的數(shù)學(xué)模型，構(gòu)建函數(shù)模型的方法有解析式法、圖象法、表格法等.函數(shù)模型在實(shí)際生活中有廣泛的應(yīng)用，如線性規(guī)劃、最優(yōu)化問(wèn)題、概率論等.

教師補(bǔ)充總結(jié)：函數(shù)模型是數(shù)學(xué)中的重要工具，它可以幫助我們更好地理解和解決實(shí)際問(wèn)題.掌握函數(shù)模型的構(gòu)建方法和應(yīng)用技巧對(duì)于同學(xué)們今后的學(xué)習(xí)和工作都有很大幫助.

【設(shè)計(jì)意圖】教師應(yīng)用已學(xué)知識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生的質(zhì)疑能力，引導(dǎo)學(xué)生在解決實(shí)際問(wèn)題中應(yīng)用指數(shù)函數(shù)，增強(qiáng)學(xué)生構(gòu)建函數(shù)模型的能力，深化開(kāi)展對(duì)高中指數(shù)函數(shù)學(xué)習(xí)活動(dòng)，切實(shí)提高學(xué)生的數(shù)學(xué)綜合學(xué)習(xí)能力.

3結(jié)語(yǔ)

新課標(biāo)背景下，高中數(shù)學(xué)建模思想的滲透能夠提高數(shù)學(xué)課程教學(xué)質(zhì)量與效率，能夠提高學(xué)生實(shí)踐學(xué)習(xí)綜合能力，為培養(yǎng)高中生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)提供有利依據(jù).高中數(shù)學(xué)建模思想貫穿到函數(shù)教學(xué)中，能夠增強(qiáng)學(xué)生對(duì)知識(shí)點(diǎn)的分析、推理、討論、實(shí)踐等能力，促使學(xué)生在建模思想下提高綜合學(xué)習(xí)能力，為學(xué)生綜合性發(fā)展提供重要依據(jù).在上述教學(xué)案例分析推理中，教師與學(xué)生建立有效溝通，了解學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)建模思想的認(rèn)知情況，幫助學(xué)生通過(guò)自主學(xué)習(xí)過(guò)程，增強(qiáng)實(shí)踐學(xué)習(xí)能力，進(jìn)而掌握指數(shù)函數(shù)概念、性質(zhì)、圖象等知識(shí)點(diǎn)，彰顯函數(shù)模型教學(xué)的有效性作用.

參考文獻(xiàn)

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