摘要：復(fù)雜事件的概率求解問題活躍在高三各類考試中，此類問題的解決一直是師生的難點(diǎn)和痛點(diǎn).本文以幾道考題為例，歸納出此類問題的三條解題策略.

關(guān)鍵詞：復(fù)雜事件；概率；事件結(jié)果；研究對(duì)象

復(fù)雜事件的概率求解問題活躍在高三各類考試中，對(duì)于此類問題的求解總讓學(xué)生望而生畏.因求解過程復(fù)雜不易考慮周全，標(biāo)準(zhǔn)答案的解析又常常難以理解，學(xué)生甚至覺得此類問題就是靠智商，不像其他模塊有基本的解題策略.筆者結(jié)合自己的研究和教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，以幾道高考試題為例，歸納出三條解題策略.

1化整為零策略

例1^^（2024年廣東佛山二模改編題）&&某大學(xué)舉辦對(duì)抗賽，競(jìng)賽規(guī)則如下.兩位留學(xué)生進(jìn)行答題比賽，每輪只有1道題目，比賽時(shí)兩位參賽者同時(shí)回答這一個(gè)問題，若一人答對(duì)且另一人答錯(cuò)，則答對(duì)者獲得1分，答錯(cuò)者得-1分；若兩人都答對(duì)或都答錯(cuò)，則兩人均得0分.對(duì)抗賽共設(shè)3輪，累計(jì)得分為正者將獲得一份獎(jiǎng)品，且兩位參賽者答對(duì)與否互不影響，每次答題的結(jié)果也互不影響.留學(xué)生甲和留學(xué)生乙參加對(duì)抗賽，根據(jù)以往答題經(jīng)驗(yàn)，每道題留學(xué)生甲和留學(xué)生乙答對(duì)的概率分別為35，12.求留學(xué)生甲獲得獎(jiǎng)品的概率.

分析：事件的復(fù)雜源于有三輪比賽，每一輪比賽又有不同結(jié)果.解題時(shí)只要將每一輪的結(jié)果研究好，那么再去看三輪的總結(jié)果就清晰了.

解析：每一輪中留學(xué)生甲得1分的概率為35×1-12=310.

每一輪中留學(xué)生甲得0分的概率為35×12+1-35×1-12=12.

每一輪中留學(xué)生甲得-1分的概率為1-35×12=15.

在3輪比賽后，留學(xué)生甲得3分的概率為P1=3103=271000.

在3輪比賽后，留學(xué)生甲得2分的概率為P2=C233102×12=27200.

在3輪比賽后，留學(xué)生甲得1分的概率為P3=C13×310×122+C23×3102×15=2791000.

甲最終獲得獎(jiǎng)品的概率為P=P1+P2+P3=271000+27200+2791000=4411000.

例2^^（2024年遼寧大連一模改編題）&&有質(zhì)地、大小均相同的7個(gè)小球，其中有4個(gè)白球，3個(gè)黑球，將這7個(gè)球分裝在甲乙兩個(gè)盒子中.甲盒裝3個(gè)小球，其中有2個(gè)白球，1個(gè)黑球；乙盒裝4個(gè)小球，其中有2個(gè)白球，2個(gè)黑球.采取不放回的方式先從甲盒中每次隨機(jī)抽取一個(gè)小球，當(dāng)盒中只剩一種顏色時(shí)，用同樣的方式從乙盒中抽取，直到乙盒中所剩小球顏色和甲盒剩余小球顏色相同，或者乙盒小球全部取出后停止.記這種方案的總抽取次數(shù)為Y，求Y的數(shù)學(xué)期望.

分析： 事件的復(fù)雜源于甲、乙盒的不同結(jié)果，我們只要把甲、乙兩盒的不同抽取結(jié)果分別研究清楚，那么總抽取次數(shù)就是不同結(jié)果的疊加.

解析：甲盒抽i次剩白球的概率為P（W1=i），抽j次剩黑球的概率為P（B1=j）.

乙盒抽i次剩白球的概率為P（W2=i），抽j次剩黑球的概率為P（B2=j）.

對(duì)于甲盒的抽取方式有P（W1=1）=13，P（W1=2）=2×13×2=13，P（B1=2）=2×13×2=13.

對(duì)于乙盒的抽取方式有P（W2=2）=2×14×3=16，P（B2=2）=2×14×3=16，P（W2=3）=C12×C12×A22A34=13，P（B2=3）=13.

Y的取值可能為3，4，5，6.

P（Y=3）=P（W1=1）×P（W2=2）=13×16=118.

P（Y=4）=P（W1=1）×P（W2=3）+P（W1=2）×P（W2=2）+P（B1=2）×P（B2=2）=13×13+13×16+13×16=29.

P（Y=5）=P（W1=1）×［P（B2=2）+P（B2=3）］+P（W1=2）×P（W2=3）+P（B1=2）×P（B2=3）=13×13+16+13×13+13×13=718.

P（Y=6）=P（W1=2）×［P（B2=2）+P（B2=3）］+P（B1=2）×［P（W2=2）+P（W2=3）］=13×13+16+13×13+16=13.

Y的數(shù)學(xué)期望E（Y）=3×118+4×29+5×718+6×13=5.

解題反思：上面兩個(gè)例題的復(fù)雜源于問題涉及多個(gè)事件且每個(gè)事件有多種結(jié)果.如果一步到位直接求解，就會(huì)讓我們無從下手或者會(huì)而不全.如果在解題時(shí)實(shí)行化整為零的策略，研究好每一個(gè)事件的結(jié)果，再去看待事件的重復(fù)或者多事件的疊加，就要清晰而簡單很多.

2合理分類策略

例3^^（2024年第二學(xué)期天域全國名校協(xié)作體聯(lián)考改編題）&&甲、乙兩人進(jìn)行知識(shí)問答比賽，共有3道搶答題，甲、乙搶題的成功率相同.假設(shè)每題甲乙答題正確的概率分別為12和13，各題答題相互獨(dú)立.比賽規(guī)則為初始雙方均為0分，答對(duì)一題得1分，答錯(cuò)一題得-1分，未搶到題得0分，最后累計(jì)總分多的人獲勝.求甲獲勝的概率.

分析：在解題過程中，大部分學(xué)生試圖列舉甲得分的所有情況，由于情況太多，學(xué)生解對(duì)的很少.標(biāo)準(zhǔn)答案是按照甲搶到的題數(shù)進(jìn)行分類求解，解題過程如解法1.事實(shí)上，如果我們抓住研究對(duì)象，也就是得分的差來研究每道題的結(jié)果，就可以分成兩類.一類是甲勝乙，即甲比乙多一分（甲搶到答對(duì)，乙搶到答錯(cuò)）；另一類是乙勝甲，即乙比甲多一分（乙搶到答對(duì)，甲搶到答錯(cuò)），那么最終甲獲勝即甲勝乙的題數(shù)多，2題或者3題，解題過程如解法2.

解法1： 記甲獲勝為事件A，甲搶到3道題為事件A3，甲搶到2道題為事件A2，甲搶到1道題為事件A1，甲搶到0道題為事件A0.

P（A3）=123=18，P（A2）=C23123=38，P（A1）=C13123=38，P（A0）=123=18.

P（A|A3）=123+C231221-12=12，P（A|A2）=122+C12121-121-13=712，

P（A|A1）=12×23×23+2×23×13+1-12×23×23=23，P（A|A0）=233+C13×13×232=2027.

P（A）=P（A3）P（A|A3）+P（A2）·P（A|A2）+P（A1）P（A|A1）+P（A0）P（A|A0）=18×12+38×712+38×23+18×2027=539864.

解法2： 每道題甲勝乙的概率為12×12+12×23=712，則甲獲勝的概率為7123+C135127122=539864.

解題反思： 此類問題解題復(fù)雜主要是因?yàn)樗笫录闆r多，如果在解題時(shí)沒有合理的分類標(biāo)準(zhǔn)就會(huì)造成分析過程既繁瑣又無序.解題時(shí)抓住一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)來分類就不會(huì)雜亂無章.更進(jìn)一步，解題時(shí)根據(jù)研究對(duì)象合理優(yōu)化分類標(biāo)準(zhǔn)，就能實(shí)際簡化解題步驟，提高解題效率的目標(biāo).

3優(yōu)化樣本空間

例4^^（2021年北京高考改編題）&&在疾病檢測(cè)中，“k合1” 混采檢測(cè)是指先將k個(gè)人的樣本混合在一起進(jìn)行1次檢測(cè)，如果這k個(gè)人都沒有感染疾病，則檢測(cè)結(jié)果為陰性，得到每人的檢測(cè)結(jié)果都為陰性，檢測(cè)結(jié)束.如果這k個(gè)人中有人感染疾病，則檢測(cè)結(jié)果為陽性，此時(shí)需對(duì)每人再進(jìn)行1次檢測(cè)，得到每人的檢測(cè)結(jié)果，檢測(cè)結(jié)束.現(xiàn)對(duì)100人進(jìn)行檢測(cè)，假設(shè)其中只有2人感染疾病，并假設(shè)每次檢測(cè)結(jié)果準(zhǔn)確.將這100人隨機(jī)分成20組，每組5人，且對(duì)每組都采用“5合1”混采檢測(cè).設(shè)Y是檢測(cè)的總次數(shù)，求Y的概率分布列.

分析：這是一道古典概型題，解法的不同源于樣本空間的選取方式不同.由題意，Y的可能取值為25，30，設(shè)兩名感染者在同一組的概率為P1，不在同一組的概率為P2，則P（Y=25）=P1，P（Y=30）=P2.解法1是以100個(gè)人分成20組的不同分組方法為樣本空間；解法2依據(jù)兩種不同的樣本點(diǎn)，求P1時(shí)要保證兩名陽性在一組，就以此組的選取方式為樣本空間，P2以兩組的選取方式為樣本空間；解法3假設(shè)已經(jīng)隨機(jī)分成20組，然后每組5個(gè)位置，讓兩名陽性人員去選擇位置.相應(yīng)的解法呈現(xiàn)如下.

解法1：P1=C22C598C593C588…C513C5819！C33C5100C595C590…C515C510C5520！=499.

P2=C12C598C593C588…C51318！·C48C442！C5100C595C590…C515C510C5520！=9599.

解法2： P1=C120C398C5100=499.

P2=C220C12C498C494C5100C595=9599.

解法3： P1=C120C25C2100=499，P2=C220C15C15C2100=9599.

Y的概率分布列如下.

Y2530

P4999599

解題反思：在解決古典概型問題時(shí)，我們應(yīng)抓住古典概型的特點(diǎn)合理地選取樣本空間來進(jìn)行計(jì)算.學(xué)生一開始大多都選擇了解法1，這也是我們?cè)谟?jì)數(shù)原理中遇到的一個(gè)基本問題，即平均分組問題.在后面的運(yùn)算中也檢測(cè)了學(xué)生對(duì)于組合數(shù)運(yùn)算的基本功，這些可以在講解中具體展開，以加強(qiáng)學(xué)生的基本知識(shí)和方法.教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生對(duì)解法2和解法3的感悟和理解，從而提升學(xué)生的思維水平和對(duì)樣本空間的認(rèn)識(shí).