摘要：曲線的公切線問題，是近年高考中頻繁出現(xiàn)的一類熱點(diǎn)考題，它涉及知識(shí)面廣，融合度高.本文從一道兩個(gè)函數(shù)的公切線問題入手，探尋解決此類問題的技巧與方法，并進(jìn)行合理變式探究，深挖問題的內(nèi)涵與實(shí)質(zhì)，旨在引領(lǐng)并指導(dǎo)數(shù)學(xué)教學(xué)與復(fù)習(xí)備考.

關(guān)鍵詞：函數(shù)；曲線；公切線；導(dǎo)數(shù)

曲線的切線問題是基于導(dǎo)數(shù)的幾何意義與平面解析幾何等相關(guān)知識(shí)的融合，符合高考命題“在知識(shí)交匯點(diǎn)處設(shè)題”的原則，一直是高考中比較常見的一類重點(diǎn)與熱點(diǎn)問題.涉及兩條及以上曲線的公切線問題，新穎度高，創(chuàng)新性強(qiáng)，背景簡單易懂，形式復(fù)雜多變，求解形式多樣，能夠有效考查學(xué)生的“四基”，突出學(xué)生的“四能”等，凸現(xiàn)試題的選拔性與區(qū)分度，倍受各方關(guān)注.

1問題呈現(xiàn)

（多選題）已知函數(shù)f（x）=ln x，g（x）=xa（x>0，a≠0），若存在直線l，使得l是曲線y=f（x）與曲線y=g（x）的公切線，則實(shí)數(shù)a的取值可能是（）.

A. 13

B. 12

C. 2

D. 3

2解題策略

涉及兩條曲線的公切線問題，最為常用的方法就是利用導(dǎo)數(shù)法.［1］利用導(dǎo)數(shù)法解答兩條曲線的公切線問題的基本步驟如下.

（1）運(yùn)用求導(dǎo)法則和公式對(duì)兩條曲線的方程y=f（x），y=g（x）進(jìn)行求導(dǎo).

（2）若公切線在兩曲線y=f（x），y=g（x）上的切點(diǎn)坐標(biāo)分別為P1（x1，y1），P2（x2，y2），則y1=f（x1）①，y2=g（x2）②.

（3）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義得出兩曲線的切線斜率的關(guān)系式為f′（x1）=g′（x2）③.

（4）根據(jù)①②③建立關(guān)于x1，x2的方程組.

（5）根據(jù)直線的點(diǎn)斜式方程為求得公切線的方程y-y1=f′（x1）（x-x1）或y-y2=g′（x2）·（x-x2）.

3問題破解

方法1：直接法1.

設(shè)直線l為曲線f（x）=lnx在點(diǎn)（x1，f（x1））處的切線，由f（x）=lnx，可得f′（x）=1x，則f′（x1）=1x1 ，可得直線l的方程為y-lnx1=1x1（x-x1），即y=1x1 x+lnx1-1.

設(shè)直線l為曲線g（x）=xa（x>0，a≠0）在點(diǎn)（x2，g（x2））處的切線，由g（x）=xa，可得g′（x）=axa-1，則g′（x2）=axa-12，可得直線l的方程為y-xa2=axa-12（x-x2），即y=axa-12x+（1-a）xa2.

由題意可知1x1=axa-12，

ln x1-1=（1-a）xa2，由x1>0，x2>0，可知a>0.

由1x1 =axa-12，可得ln x1=-lna-（a-1）·ln x2，將其代入ln x1-1=（1-a）xa2，整理可得（a-1）·（ln x2-xa2）+ln a+1=0.

令函數(shù)h（x）=（a-1）（lnx-xa）+lna+1，則函數(shù)h（x）在（0，+∞）上有零點(diǎn).

令函數(shù)m（x）=lnx-xa，a>0，x>0，則m′（x）=1x-axa-1=1-axax.令m′（x）>0，解得0<x<1a1a ；令m′（x）<0，解得x>1a1a ，所以函數(shù)m（x）在0，1a1a上單調(diào)遞增，在1a1a ，+∞上單調(diào)遞減.

所以當(dāng)a>1時(shí)，函數(shù)h（x）在0，1a1a上單調(diào)遞增，在1a1a ，+∞上單調(diào)遞減，且h1a1a=（a-1）·1aln1a-1a+lna+1=1a（1+lna）>0，而當(dāng)x→+∞時(shí)，h（x）→-∞，故h（x）在（0，+∞）上恒有零點(diǎn)，從而a>1恒成立.

當(dāng)a=1時(shí)，h（x）=1，無零點(diǎn)，不成立.

當(dāng)0<a<1時(shí)，h（x）在0，1a1a上單調(diào)遞減，在1a1a ，+∞上單調(diào)遞增，且當(dāng)x→+∞時(shí)，h（x）→+∞，則h1a1a=（a-1）1aln1a-1a+lna+1=1a（1+ln a）≤0，解得0<a≤1e.

綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍是（0，1e］∪（1，+∞），結(jié)合選項(xiàng)可知，實(shí)數(shù)a的取值可能是13，2，3，故選擇ACD.

方法2：直接法2.

以上部分同方法1，消去x1并整理，可得（a-1）（ln x2-xa2）+ln a+1=0.

兩邊同除以a-1，可得ln x2-xa2+1+ln aa-1=0①.

令函數(shù)h（x）=ln x-xa+1+ln aa-1，x>0，a>0且a≠1，則h′（x）=1x-axa-1=1-axax，令h′（x）=0，解得x=1a1a ，所以h（x）max=h1a1a=1a·ln1a-1a+1+ln aa-1=-1+ln aa+1+ln aa-1=1a-1-1a（1+ln a），且x→0+時(shí)，h（x）→-∞.

方程①有解，等價(jià)于h（x）max=1a-1-1a·（1+ln a）≥0，解得0<a≤1e或a>1.

所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是（0，1e］∪（1，+∞），結(jié)合選項(xiàng)可知，實(shí)數(shù)a的取值可能是13，2，3，故選擇ACD.

方法3：數(shù)形結(jié)合法.

當(dāng)a>1時(shí)，結(jié)合x>0，可得xa>x>x-1≥ln x，結(jié)合此時(shí)函數(shù)f（x）=ln x，g（x）=xa（x>0，a≠0）的圖象可知兩曲線沒有交點(diǎn)，如圖1所示，顯然兩曲線有公切線，故選項(xiàng)CD正確.

當(dāng)a=1時(shí)，如圖2所示，顯然兩曲線沒有公切線，其實(shí)本題中可以不用考慮a=1的情況，這是因?yàn)樗膫€(gè)選項(xiàng)中沒有相應(yīng)的a=1.

當(dāng)0<a<1時(shí)，如圖3所示，根據(jù)兩函數(shù)圖象的特征，只要兩函數(shù)圖象有交點(diǎn)，兩曲線就有公切線；兩函數(shù)圖象沒有交點(diǎn)，兩曲線就沒有公切線.

只需要方程xa=ln x>0有解即可，則知x>1，對(duì)方程兩邊取自然對(duì)數(shù)有aln x=ln ln x，令ln x=t>0，則只需a=ln tt有解.

令函數(shù)g（t）=ln tt，t∈（0，+∞），則知g′（t）=1-ln tt2 .由g′（t）=0解得t=e，當(dāng)0<t<e時(shí)，g′（t）>0，則函數(shù)g（t）在（0，e）上單調(diào)遞增；當(dāng)t>e時(shí)，g′（t）<0，則函數(shù)g（t）在（e，+∞）上單調(diào)遞減.所以g（t）max=g（e）=1e，且當(dāng)t→0時(shí)，g（t）→-∞；當(dāng)t→+∞時(shí)，g（t）→0，

所以0<a≤1e.

綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍是0，1e∪（1，+∞），結(jié)合選項(xiàng)可知，實(shí)數(shù)a的取值可能是13，2，3，故選擇ACD.

4變式拓展

4.1題型變式

變式1已知函數(shù)f（x）=ln x，g（x）=xa（x>0，a≠0），若存在直線l，使得l是曲線y=f（x）與曲線y=g（x）的公切線，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

答案為0，1e∪（1，+∞）.

4.2深入變式

變式2^^（2024年四川省成都市高中畢業(yè)班摸底測(cè)試題）&&若一條直線與函數(shù)y=ln x和y=ex的圖象分別相切于點(diǎn)P（x1，y1）和Q（x2，y2），則（1-ey1）·（1+x2）的值為.

解析：設(shè)f（x）=ln x，g（x）=ex，則有f′（x）=1x，g′（x）=ex.

利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，可知函數(shù)y=ln x的圖象在點(diǎn)P（x1，y1）處的切線方程為y-ln x1=1x1（x-x1），即y=1x1x+ln x1-1，函數(shù)y=ex的圖象在點(diǎn)Q（x2，y2）處的切線方程為y-ex2=ex2（x-x2），即y=ex2x+ex2（1-x2）.

由于這兩條切線為同一條直線，則有1x1=ex2，

lnx1-1=ex2（1-x2），所以-x2-1=1x1（1-x2），解得x1=x2-1x2+1，又y1=ln x1，得1-ey1=1-elnx1=1-x1=1-x2-1x2+1=2x2+1.

（1-ey1）（1+x2）=2x2+1×（1+x2）=2，故填答案2.

變式3若函數(shù)f（x）=aln x（a≠0），g（x）=x2的圖象存在公切線，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

解析：設(shè)與函數(shù)f（x）=alnx相切的切點(diǎn)為（m，alnm），m>0，由f′（x）=ax，可得切線的斜率為f′（m）=am，a≠0，則切線的方程為y-alnm=am（x-m），即y=amx-a+alnm.

又切線y=amx-a+alnm與g（x）=x2也相切，則方程x2-amx+a-alnm=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，即有Δ=a2m2 -4（a-alnm）=0，分離參數(shù)有a=4m2（1-lnm），m>0.

設(shè)函數(shù)h（m）=4m2（1-lnm），m>0，則h′（m）=4［2m（1-lnm）-m］=4m（1-2lnm），由h′（m）=0，解得m=e，則當(dāng)0<m<e時(shí)，h′（m）>0，函數(shù)h（m）單調(diào)遞增；當(dāng)m>e時(shí)，h′（m）<0，函數(shù)h（m）單調(diào)遞減，所以可得m=e時(shí)，h（m）取得極大值，且為最大值，最大值為2e，則有a≤2e.

實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-∞，0）∪（0，2e］，故填答案（-∞，0）∪（0，2e］.

5教學(xué)啟示

5.1歸納技巧方法

涉及多曲線（主要是兩個(gè)曲線）的公切線問題，其核心就是相應(yīng)的切點(diǎn)坐標(biāo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義知切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)就是對(duì)應(yīng)切線的斜率.對(duì)于公切線問題，應(yīng)根據(jù)兩個(gè)函數(shù)的圖象在切點(diǎn)處的斜率相等，同時(shí)滿足切點(diǎn)既在切線上又在曲線上，列出有關(guān)切點(diǎn)的橫坐標(biāo)的方程（組），通過解方程（組）或恒等變形等來分析與求解.［2］

5.2提升變式效應(yīng)

在高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)與學(xué)習(xí)中，教師要適時(shí)地將一些典型問題進(jìn)行深入變形與拓展，借助“一題多解”“一題多變”等形式，實(shí)現(xiàn)“一題多得”，逐步培養(yǎng)學(xué)生靈活多變的數(shù)學(xué)思維，發(fā)散開拓的數(shù)學(xué)思想，以及創(chuàng)新應(yīng)用的探索精神與創(chuàng)新意識(shí)，從而真正把對(duì)數(shù)學(xué)能力的培養(yǎng)落到實(shí)處，全面提高數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

參考文獻(xiàn)

［1］韓雅雅.用導(dǎo)數(shù)法求解兩條曲線的公切線問題的思路［J］.語數(shù)外學(xué)習(xí)（高中版上旬），2023（11）：50-51.

［2］李寧，唐盛彪.例析涉及公切線的導(dǎo)數(shù)壓軸小題［J］.數(shù)學(xué)通訊，2018（5）：1-3.