摘要：基于解題教學(xué)的理念，結(jié)合初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)的實(shí)際案例，本文從“教”與“學(xué)”兩方面探究教學(xué)實(shí)踐中的反思活動(dòng).通過模型提煉、變式訓(xùn)練、遷移運(yùn)用等活動(dòng)，教師引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建前后一致、邏輯連貫的學(xué)習(xí)路徑，幫助學(xué)生理解通性通法，充分激發(fā)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、探究問題、解決問題的活力和潛能.

關(guān)鍵詞：引參法；雙角平分線；數(shù)形結(jié)合

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》指出：“數(shù)學(xué)課程要培養(yǎng)的學(xué)生核心素養(yǎng)，主要包括以下三個(gè)方面.①會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界；②會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界；③會(huì)用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界.”［1］本文通過一道“雙角平分線問題”的解題探究，幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)探究思維、解題能力、核心素養(yǎng)的全面提升.

1問題背景

在幾何學(xué)中，“雙角平分線”是一個(gè)重要的概念，它指的是一道題目中出現(xiàn)兩個(gè)甚至更多的角平分線.角平分線不僅具有獨(dú)特的幾何特性，還有相等的代數(shù)特性.當(dāng)幾何題中出現(xiàn)“雙角平分線”時(shí)，引入?yún)?shù)來表示相等的角是一個(gè)有效的解題策略.這樣做可以幫助我們找到等量關(guān)系，將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題.引參法作為一種有效的解題方法，在解決“雙角平分線”問題時(shí)展現(xiàn)出了顯著的優(yōu)勢.

2問題初探

筆者在一節(jié)習(xí)題課上，給出了以下關(guān)于“雙角平分線”的幾何問題.

已知點(diǎn)B，D分別在AK和CF上，且CF平行AK.

（1）如圖1所示，若∠CDE＝22°，∠DEB＝75°，則∠ABE的度數(shù)為.

（2）如圖2所示，BG平分∠ABE，GB延長線與∠EDF的平分線交于點(diǎn)H，若∠DEB比∠DHB大60°，求∠DEB的度數(shù).

（3）保持（2）中所求的∠DEB的度數(shù)不變，如圖3所示，BM平分∠EBK，DN平分∠CDE，作BP∥DN，則∠PBM的度數(shù)是否改變？若不變，請(qǐng)求值；若改變，請(qǐng)說明理由.

在教學(xué)過程中，筆者發(fā)現(xiàn)，大部分同學(xué)做到第（2）問就感到困惑，不知道如何下手.筆者按照幾何推理的方式逐步推導(dǎo).

（2）解析：設(shè)DH交AK于點(diǎn)N.延長DE，交AB于點(diǎn)M，則∠DEB＝∠EMB＋∠EBM.

∵CF∥AK，BG平分∠ABE，

∴∠EMB＝180°-∠MDF，∠EBM＝2∠ABG＝2∠HBN，∠MDH＝∠HDF＝∠HNK＝12∠MDF.

∵∠HBN＋∠DHB＝∠HNK，

∴∠DEB＝（180°-∠MDF）＋2∠HBN＝180°-∠MDF＋2×12∠MDF-∠DHB.

∴∠DEB＝180°-∠MDF＋∠MDF-2∠DHB＝180°-2∠DHB.

∵∠DEB-∠DHB＝60°，

∴∠DEB＝180°-2（∠DEB-60°）.

∴3∠DEB＝300°，即∠DEB＝100°.

這道題目圖形復(fù)雜，圖形中涉及的角比較多，數(shù)量關(guān)系不易厘清，所以有部分同學(xué)看不懂推導(dǎo)過程，從而不能真正掌握這個(gè)問題的解題方法.

3方法優(yōu)化

有沒有更有利于學(xué)生理解的思維方式呢？班級(jí)一位同學(xué)的解法，讓大家豁然開朗.他提出第（2）問中有兩個(gè)角平分線，即BG是∠ABE的平分線，DH是∠EDF的平分線.還有兩個(gè)數(shù)量關(guān)系，即∠DEB比∠DHB大60°，以及第（1）問模型的數(shù)量關(guān)系.第（2）問涉及的角比較多，而且它們之間存在某種確定的數(shù)量關(guān)系，可以設(shè)字母表示相關(guān)聯(lián)的角.這其實(shí)就是“引參法”，解題思路如下.

第一步，設(shè)定參數(shù).設(shè)∠ABG＝∠GBE＝α，∠EDH＝∠FDH＝β.

第二步，建立等量關(guān)系.由（1）的模型結(jié)論得∠DEB＝180°-2β＋2α，又由四邊形內(nèi)角和整理得∠DHB＝β-α.

第三步，解代數(shù)方程.由于∠DEB比∠DHB大60°，所以180°-2β＋2α-（β-α）＝60°，解得β-α＝40°.

第四步，轉(zhuǎn)化為幾何解.∠DHB＝40°，所以∠DEB＝100°.

通過這種方法，可以將涉及角平分線的幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，從而更容易找到解決方案.

4解題類比

第（3）問用純幾何方法也很抽象.過程如下.

（3）解析：如圖4所示，過點(diǎn)E作EQ∥DN，則EQ∥DN∥BP.

由（1）得，∠DEB＝∠CDE＋∠ABE.

∵BM平分∠EBK，DN平分∠CDE，

∴∠DEB＝2∠NDE＋180°-2∠EBM.

∵∠DEB＝100°，

∴∠EBM-∠NDE＝40°.

∵EQ∥DN，

∴∠DEQ＝∠NDE.

∴∠EBM＝40°＋∠DEQ，

∵EQ∥DN，DN∥BP，

∴EQ∥BP.

∴∠EBM＋∠PBM＋∠BEQ＝180°.

∴40°＋∠DEQ＋∠PBM＋∠BEQ＝180°.

∴40°＋∠DEB＋∠PBM＝180°.

∴∠PBM＝180°-100°-40°＝40°.

學(xué)生發(fā)現(xiàn)第（3）問中也同樣有兩個(gè)角平分線，即BM平分∠EBK，DN平分∠CDE.還有BP平行于DN，這樣第（1）問模型的數(shù)量關(guān)系就有兩個(gè).引參法解題思路如下.

第一步，設(shè)定參數(shù).設(shè)∠CDN＝∠EDN＝x，∠EBM＝∠KBM＝y(tǒng).

第二步，建立等量關(guān)系.由（1）的模型結(jié)論得∠DEB＝180°-2y＋2x，又由（1）的模型結(jié)論得∠DEB＝x＋180°-y-∠PBM.

第三步，解代數(shù)方程.由第（2）問求出的∠DEB＝100°，所以100°＝180°-2y＋2x，解得y-x＝40°，同樣100°＝180°-（y-x）-∠PBM.

第四步，轉(zhuǎn)化為幾何解.∠PMB＝40°.

通過以上解題過程，總結(jié)出引參法的解題步驟如下.

步驟1：設(shè)定參數(shù).

為兩個(gè)角平分線所分的角設(shè)定參數(shù).假設(shè)第一個(gè)角被分為兩個(gè)α，第二個(gè)角被分為兩個(gè)β.

步驟2：利用已知條件建立等量關(guān)系.

根據(jù)題目的其他已知條件（平行、角度的和差等），建立關(guān)于這些參數(shù)的等量關(guān)系.

步驟3：解代數(shù)方程.

解這些代數(shù)方程，找出參數(shù)的具體值或參數(shù)的整體關(guān)系.解代數(shù)方程需要使用基本的代數(shù)技巧，如移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)等.

步驟4：將代數(shù)解轉(zhuǎn)化為幾何解.

將找到的參數(shù)值或整體關(guān)系代回原幾何問題中，得出幾何解.這可能涉及角度的計(jì)算等.

這樣通過巧設(shè)參數(shù)，直接將抽象的幾何問題轉(zhuǎn)化成具體的代數(shù)問題，優(yōu)化思維，將看似復(fù)雜的難題簡單化，就能很輕松地解決這類問題.

5課堂反思

通過本次教學(xué)案例分析，可以看到引參法在解決雙角平分線幾何問題中的顯著優(yōu)勢.首先，通過引參法將復(fù)雜的幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，降低了問題的難度.這樣，學(xué)生可以更加輕松地理解和解決這類問題.其次，增強(qiáng)了解題靈活性.引參法允許學(xué)生在解題過程中根據(jù)問題的特點(diǎn)選擇合適的參數(shù)和方程，從而提高了解題的靈活性.這有助于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維和解決問題的能力.最后，提高了解題效率.通過引參法，學(xué)生可以系統(tǒng)地整理思路，更加快速地找到解題的突破口，減少在問題中迷失方向的可能性，提高解題的效率.

在日常教學(xué)中，教師應(yīng)該注重引導(dǎo)學(xué)生掌握和運(yùn)用引參法，幫助他們更好地理解和解決幾何問題.同時(shí)，也應(yīng)該注意到，引參法并不是萬能的，它也有其適用范圍和局限性.在運(yùn)用引參法時(shí)，教師需要根據(jù)問題的特點(diǎn)和學(xué)生的實(shí)際情況進(jìn)行選擇和調(diào)整，確保其能夠發(fā)揮最大的價(jià)值.

數(shù)學(xué)教學(xué)是基于問題的教學(xué)，也是反思性教學(xué)，是師生、生生交往互動(dòng)，共同發(fā)展，共同成長的過程.這個(gè)過程是積極的、活躍的、主動(dòng)的、有思維價(jià)值的.本次教學(xué)案例通過模型提煉、變式訓(xùn)練、遷移運(yùn)用，引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建前后一致、邏輯連貫的學(xué)習(xí)路徑，幫助學(xué)生理解通性通法，充分激發(fā)其發(fā)現(xiàn)問題、探究問題、解決問題的活力和潛能，實(shí)現(xiàn)其探究思維、解題能力、核心素養(yǎng)的全面提升.這樣一個(gè)過程，使學(xué)生通過不斷反思、體驗(yàn)、創(chuàng)造性地解決問題，真正抓住了數(shù)學(xué)的本質(zhì)，展示了學(xué)生思維的過程，落實(shí)了以學(xué)生為主體、教師為主導(dǎo)的課堂生態(tài)環(huán)境，實(shí)現(xiàn)了教學(xué)相長的目標(biāo).

參考文獻(xiàn)

［1］中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2022.