摘 要：本文以“函數(shù)y=Asin（ωx＋φ）”的教學為例，融合真實情境進行數(shù)學教學.通過自制彈簧振子模型創(chuàng)設真實情境，并結合沙漏輔助實驗，引領學生經(jīng)歷提取信息、形成數(shù)學問題、理解參數(shù)作用、構建函數(shù)模型的過程，促進學生數(shù)學學科核心素養(yǎng)的發(fā)展.

關鍵詞：數(shù)學實驗；可視化；真實情境；教學設計

《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版2020年修訂）》重視真實情境教學.［1］近年來情境化試題的比重逐漸增大，要求學生在真實情境中主動思考并解決實際問題.［2］因此，教師要在課堂中加強真實情境的創(chuàng)設和運用.何為真實情境？如何創(chuàng)設出真實情境？筆者以“函數(shù)y=Asin（ωx＋φ）”的教學為例，與大家交流.

1 基本情況

1.1 授課對象

授課對象來自四星級高中重點班的學生，其思維活躍，課堂發(fā)言積極.

1.2 教材分析

“函數(shù)y=Asin（ωx＋φ）”是蘇教版《普通高中教科書數(shù)學必修第一冊》第7章第3節(jié)的內容，是三角函數(shù)基本知識綜合應用的一個重要函數(shù)模型，也是連接理論知識和實際問題的橋梁，且在物理和工程技術中有著廣泛的應用，在高中數(shù)學學習中有著不可或缺的作用.

1.3 學情分析

學生已經(jīng)掌握了正弦函數(shù)的圖象和性質.本節(jié)課旨在從正弦函數(shù)過渡到更為一般化的三角函數(shù)模型y=Asin（ωx＋φ）.面對新的函數(shù)模型，學生理解難度較大，教師應借助實例幫助學生理解新知，認識數(shù)學本質.

1.4 教學目標

（1）借助實例，初步感受函數(shù)y=Asin（ωx＋φ）的實際應用價值，體會學習本節(jié)內容的必要性.

（2）通過實驗操作，經(jīng)歷函數(shù)y=Asin（ωx＋φ）圖象的動態(tài)生成過程，培養(yǎng)學生的觀察探索能力.

（3）基于真實情境，了解A、ω、φ的實際意義及其對函數(shù)圖象的影響，感受數(shù)學源于生活，應用于生活，從而增強學習數(shù)學的興趣.

2 設計說明

2.1 教學設計理念

真實情境是指蘊含著大量信息且未數(shù)學化的問題情境.首先，所選用的情境素材本身必須是真實的，符合學生的認知水平.其次，基于真實的情境素材能提出源于現(xiàn)實需求的真實問題.最后，讓學生親自動手解決問題，真正體會到所學新知與實際生活密切相關.

2.2 彈簧振子模型

基于物理實驗的情境本身是真實的，考慮到學生的知識儲備和現(xiàn)有理解水平，選取彈簧振子作為新知教學的情境素材，借助操作性實驗，讓學生參與實際教學過程，感受數(shù)學知識的實際應用價值.同時，為在教學中達到對真實情境的深度運用，本文將概念引入與圖象性質進行融合，從借助自制彈簧振子模型研究其運動軌跡，到基于軌跡不同探索參數(shù)對圖象的影響，最終賦予參數(shù)實際意義、達成概念引入和圖象性質的融合教學.

實驗器材：彈簧、橡皮筋、卷筒、掛鉤、直尺、一部內置phyphox軟件的智能手機.

實驗說明： 制作彈簧振子運動模型所需要的器材簡單、成本低，易在課堂實現(xiàn)，但常用的獲取實驗數(shù)據(jù)的方法（頻閃拍照等）較為復雜，且不能直觀地向學生展示簡諧運動的動態(tài)變化過程圖象.［3］本設計采用了一款手機傳感器軟件phyphox.在自制的彈簧振子模型中，將手機作為彈簧振子，作簡諧運動過程中可多設備同步顯示運動圖象，運動結束后軟件可導出運動數(shù)據(jù).這種利用手機進行彈簧振子簡諧運動的實驗高效、準確、直觀且成本低廉，具有實際應用和推廣的可行性，適合學生課外的自主探究，有助于學生探究興趣和能力的培養(yǎng).

3 教學過程

3.1 創(chuàng)設情境，引入新知

問題1 我們生活在運動的世界里，機械運動是最常見的運動.在機械運動中，振動很常見，請舉出身邊振動的例子.

生1：彈簧振動.

生2：把鋼尺放在桌邊，露出一部分，用手撥，鋼尺振動.

生3：醫(yī)生手術時，超聲刀的振動.

生4：說話時，聲帶在振動.

生5：還有手機來電時會振動.

師：振動現(xiàn)象比比皆是，與生活密切相關.請大家觀看海洋浮標運動的視頻（如圖1），并思考浮標在做何運動？

生：（齊答）海洋浮標在做上下運動.

問題2 若將手機固定在自制的彈簧振子模型上，隨后將手機從平衡位置拉開一段距離后釋放，請大家思考手機在做何運動？

生：（齊答）與海洋浮標一樣做上下運動.

【設計意圖】利用學生身邊的真實素材創(chuàng)設真實情境，從中抽象出物理模型，基于物理實驗整合多學科知識，推動學生對新知的學習，激發(fā)學習興趣的同時培養(yǎng)學生的數(shù)學建模能力.

問題3 嘗試猜測手機的運動軌跡，并繪制出手機的振動圖象.

生6：上下往復，最后趨于靜止，所以圖象應該只有一段.

生7：可以做實驗.

師：下面研究手機的運動軌跡.

方式一：直接播放視頻（如圖2）.

方式二：借助手機軟件呈現(xiàn)振動圖象（如圖3）.

方式三：類比沙漏實驗（如圖4），動手操作繪制出彈簧振子的振動圖象（如圖5）.

操作步驟：兩人合作，先在白紙中央畫一條直線OO1，使它平行于紙的長邊，一個人用手使鉛筆尖在白紙上沿垂直于OO1的方向振動（模擬振子運動），另一個人沿OO1的方向勻速拖動白紙，紙上就畫出了一條描述筆尖振動情況的圖象.

【設計意圖】先以視頻形式呈現(xiàn)振動軌跡，讓學生初步感受，再借助實驗裝置及手機軟件，得到運動軌跡，最后讓學生動手操作體驗，加深對知識的理解.

問題4 若將彈簧振子（手機）的振動圖象放在坐標系中，它與已學的哪種函數(shù)圖象類似？

生：（齊答）正弦函數(shù).

師：在物理學中，若質點的振動圖象是一條正弦曲線，我們將這種運動叫做簡諧運動，它在實際生活中應用廣泛，高二物理將進一步學習.請問該振動圖象的橫、縱坐標分別代表什么？

生8：橫坐標代表時間，縱坐標代表振子偏離平衡位置的距離.

師：前后對比，思考繪制的圖象是否相同？

生：（齊答）不相同.

師：若圖象不同，則圖象對應的表達式是什么？

生：函數(shù)y=Asin（ωx＋φ）.

【設計意圖】通過實驗引導學生發(fā)現(xiàn)新知與舊知存在差別，自然過渡到新模型的學習.

3.2 啟發(fā)探索，構建新知

問題5 與正弦函數(shù)相比，函數(shù)y=Asin（ωx＋φ）新增三個參數(shù)，對于多參數(shù)問題我們如何研究？

生9：可以類比一次函數(shù)y=kx+b，研究k時固定b不變，研究b時固定k不變.

師：請結合繪制圖象的探索過程思考參數(shù)對函數(shù)圖象有何影響？

生10：每個人控制鉛筆尖上下的幅度不一樣，函數(shù)圖象有高有低.

生11：每個人繪制圖象的速度也不一樣，圖象有寬有窄.

師：請思考彈簧振子的振動圖象是否相同？

學生活動：動手實驗操作彈簧振子模型，現(xiàn)場生成振動圖象.

生12：圖象有所不同，手機上下振動的最大幅度是可以人為控制的，拉開距離初始位置越遠，松手后振動的幅度越大.

實驗結束后，學生所作圖象如圖6、圖7所示.

師：請問影響振動的是否還有其他因素？

生13：物體的重量.

生14：拉力的大小.

生15：彈簧的性能.

學生活動：驗證自己的猜想是否正確.

教師活動：借助已有器材帶領大家一同探索生13所說的猜想.

將不同質量的礦泉水瓶依次掛在相同的彈簧下端，在手機拉開至平衡位置的距離不變的情況下，讓學生觀察手機軟件呈現(xiàn)出的振動圖象（如圖8、圖9）.

師：觀察圖象，你能發(fā)現(xiàn)什么？

生13：所掛礦泉水瓶質量越大，運動越慢，圖象越稀疏.

說明：此處教師加以引導，思考數(shù)學本質——質量越大，上下振動回到初始位置，即完成一次全振動所需時間越長，借助圖象解釋周期T與角速度ω之間的關系.

【設計意圖】借助實驗器材促進學生對函數(shù)模型中參數(shù)實際意義的理解，培養(yǎng)學生的數(shù)據(jù)分析能力.

學生活動：獨立完成表1.

【設計意圖】鞏固參數(shù)的實際意義.對于φ的理解可加以說明，引導學生結合圖象思考初始狀態(tài)的不同.同時滲透物理實驗需控制變量的思想以此類比研究函數(shù)問題，這對學生后期的數(shù)學學習也有幫助.至于相關的物理常識可課后查閱資料以實現(xiàn)跨學科學習.

3.3 數(shù)學應用，鞏固新知

教師活動：借助幾何畫板繪制函數(shù)y=A·sin（ωx＋φ）的圖象（如圖10），帶領學生從數(shù)學的角度具體觀察三個參數(shù)對函數(shù)圖象的影響.

參數(shù)變化對正弦型函數(shù)y=Asin（ωx＋φ）

圖象的影響

A=2.00 A f（x）=Asinx

ω=2.00ωg（x）=Asin（ωx）

φ=3.00φh（x）=Asin（ωx+φ）

【設計意圖】從具體到抽象，帶領學生從數(shù)學角度理解三個參數(shù)對函數(shù)圖象的影響，培養(yǎng)學生的數(shù)學抽象能力.

練習 分別找到函數(shù)解析式所對應的振動圖象（如圖11、圖12、圖13、圖14）.

（1）y=5sin2πt-π2.

（2）y=32sin3πt-π2.

（3）y=3sin3πt-π2.

（4）y=5sin3πt＋π2.

【設計意圖】回歸真實情境，鞏固所學新知，促進學生對不同參數(shù)各自功能的理解.

3.4 總結升華，暢所欲言

師：本節(jié)課我們認識了函數(shù)y=Asin（ωx＋φ），了解參數(shù)A、ω、φ的實際意義及其對函數(shù)圖象的影響.請大家談一談，經(jīng)過本節(jié)課的學習，你有何收獲？

生16：函數(shù)y=Asin（ωx＋φ）是刻畫振動模型的有力工具.

生17：以后對多因素影響的問題探究時，要學會控制變量進行研究.

……

師：課后請思考函數(shù)y=Asin（ωx＋φ）是否有其他的應用價值，振動模型是否過于單一.

【設計意圖】幫助學生養(yǎng)成回顧新知的習慣，并激發(fā)學生對新知在其他領域的應用進行思考，為后續(xù)新知在實際生活中的應用做好鋪墊.

4 教學反思

4.1 真實情境容易讓學生入境

成功的教學所需要的不是強制，而是激發(fā)學習的興趣.真實的教學情境必須適合學生的年齡特點和認知規(guī)律，將知識融于學生喜聞樂見或易于理解的情境之中，以激起學生的探究欲望.教學實踐表明，聚焦學生實際生活的真實素材創(chuàng)設真實情境，基于“可視化”的數(shù)學實驗引領學生經(jīng)歷函數(shù)圖象的探究過程，通過直觀體驗、實驗操作等方式調動學生的多感官參與，不僅能充分激發(fā)學生的學習興趣，發(fā)揮學生的潛能，還能使之獲得真實的情感體驗，主動入境.同時，學生積極主動思考基于真實情境引發(fā)的問題，了解知識的實際應用背景，經(jīng)歷知識的再生成過程，能更深入地理解所學知識的實際價值，培養(yǎng)自主探究、主動建構數(shù)學知識的能力.因此，創(chuàng)設的情境越真實，越能激發(fā)學生的興趣去發(fā)現(xiàn)和探討問題.

4.2 教師要善于創(chuàng)設真實情境

新課改提倡高中數(shù)學應以發(fā)展學生數(shù)學學科核心素養(yǎng)為導向，創(chuàng)設合適的教學情境，啟發(fā)學生思考，引導學生把握數(shù)學內容的本質.盡管真實情境的創(chuàng)設很不容易，但是對教學卻非常有效.教師要善于創(chuàng)設真實的教學情境，關注學生的學習體驗和學習興趣，給學生提供一個“真實”且“共情”的課堂環(huán)境，讓學生感受數(shù)學的實際價值，培養(yǎng)學生應用所學知識解決實際問題的能力.具體來說，教師應認真研讀教材，借助網(wǎng)絡資源、相關視頻等，挖掘與數(shù)學相關的實際背景，實現(xiàn)所學內容與情境素材的深度融合，創(chuàng)設出真實的情境.同時，善于以多元化的問題鏈驅動學生思考，讓學生基于真實情境自主探索并加以解決，最終幫助學生進行學科知識的靈活遷移與運用，培養(yǎng)學生在真實情境中解決問題的能力，并認識到數(shù)學學習的意義.

參考文獻

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［3］李立民，張勇.用智能手機研究彈簧振子的橫向簡諧運動［J］.湖南中學物理，2020（7）：51-52＋23.