摘 要：現(xiàn)階段高中數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，建模教學(xué)開展效果并不明顯，應(yīng)試教育很難對學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力綜合考核，使得部分學(xué)校對數(shù)學(xué)建模教學(xué)的關(guān)注度偏低，教師關(guān)于此方面的教學(xué)經(jīng)驗較少.因此，為提高數(shù)學(xué)建模教學(xué)的有效性，讓學(xué)生形成良好的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)，教師應(yīng)該從多角度出發(fā)，主動轉(zhuǎn)變思想觀念，強(qiáng)化對數(shù)學(xué)建模教學(xué)的研究與分析.鑒于此，本文旨在解決高中數(shù)學(xué)建模教學(xué)中出現(xiàn)的各類問題，依據(jù)實際教學(xué)案例，從“半翻轉(zhuǎn)課堂”視角出發(fā)，探討數(shù)學(xué)建模教學(xué)的具體方法.

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)教學(xué)；數(shù)學(xué)建模；“半翻轉(zhuǎn)課堂”

本文以相關(guān)理論為基礎(chǔ)，基于“半翻轉(zhuǎn)課堂”視角，探究高中數(shù)學(xué)建模教學(xué)的應(yīng)用情況.通過對教學(xué)的原則、條件、操作程序等綜合分析，制定切實可行的教學(xué)對策，保證當(dāng)前數(shù)學(xué)建模教學(xué)理論豐富的同時，使數(shù)學(xué)教學(xué)工作也能深入開展.

1 教學(xué)設(shè)計引入情境：通過引入視頻的方式為學(xué)生創(chuàng)設(shè)情境，吸引學(xué)生注意力.在視頻中展示一個修鐵路的動畫，如圖1所示，在鐵路修建過程中，需要在山上開挖一條隧道，隧道的長度與很多因素有關(guān)，如工程項目在建設(shè)過程中所需要的費用、花費的時間等，因此在修建隧道前，相關(guān)人員需要合理設(shè)計隧道的長度，以保證項目能花費最少的工期和成本.

【設(shè)計意圖】利用視頻的形式為學(xué)生創(chuàng)設(shè)情境，選擇現(xiàn)實生活中比較常見的問題將知識點導(dǎo)出，可以讓學(xué)生在課堂上集中注意力，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)欲望的同時，也能讓學(xué)生理解數(shù)學(xué)知識與現(xiàn)實生活之間的關(guān)聯(lián)，培養(yǎng)學(xué)生通過數(shù)學(xué)對現(xiàn)實生活中的問題進(jìn)行解答的能力，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)分析能力的提高.

2 教學(xué)目標(biāo)確定問題 根據(jù)創(chuàng)設(shè)的情境，同學(xué)們想一想，如果現(xiàn)在有標(biāo)尺、量角器等測量工具，那么在修隧道前，應(yīng)該采用什么方式對隧道的長度準(zhǔn)確測量？

師生活動：學(xué)生在分析問題過程中，因為只學(xué)過直角三角形中求邊長的知識，因此可能會出現(xiàn)從構(gòu)造直角三角形的角度思考，此時教師要從學(xué)生的角度出發(fā)，對學(xué)生提出的不同種方案認(rèn)真研究.例如，過點A做AB的垂線，借助無人機(jī)，讓其停留在垂線上某位置，無人機(jī)所在的點用C表示，其作為山上的一點，與B連接構(gòu)造出Rt△ABC，測量AC，BC的長度，通過勾股定理將AB的長度計算出來.

分析評價：在測量過程中，應(yīng)該采取何種方式讓∠A始終為直角.雖然這種方式比較簡單，但是山上的地形條件與平原不同，具有較強(qiáng)的復(fù)雜性，如果在點C的位置無法觀測到點B，那么BC的長度將無法測量，在此種情況下，又需要采取何種辦法解決？

追問：根據(jù)上述問題，繼續(xù)讓學(xué)生思考，如果沒有特殊情況，在測量三角形過程中，同學(xué)們有沒有其他更好的辦法？

師生活動：引導(dǎo)學(xué)生嘗試從一般三角形的層面考量，在點A，B連線以外的位置取一個點，用C表示，并且從點C的位置能夠?qū)，B兩點直接觀測，借助量角器對∠C進(jìn)行測量，用標(biāo)尺對AC，BC長度進(jìn)行測量，根據(jù)三角形全等判定方法SAS可知，△ABC是確定的，此時只需要將AB長度計算出來即可，并且AB的長度與AC，BC和∠C大小有密切聯(lián)系.

確定目標(biāo)問題：在保證△ABC邊角關(guān)系明確的情況下，邊AB也能隨之計算出來，因此可以將其轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題，在△ABC中，如果AC，BC和∠C已知，AB應(yīng)該如何計算？

子任務(wù)1：嘗試說明AB和AC，BC之間的數(shù)量關(guān)系是什么？

子任務(wù)2：分析∠C的大小會對AB的長度產(chǎn)生影響嗎？

【設(shè)計意圖】在此環(huán)節(jié)教學(xué)過程中，教師需要為學(xué)生提供適當(dāng)?shù)闹笇?dǎo)，讓學(xué)生到達(dá)更高的層次.在實0a9df1ef4fdfa469c829a9328eb848d1際解題過程中，需要從隧道問題的測量逐步抽象到平面幾何問題，讓學(xué)生通過自主思考、探究，合理制定解決方案，增強(qiáng)學(xué)生的課堂參與度，活躍課堂氣氛，也使學(xué)生能有更多的時間探索和思考，增強(qiáng)學(xué)生的學(xué)習(xí)意識.通過讓學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)建模形成良好的思維能力，能在實踐中借助三角形相關(guān)知識解決問題.但在實際探究期間，出于對實際現(xiàn)狀的考量，學(xué)生在解題過程中可能會遇到一些困難.

3 參與式學(xué)習(xí)問題1 在△ABC 中，設(shè)AB=c，BC=a，AC=b.若a，b，∠C已知，如何根據(jù)已知條件計算出夾角對應(yīng)的邊長？根據(jù)之前分好的小組，同學(xué)們利用10分鐘左右的時間進(jìn)行討論.

師生活動：引導(dǎo)學(xué)生在課堂上分析和探究，為學(xué)生預(yù)留時間思考，在此過程中，教師可以觀察了解各個小組的討論情況，適時為學(xué)生提供幫助.同時，教師應(yīng)了解各小組在討論過程中是否有意見不統(tǒng)一的情況，小組成員之間各項任務(wù)的分配是否合理，小組成員的討論積極性是否能被充分調(diào)動.此外，針對小組討論過程中出現(xiàn)的問題，教師可以適當(dāng)提供啟發(fā)和引導(dǎo)，讓學(xué)生能夠根據(jù)教師的提示，找出問題的解決辦法.

教師啟發(fā)學(xué)生畫出頂角為直角時的草圖如圖2所示，在∠C為90°的情況下，由勾股定理可知AB2=AC2＋BC2.

追問：在對點C位置選擇過程中，要對A，B這兩點所在位置重點考慮.那么若∠C不是直角，應(yīng)該怎樣測量？

師生活動：根據(jù)探討畫出草圖，當(dāng)∠C分別為鈍角和銳角時，如圖3所示，畫出AB的長度變化.

追問：這種變化可以用數(shù)學(xué)語言表示出來嗎？

（1）當(dāng)∠C 為鈍角時，c2=a2＋b2＋m（m＞0）；當(dāng)∠C為銳角時，c2=a2＋b2-n（n＞0）.

（2）c2=a2＋b2＋d（當(dāng)0＜∠C＜90°，d＜0；當(dāng)90°＜∠C＜180°，d＞0）.

學(xué)生在計算期間，大部分會用（1）表示，此時要繼續(xù)對學(xué)生進(jìn)行引導(dǎo)，讓其逐步延伸到（2），建立求第三邊的數(shù)學(xué)模型c2=a2＋b2＋d （d∈R ）.

【設(shè)計意圖】在此階段，教師通過鼓勵學(xué)生進(jìn)行小組合作探究，在課堂變得輕松的同時，讓學(xué)生有時間思考，并在組員的幫助下，實現(xiàn)思維的良好發(fā)展.同時，在小組探討環(huán)節(jié)，教師要預(yù)留時間讓學(xué)生思考“如果別的角是直角，此定理還能用嗎？”借助問題，引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)語言表示c隨∠C的變化情況，并學(xué)會用符號代替語言文字，讓學(xué)生初步認(rèn)識第三邊的數(shù)學(xué)模型.

問題2 c2為a2與b2的和加上或減去一個正實數(shù)，與這個數(shù)相關(guān)的幾何元素有哪些？當(dāng)∠C 分別為30°、45°、120°及135°時，可以計算出這個數(shù)嗎？

師生活動：借助示范的方式對學(xué)生進(jìn)行引導(dǎo)，如果∠C為30°，c2應(yīng)該怎么計算？各小組可以分配任務(wù)，每個小組計算一個，最后匯總，以節(jié)約時間.匯總后得知d與ab有關(guān)，且ab的系數(shù)與∠C的大小有關(guān).最后猜想d=2abcosC，優(yōu)化模型之后計算出c2=a2＋b2-2abcosC.

【設(shè)計意圖】在求第三邊模型初步構(gòu)建完畢的情況下，從特殊條件出發(fā)，讓學(xué)生嘗試優(yōu)化模型.因為特殊情況下的c2需要進(jìn)行繁瑣的計算，為保證課堂時間得到有效利用，教師可以先演示，之后讓各小組分工計算，最后在小組協(xié)作下得到∠C的度數(shù)在不同情況下的d的值，具體度數(shù)為30°、45°、120°及135°.從特殊角度著手，注重對學(xué)生的啟發(fā)，學(xué)生可以對d的結(jié)果展開大膽猜測，并對隧道長度的計算模型進(jìn)行優(yōu)化.

問題3 數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)要做到嚴(yán)謹(jǐn)、科學(xué)，結(jié)合上述的計算公式，通過利用特殊角計算出c2，在仔細(xì)的觀察下，嘗試將三角形第三邊的模型求出來.在此過程中，同學(xué)們想一想你的這種猜測是否正確？如果正確，那么利用何種方式驗證你的猜想？之前我們一起計算的特殊角度，是否也可以在一般情況下使用？通過小組討論的形式，同學(xué)們利用5分鐘左右的時間想一想應(yīng)該怎樣做，最后派小組代表分享小組的統(tǒng)一想法與思路.

師生活動：在不斷探討與溝通中，每個小組可以派一名代表簡單說明思路.結(jié)合之前計算d的過程，將應(yīng)用的方法一般化便可以證明猜想.如圖4所示，如果∠C的角度是銳角，過點A作BC 邊的高，交BC邊于點 D，之后通過已知量對AD，BD進(jìn)行表示，由勾股定理計算AB2，最后開根號.如果∠C的角度是鈍角，過點A作邊BC的高，延長BC并交于D，同樣能將AD，BD表示出來，最后對AB2進(jìn)行計算.

在∠C是銳角的情況下，AD=bsinC，CD=bcosC，BD=a-bcosC，根據(jù)勾股定理，可得c2=AB2=AD2＋BD2=b2 sin2 C＋（a-bcosC）2=a2＋b2-2abcosC.

如圖5所示，如果∠C是鈍角，AD=bsinC，CD=-bcosC，BD=a-bcosC，根據(jù)勾股定理，可得c2=AB2=AD2＋BD2=b2sin2 C＋（a-bcosC）2=a2＋b2-2abcosC.

學(xué)生在計算過程中，如果出現(xiàn)對∠C為直角這一情況考慮不到位的問題，教師應(yīng)該及時提示學(xué)生，讓學(xué)生知道∠C是直角，等式為勾股定理.

追問：同學(xué)們想一想是否還有其他的方式證明？在學(xué)習(xí)本章知識之后，已經(jīng)掌握了向量方面的知識點，那么此部分知識中有哪些涉及角的余弦方面的知識？AB作為三角形的邊，還能用其他的方式表示嗎？

師生活動：向量的數(shù)量積涉及角的余弦值，那么可以把 AB用大小已知的AC，CB表示，即AB=AC＋CB，由于題干中已經(jīng)給出夾角，因此通過等式兩邊平方亦可證明得出結(jié)論.

整個計算過程如下所示.

AB2=AC＋CB2=AC2＋CB2＋2·AC ·CB ·cos（π-C） =a2＋b2-2abcosC.

師生活動： c2=a2＋b2-2abcosC在證明過程中，可以利用的方式較多，數(shù)學(xué)家把這個等式叫做余弦定理.

同理有a2=b2＋c2-2bccosA，b2=a2＋c2-2accosB.

所以測量山頂上的一個點到洞口兩個點的距離，同時測量出∠C的度數(shù)，最后使用余弦定理即可計算隧道長度.

【設(shè)計意圖】通過驗證猜想的辦法，學(xué)生可以在探究和驗證過程中形成良好的邏輯推理思維，也能在學(xué)習(xí)過程中始終保持嚴(yán)謹(jǐn)求實的精神，能夠腳踏實地地完成每一項任務(wù).同時，教師與學(xué)生積極溝通、互動和交流過程中，學(xué)生也能厘清解題的思路，此過程不需要讓學(xué)生動手操作，節(jié)約課堂教學(xué)時間的同時，學(xué)生也能有更多時間思考和分析.若學(xué)生在解題過程中沒有找到解題的思路，一時之間無法想到使用向量證明，此時教師可以啟發(fā)學(xué)生，讓學(xué)生將該問題與向量加減法和數(shù)量積聯(lián)系在一起，并與同伴合作共同解決問題.在解決問題期間，學(xué)生思維會朝著更高階層發(fā)展，可以對定理的本質(zhì)有更充分的認(rèn)識和理解，也可以對此定理進(jìn)行正確的證明.

4 結(jié)語本文通過對高中數(shù)學(xué)建模教學(xué)的分析與研究，探討“半翻轉(zhuǎn)課堂”在教學(xué)中的具體應(yīng)用.結(jié)果表明，此種方法的應(yīng)用，能夠獲得良好的教學(xué)成效，可以解決高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中存在的一些問題.同時，通過強(qiáng)化對學(xué)生的引導(dǎo)和啟發(fā)，能夠讓學(xué)生積極參與課堂教學(xué)，為學(xué)生適當(dāng)提供幫助，促進(jìn)學(xué)生綜合水平的提高.