摘 要 數(shù)學(xué)建模作為一種科學(xué)方法，有助于學(xué)生更好地理解數(shù)學(xué)知識，提高應(yīng)用能力，并培養(yǎng)創(chuàng)新思維。文章首先提出了四種數(shù)學(xué)建模能力的培養(yǎng)策略：深度融合數(shù)學(xué)建模與專業(yè)知識、引入研究性學(xué)習(xí)方法、實(shí)施“數(shù)學(xué)建模+”拓展計(jì)劃，以及建立數(shù)學(xué)建模的思維訓(xùn)練體系。隨后，詳細(xì)闡述了數(shù)學(xué)建模的四種實(shí)踐路徑：案例研究法、逆向工程思維、交叉學(xué)科實(shí)踐，以及實(shí)時(shí)數(shù)據(jù)建模。這些策略與實(shí)踐路徑共同構(gòu)成了高職數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)學(xué)建模能力培養(yǎng)的綜合框架，旨在拓寬學(xué)生的建模視野，提升他們應(yīng)對復(fù)雜現(xiàn)實(shí)問題的能力。

關(guān)鍵詞 高職院校；應(yīng)用數(shù)學(xué)；數(shù)學(xué)建模；思維訓(xùn)練體系

中圖分類號：G424 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A DOI：10.16400/j.cnki.kjdk.2024.26.035

The Cultivation of Students' Mathematical Modeling Ability in

Applied Mathematics Teaching in Higher Vocational Education

ZHANG Man

（Wuhan Business and Trade Vocational College， Wuhan， Hubei 430070）

Abstract Mathematical modeling， as a scientific method， helps students better understand mathematical knowledge， improve their application abilities， and cultivate innovative thinking. The article first proposes four strategies for cultivating mathematical modeling abilities： deep integration of mathematical modeling and professional knowledge， introduction of research-based learning methods， implementation of the "mathematical modeling+" expansion plan， and establishment of a thinking training system for mathematical modeling. Subsequently， four practical paths for mathematical modeling were elaborated： case study method， reverse engineering thinking， interdisciplinary practice， and real-time data modeling. These strategies and practical paths together form a comprehensive framework for cultivating mathematical modeling abilities in vocational mathematics teaching， aiming to broaden students' modeling perspectives and enhance their ability to deal with complex real-world problems.

Keywords vocational colleges; applied mathematics; mathematical modeling; thinking training system

數(shù)學(xué)建模是通過數(shù)學(xué)方法將實(shí)際問題進(jìn)行抽象和簡化以建立數(shù)學(xué)模型，從而解決實(shí)際問題的一種科學(xué)方法。它不僅能夠幫助學(xué)生更好地理解數(shù)學(xué)知識，提高數(shù)學(xué)應(yīng)用能力，還能夠培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維和團(tuán)隊(duì)協(xié)作精神。在高職數(shù)學(xué)教學(xué)中融入數(shù)學(xué)建模，可以讓學(xué)生更加直觀地感受到數(shù)學(xué)的實(shí)用性和趣味性，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和學(xué)習(xí)主動性。

1 高職應(yīng)用數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)學(xué)建模能力的培養(yǎng)策略

1.1 深度融合數(shù)學(xué)建模與專業(yè)知識

在高職教育中，數(shù)學(xué)建模能力的培養(yǎng)不應(yīng)僅僅局限于數(shù)學(xué)課堂，而是需要與各專業(yè)課程進(jìn)行深度融合。這種融合要求教育者重新審視數(shù)學(xué)與專業(yè)課程的關(guān)系，探索如何將數(shù)學(xué)建模作為橋梁，連接抽象的數(shù)學(xué)理論與具體的專業(yè)應(yīng)用[1]。

首先，這種融合需要專業(yè)教師與數(shù)學(xué)教師之間的緊密合作。雙方應(yīng)共同設(shè)計(jì)課程內(nèi)容和教學(xué)方法，確保數(shù)學(xué)建模能夠自然地融入專業(yè)教學(xué)。例如，在工程技術(shù)專業(yè)中，可以通過數(shù)學(xué)建模來展示力學(xué)或熱學(xué)原理在實(shí)際工程中的應(yīng)用。其次，深度融合還意味著在專業(yè)課程中嵌入數(shù)學(xué)建模的實(shí)踐環(huán)節(jié)。這可以通過設(shè)立專門的數(shù)學(xué)建模實(shí)驗(yàn)或項(xiàng)目來實(shí)現(xiàn)。在這些實(shí)踐活動中，學(xué)生需要運(yùn)用所學(xué)的專業(yè)知識來構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，解決實(shí)際工程問題。例如，在土木工程專業(yè)中，可以讓學(xué)生通過數(shù)學(xué)建模來分析和優(yōu)化橋梁或建筑的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)。最后，深度融合還要求教育者關(guān)注行業(yè)發(fā)展的最新趨勢，不斷更新數(shù)學(xué)建模的教學(xué)內(nèi)容，確保其與實(shí)際工程問題緊密結(jié)合。這樣，學(xué)生不僅能夠掌握數(shù)學(xué)建模的基本技能，還能夠了解其在專業(yè)領(lǐng)域中的實(shí)際應(yīng)用和價(jià)值。

通過深度融合數(shù)學(xué)建模與專業(yè)知識，學(xué)生可以更加直觀地感受到數(shù)學(xué)的實(shí)用性和趣味性，提高他們的學(xué)習(xí)興趣和積極性。同時(shí)，這種融合也有助于培養(yǎng)學(xué)生的綜合素養(yǎng)和適應(yīng)未來職場需求的能力[2]。

1.2 引入研究性學(xué)習(xí)方法

在高職數(shù)學(xué)教學(xué)中引入研究性學(xué)習(xí)方法，可以為學(xué)生提供一個(gè)更加開放、自主的學(xué)習(xí)環(huán)境，有助于培養(yǎng)他們的數(shù)學(xué)建模能力和創(chuàng)新思維。

研究性學(xué)習(xí)方法的核心是讓學(xué)生成為學(xué)習(xí)的主體，鼓勵他們自主選擇或設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)建模問題進(jìn)行研究。這種方法要求教育者轉(zhuǎn)變傳統(tǒng)的教學(xué)角色，從知識的傳授者轉(zhuǎn)變?yōu)閷W(xué)習(xí)的引導(dǎo)者和支持者。

在實(shí)施研究性學(xué)習(xí)方法時(shí)，教師可以首先為學(xué)生提供一些具有挑戰(zhàn)性和實(shí)際意義的數(shù)學(xué)建模問題，激發(fā)他們的探索欲望。然后，學(xué)生可以根據(jù)自己的興趣和研究方向選擇合適的問題進(jìn)行深入研究。在研究過程中，學(xué)生需要運(yùn)用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識和建模技能來分析問題、構(gòu)建模型并求解。此外，教師還可以鼓勵學(xué)生組成研究小組，通過團(tuán)隊(duì)協(xié)作的方式共同解決問題。這種方式不僅可以培養(yǎng)學(xué)生的團(tuán)隊(duì)合作精神和溝通協(xié)調(diào)能力，還能夠讓他們在相互交流和討論中激發(fā)新的思維火花。為了確保研究性學(xué)習(xí)的有效性，教師需要提供適當(dāng)?shù)闹笇?dǎo)和支持。例如，可以定期組織學(xué)生進(jìn)行研究成果的展示和交流活動，幫助他們及時(shí)總結(jié)經(jīng)驗(yàn)教訓(xùn)并改進(jìn)研究方法。同時(shí)，教師還可以引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注數(shù)學(xué)建模領(lǐng)域的最新研究成果和發(fā)展趨勢，拓寬他們的知識視野。

通過引入研究性學(xué)習(xí)方法，學(xué)生會更加主動地參與數(shù)學(xué)建模的學(xué)習(xí)，提高學(xué)習(xí)興趣和動力。同時(shí)，這種方法也有助于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維和解決問題的能力，為他們未來的學(xué)術(shù)研究和職業(yè)發(fā)展奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

1.3 實(shí)施“數(shù)學(xué)建模+”拓展計(jì)劃

“數(shù)學(xué)建模+”拓展計(jì)劃作為一種創(chuàng)新的教育理念，其核心在于跨學(xué)科的整合與應(yīng)用。該計(jì)劃鼓勵將數(shù)學(xué)建模與計(jì)算機(jī)科學(xué)、數(shù)據(jù)分析、物理學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)等多個(gè)領(lǐng)域相融合，構(gòu)建出具有實(shí)際應(yīng)用價(jià)值的綜合性項(xiàng)目[3]。

在實(shí)施過程中，首要任務(wù)是確立合作學(xué)科與項(xiàng)目主題。例如，通過與計(jì)算機(jī)科學(xué)結(jié)合，可以開發(fā)基于機(jī)器學(xué)習(xí)的數(shù)據(jù)預(yù)測模型；與經(jīng)濟(jì)學(xué)結(jié)合，可以構(gòu)建宏觀經(jīng)濟(jì)政策的模擬與分析模型。確定主題后，教師需細(xì)化項(xiàng)目目標(biāo)與實(shí)施方案，明確各階段的任務(wù)劃分和時(shí)間節(jié)點(diǎn)。項(xiàng)目實(shí)施階段是關(guān)鍵。學(xué)生應(yīng)在教師的指導(dǎo)下進(jìn)行跨學(xué)科知識的學(xué)習(xí)與整合，掌握相關(guān)軟件工具的使用方法，并實(shí)際動手構(gòu)建和優(yōu)化模型。此過程中，學(xué)生不僅要解決技術(shù)問題，還要學(xué)會如何在團(tuán)隊(duì)中開展有效溝通與合作。除了對模型的技術(shù)性能進(jìn)行評價(jià)外，教師還應(yīng)關(guān)注學(xué)生在項(xiàng)目實(shí)施過程中的能力提升和團(tuán)隊(duì)協(xié)作表現(xiàn)。評估結(jié)果應(yīng)作為后續(xù)教學(xué)計(jì)劃調(diào)整的重要依據(jù)。

“數(shù)學(xué)建模+”拓展計(jì)劃不僅拓寬了學(xué)生的知識視野，也提高了他們解決實(shí)際問題的能力，為其應(yīng)對未來職業(yè)生涯中面臨的多元挑戰(zhàn)做好了準(zhǔn)備。

1.4 建立數(shù)學(xué)建模思維訓(xùn)練體系

在思維訓(xùn)練體系的構(gòu)建中，首先需明確數(shù)學(xué)建模的核心思維步驟：問題分析、模型構(gòu)建、求解驗(yàn)證及結(jié)果解釋。每一步驟都需要學(xué)生具備相應(yīng)的思維能力和方法。

問題分析階段，學(xué)生應(yīng)學(xué)9JTq7CYyCvzNIMa0Az1tZg==會如何從復(fù)雜的實(shí)際問題中抽象出關(guān)鍵信息，確定建模的目標(biāo)和約束條件。這需要培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維和批判性思維能力。

模型構(gòu)建階段，要求學(xué)生能夠創(chuàng)造性地運(yùn)用數(shù)學(xué)知識，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型。這里強(qiáng)調(diào)的是學(xué)生的創(chuàng)新思維和對數(shù)學(xué)建模知識的掌握。

求解驗(yàn)證階段，學(xué)生需掌握合適的數(shù)學(xué)工具和計(jì)算方法對模型進(jìn)行求解，并對結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)證。此階段培養(yǎng)學(xué)生的計(jì)算思維和實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)能力。

結(jié)果解釋階段，學(xué)生應(yīng)能夠?qū)⒛Ｐ偷那蠼饨Y(jié)果與實(shí)際問題相聯(lián)系，進(jìn)行合理的解釋和討論。這要求學(xué)生具備良好的溝通能力和批判性思維。

為了有效實(shí)施這一思維訓(xùn)練體系，教師需要設(shè)計(jì)針對性的教學(xué)活動和案例，引導(dǎo)學(xué)生在實(shí)踐中不斷鍛煉和提高自己的數(shù)學(xué)建模思維能力。同時(shí)，定期的評估和反饋機(jī)制也是確保訓(xùn)練效果的關(guān)鍵。

2 數(shù)學(xué)建模的實(shí)踐路徑

2.1 案例研究法：從經(jīng)典到創(chuàng)新的探索

在數(shù)學(xué)建模的教學(xué)中，案例研究法被證明是一種極為有效的教學(xué)方法。通過選取經(jīng)典數(shù)學(xué)建模案例，如傳染病模型SIR（易感者―感染者―康復(fù)者）模型、Logistic人口增長模型等，教師可以幫助學(xué)生深入理解數(shù)學(xué)建模的基本原理和方法。這些經(jīng)典案例不僅具有代表性，而且蘊(yùn)含了豐富的數(shù)學(xué)建模思想[4]。

首先，通過對經(jīng)典案例的深入剖析，學(xué)生可以了解到數(shù)學(xué)建模的全過程，包括問題的識別、模型的建立、求解方法的選擇，以及結(jié)果的驗(yàn)證。這將為學(xué)生打下堅(jiān)實(shí)的建模基礎(chǔ)，并使他們熟悉數(shù)學(xué)建模的規(guī)范流程。其次，經(jīng)典案例的學(xué)習(xí)不應(yīng)止步于理解和模仿。教師應(yīng)鼓勵學(xué)生在此基礎(chǔ)上進(jìn)行創(chuàng)新嘗試。例如，在傳染病模型中，學(xué)生可以嘗試引入新的影響因素，如社交距離措施、疫苗接種率等來豐富和完善模型。在人口增長模型中，學(xué)生可以探索不同的增長模式，或者考慮資源限制、遷移率等因素對模型的影響。最后，在嘗試創(chuàng)新的過程中，學(xué)生需要學(xué)會如何調(diào)整模型參數(shù)，以及如何運(yùn)用不同的求解方法來驗(yàn)證模型的準(zhǔn)確性和可靠性。這一過程將極大地鍛煉學(xué)生的創(chuàng)新思維和實(shí)踐能力，使他們在面對實(shí)際問題時(shí)能夠靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)建模知識。

2.2 逆向工程思維：從結(jié)果反推模型

逆向工程思維，即從已知的結(jié)果或解決方案出發(fā)，逆向推導(dǎo)出可能的數(shù)學(xué)模型，這是一種在數(shù)學(xué)建模教學(xué)中極具挑戰(zhàn)性的訓(xùn)練方法。它要求學(xué)生不僅要有扎實(shí)的數(shù)學(xué)建?；A(chǔ)，還要具備出色的邏輯思維和問題分析能力。

首先，教師可以給定一個(gè)實(shí)際問題的解決方案或結(jié)果，例如某個(gè)地區(qū)的疾病傳播趨勢圖或人口增長數(shù)據(jù)。然后，學(xué)生需要運(yùn)用自己的數(shù)學(xué)建模知識和經(jīng)驗(yàn)，嘗試構(gòu)建出能夠解釋這些數(shù)據(jù)或趨勢的數(shù)學(xué)模型。在這個(gè)過程中，學(xué)生需要仔細(xì)分析給定的數(shù)據(jù)或趨勢，識別出其中的關(guān)鍵特征和影響因素。然后，他們需要選擇合適的數(shù)學(xué)工具和方法來構(gòu)建模型，確保模型能夠準(zhǔn)確地反映實(shí)際問題的本質(zhì)[5]。

逆向工程思維的訓(xùn)練不僅能夠加深學(xué)生對數(shù)學(xué)建模的理解，還能夠培養(yǎng)他們的邏輯思維和問題分析能力。通過這種方式，學(xué)生可以學(xué)會如何從復(fù)雜的現(xiàn)象中抽象出本質(zhì)的數(shù)學(xué)關(guān)系，這對于他們未來解決實(shí)際問題和進(jìn)行科學(xué)研究具有重要意義。同時(shí)，這種思維方法也有助于學(xué)生形成獨(dú)立思考和解決問題的能力，提升他們的綜合素養(yǎng)。

2.3 交叉學(xué)科實(shí)踐：拓寬建模視野

交叉學(xué)科實(shí)踐在數(shù)學(xué)建模教學(xué)中占據(jù)重要地位，它鼓勵學(xué)生跨越傳統(tǒng)學(xué)科界限，參與生物信息學(xué)、金融數(shù)學(xué)等領(lǐng)域的數(shù)學(xué)建模項(xiàng)目。通過與生物學(xué)、金融學(xué)等不同學(xué)科專家的緊密合作，學(xué)生有機(jī)會接觸到更為廣泛和多元化的建模問題和數(shù)據(jù)資源。

在實(shí)施交叉學(xué)科實(shí)踐時(shí)，關(guān)鍵在于構(gòu)建一個(gè)多學(xué)科融合的環(huán)境。學(xué)生可以在這樣的環(huán)境中學(xué)習(xí)如何運(yùn)用數(shù)學(xué)建模技術(shù)去解決其他學(xué)科中的實(shí)際問題。例如，在生物信息學(xué)中，學(xué)生可以利用數(shù)學(xué)建模技術(shù)分析基因序列，預(yù)測蛋白質(zhì)結(jié)構(gòu)；在金融數(shù)學(xué)中，學(xué)生可以通過構(gòu)建風(fēng)險(xiǎn)評估模型來幫助投資者作出更明智的決策。交叉學(xué)科實(shí)踐不僅要求學(xué)生靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識，如統(tǒng)計(jì)學(xué)、概率論、優(yōu)化理論等，而且還培養(yǎng)了他們的跨學(xué)科合作能力和綜合解決問題的能力。學(xué)生需要學(xué)會如何與其他學(xué)科的專家進(jìn)行有效溝通，理解并轉(zhuǎn)化不同領(lǐng)域的問題和需求，最終構(gòu)建出符合實(shí)際情況的數(shù)學(xué)模型。

2.4 實(shí)時(shí)數(shù)據(jù)建模：應(yīng)對復(fù)雜現(xiàn)實(shí)問題的挑戰(zhàn)

實(shí)時(shí)數(shù)據(jù)建模是數(shù)學(xué)建模教學(xué)中的一種創(chuàng)新實(shí)踐路徑，它強(qiáng)調(diào)利用股市數(shù)據(jù)、氣候數(shù)據(jù)等實(shí)時(shí)信息來進(jìn)行數(shù)學(xué)建模。這種方法要求學(xué)生能夠快速捕捉和分析動態(tài)變化的數(shù)據(jù)，并據(jù)此靈活調(diào)整和優(yōu)化模型。

在實(shí)施實(shí)時(shí)數(shù)據(jù)建模時(shí)，教師需要引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注數(shù)據(jù)的實(shí)時(shí)性和動態(tài)性。學(xué)生應(yīng)學(xué)會如何快速處理和分析大量的實(shí)時(shí)數(shù)據(jù)，從中提取有用的信息，并根據(jù)數(shù)據(jù)的變化趨勢來調(diào)整模型的參數(shù)和結(jié)構(gòu)。例如，在股市數(shù)據(jù)分析中，學(xué)生可以根據(jù)股票價(jià)格、交易量等實(shí)時(shí)數(shù)據(jù)來構(gòu)建預(yù)測模型，以指導(dǎo)投資決策。實(shí)時(shí)數(shù)據(jù)建模的實(shí)踐路徑不僅提升了學(xué)生的數(shù)據(jù)處理和分析能力，還培養(yǎng)了他們在不確定性和動態(tài)性中作出決策的能力。學(xué)生需要學(xué)會如何在快速變化的環(huán)境中保持冷靜和理性，運(yùn)用數(shù)學(xué)建模技術(shù)來應(yīng)對復(fù)雜的現(xiàn)實(shí)問題。

3 結(jié)語

高職數(shù)學(xué)教學(xué)中的數(shù)學(xué)建模不僅是一項(xiàng)重要的技能培養(yǎng)，還是提升學(xué)生綜合素質(zhì)和適應(yīng)能力的關(guān)鍵。通過實(shí)施數(shù)學(xué)建模能力的培養(yǎng)策略和實(shí)踐路徑，學(xué)生能夠更加全面地理解數(shù)學(xué)知識，并將其應(yīng)用于實(shí)際問題的解決中，進(jìn)一步增強(qiáng)了學(xué)生的創(chuàng)新思維和團(tuán)隊(duì)協(xié)作能力。這些策略與路徑的有效實(shí)施，不僅為學(xué)生的學(xué)術(shù)研究和職業(yè)發(fā)展打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)，還培養(yǎng)了他們在快速變化的社會環(huán)境中解決問題的能力。因此，在高職數(shù)學(xué)教學(xué)中，必須高度重視并積極推進(jìn)數(shù)學(xué)建模能力的培養(yǎng)，以全面提升學(xué)生的綜合能力和未來的競爭力。

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