摘 要：數(shù)學(xué)學(xué)科的強(qiáng)大功能應(yīng)得到重視，一方面，教師在教學(xué)中融入數(shù)學(xué)建模思想能夠提升教師專業(yè)教學(xué)能力；另一方面，學(xué)生在學(xué)習(xí)中培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模思想能夠幫助學(xué)生強(qiáng)化數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力.教師把“如何將數(shù)學(xué)建模思想融入高中數(shù)學(xué)教學(xué)中”作為重要研究課題，通過有效性教學(xué)思想的應(yīng)用，體現(xiàn)高中數(shù)學(xué)教學(xué)實效性，為學(xué)生發(fā)展核心素養(yǎng)助力.

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；建模思想；核心素養(yǎng)

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》明確指出，建模思想是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)重要組成內(nèi)容.［1］教師將“數(shù)學(xué)建模思想”融入高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，幫助學(xué)生了解數(shù)學(xué)學(xué)科的重要地位，啟發(fā)高中生的數(shù)學(xué)思想，為培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)提供重要依據(jù).本文針對數(shù)學(xué)建模思想融入高中數(shù)學(xué)教學(xué)，提出基本教學(xué)原則和方法，以“用樣本估計總體”為例進(jìn)行教學(xué)分析，將建模思想融入教學(xué)設(shè)計和教學(xué)案例中，致力于培養(yǎng)高中生的數(shù)學(xué)建模能力.

1 統(tǒng)計模型研究內(nèi)容

1.1 教材分析

“統(tǒng)計”是高中數(shù)學(xué)知識點的重要組成部分，統(tǒng)計能力是學(xué)生的數(shù)學(xué)基本能力.在統(tǒng)計教學(xué)中，教師應(yīng)結(jié)合高中數(shù)學(xué)知識點之間的關(guān)系，進(jìn)行多知識點并聯(lián)、串聯(lián)教學(xué)活動，突出“統(tǒng)計”教學(xué)的重要地位.統(tǒng)計學(xué)知識在高中數(shù)學(xué)教材中占有重要地位，結(jié)合義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)教材中介紹的“統(tǒng)計學(xué)”知識，高中“統(tǒng)計學(xué)”教學(xué)在此基礎(chǔ)上進(jìn)行深化和創(chuàng)新.數(shù)學(xué)教師主要指導(dǎo)學(xué)生自主收集相關(guān)數(shù)據(jù)，并且嘗試在數(shù)據(jù)分析、數(shù)據(jù)處理的過程中理解“統(tǒng)計”的含義，達(dá)到培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的目標(biāo).人教B版數(shù)學(xué)教材中，設(shè)計了“樣本估計總體”的教學(xué)內(nèi)容.教師為學(xué)生提供帶有明顯特征的數(shù)字樣本，要求學(xué)生借助樣本來猜測“數(shù)據(jù)總體”的特征.通過實施“用樣本估計總體”的數(shù)學(xué)教學(xué)，使學(xué)生掌握具體抽象方法和數(shù)字特征，強(qiáng)化對樣本數(shù)據(jù)的學(xué)習(xí)處理能力，為學(xué)生發(fā)展統(tǒng)計學(xué)思維，強(qiáng)化統(tǒng)計學(xué)能力提供重要依據(jù).

1.2 教學(xué)目標(biāo)

（1）傳授知識，培養(yǎng)技能.教師引導(dǎo)學(xué)生明確“統(tǒng)計”的概念，選取教材中的相關(guān)實例引入統(tǒng)計概念.結(jié)合生活實例，啟發(fā)學(xué)生嘗試運(yùn)用樣本來推測數(shù)據(jù)總體的特征，保證學(xué)生明確“集中趨勢參數(shù)”的含義與特征，培養(yǎng)學(xué)生結(jié)合數(shù)學(xué)例題來分析統(tǒng)計樣本的能力，并且結(jié)合方差等重要的數(shù)學(xué)概念，歸納“離散程度參數(shù)”在數(shù)學(xué)統(tǒng)計中的重要性.

（2）注重過程，探索方法.統(tǒng)計學(xué)的教學(xué)過程應(yīng)當(dāng)緊密結(jié)合生活實際，教師要注重學(xué)生的探索過程，而不是僅限于重視數(shù)學(xué)解題的正確率.［2］教師引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用“數(shù)學(xué)建模思維”來分析統(tǒng)計學(xué)的相關(guān)例題，培養(yǎng)學(xué)生良好的解題綜合能力.

（3）提升認(rèn)識，塑造觀念.本課程的教學(xué)目標(biāo)在于塑造學(xué)生的科學(xué)價值觀，指導(dǎo)學(xué)生養(yǎng)成善于統(tǒng)計的習(xí)慣.教師啟示學(xué)生運(yùn)用科學(xué)態(tài)度來分析相關(guān)的生活問題，引導(dǎo)學(xué)生嘗試運(yùn)用數(shù)學(xué)思維來建構(gòu)模型.教師在教學(xué)時應(yīng)注重學(xué)生的科學(xué)精神培養(yǎng)，引導(dǎo)學(xué)生在數(shù)學(xué)解題中做到嚴(yán)謹(jǐn)、耐心，培養(yǎng)學(xué)生的建模觀念、邏輯推理觀念.

1.3 教學(xué)重難點

本課程的教學(xué)重難點如下.

教學(xué)重點：隨機(jī)選取數(shù)學(xué)統(tǒng)計樣本，要求學(xué)生采取直觀觀察、數(shù)學(xué)建模等方法，大膽猜測總體數(shù)據(jù)的特征.

教學(xué)難點：要求學(xué)生掌握“分層抽樣”的含義及其實施方法，借助分層抽樣的做法來評估數(shù)據(jù)樣本的特點.

2 統(tǒng)計模型教學(xué)過程

2.1 情境教學(xué)，做出假設(shè)

問題情境：下面是我們班級與隔壁兩個班級的88名學(xué)生身高數(shù)據(jù)（單位：cm）.計算這組數(shù)據(jù)的總體平均數(shù)和總體方差，可以用哪些抽象方法.針對這一總體可以選擇哪種抽樣方法.此樣本的平均數(shù)和方差與總體的平均數(shù)和方差存在怎樣的關(guān)聯(lián)性.

161，168，166，168，152，152，164，170，167，166，153，165，168，167，163，157，160，159，153，169，173，170，162，157，152，180，178，158，162，164，172，165，155，163，178，159，168，161，168，165，158，166，174，175，165，160，161，177，163，170，155，156，161，169，167，151，156，158，165，179，161，176，162，168，153，169，155，165，163，166，172，160，173，164，172，164，171，149，158，155，169，150，173，170，162，165，165，155.

【設(shè)計意圖】這一教學(xué)活動從學(xué)生熟悉的“身高”知識點著手，引出本節(jié)課的知識點，能夠培養(yǎng)學(xué)生探究學(xué)習(xí)興趣.情境教學(xué)能夠引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)以往知識點，增強(qiáng)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力，強(qiáng)化學(xué)生問題解決能力.

2.2 自主探究

教師將4～6名學(xué)生分為一組，指導(dǎo)各組學(xué)生在總體樣本中，運(yùn)用隨機(jī)的方式來抽取數(shù)量為10的樣本.教師鼓勵學(xué)生運(yùn)用所學(xué)的統(tǒng)計學(xué)知識嘗試算出選取樣本的方差與平均數(shù).教師選取三個學(xué)習(xí)小組展示探究成果.

【設(shè)計意圖】教師利用小組合作學(xué)習(xí)，讓學(xué)生體會知識獲取過程，掌握學(xué)生實際學(xué)情.教師利用小組合作學(xué)習(xí)探究，增強(qiáng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)能力和合作探究能力，增強(qiáng)學(xué)生隨機(jī)抽樣操作規(guī)范性能力.

2.3 建立模型、分析模型

師：同學(xué)們在小組合作學(xué)習(xí)中，能夠規(guī)范抽樣步驟.下面我們研究、討論三個學(xué)習(xí)小組的數(shù)據(jù)和總體數(shù)據(jù)，請同學(xué)們描述自己的體會與收獲.

生1：經(jīng)過計算得到的樣本平均數(shù)、樣本方差，其結(jié)果不完全吻合數(shù)據(jù)總體的平均數(shù)、方差值.

生2：經(jīng)過計算得到的樣本方差、樣本平均數(shù)，非常近似數(shù)據(jù)總體的方差、平均數(shù).

師：大家都回答得很好.那么經(jīng)過探究計算，我們主要能夠得到如下結(jié)論.

（1）只要采用了合理、適當(dāng)?shù)姆椒▉沓槿颖?，就能夠保證數(shù)據(jù)總體的特征與樣本特征相吻合.

（2）利用樣本數(shù)字特征估計總體數(shù)據(jù)特征，能夠節(jié)約統(tǒng)計時間，提升統(tǒng)計速度.

（3）用樣本估計總體，存在誤差.設(shè)總體平均數(shù)記為μ，樣本平均數(shù)記為x ，m和x 大小存在μ>x ，μ=x ，μ<x三種可能性.

【設(shè)計意圖】在這一學(xué)習(xí)中能夠鍛煉學(xué)生觀察能力、配合能力，提高學(xué)生樣本數(shù)據(jù)與總體數(shù)據(jù)對比分析能力，由此培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模思想.

2.4 模型求解，檢驗?zāi)Ｐ?/p>

教師利用多媒體教學(xué)工具，對總體數(shù)據(jù)進(jìn)行隨機(jī)抽樣，通過數(shù)據(jù)驗證獲取數(shù)據(jù)的準(zhǔn)確性.教師利用計算機(jī)抽樣，啟發(fā)學(xué)生認(rèn)識到自動計算得到的樣本方差、樣本平均數(shù)非常近似真實的數(shù)值，二者之間通常存在極小的誤差.因此，在采取合理抽樣方法的基礎(chǔ)上，借助科學(xué)計算手段能夠分析得到正確的數(shù)據(jù)總體特征.

【設(shè)計意圖】利用模型求解，再驗證模型的過程是學(xué)生建模思想培養(yǎng)的重要過程.這一過程對發(fā)散學(xué)生數(shù)學(xué)邏輯思維具有促進(jìn)性作用，對提高學(xué)生數(shù)學(xué)問題解決能力具有現(xiàn)實意義.

2.5 應(yīng)用模型

2.5.1 創(chuàng)設(shè)情境，導(dǎo)入知識

問題情境：某學(xué)校高一教師需要統(tǒng)計學(xué)生的身高，教師現(xiàn)在隨機(jī)抽取了女生15名、男生20名作為統(tǒng)計樣本.在此基礎(chǔ)上，經(jīng)過計算得到男生平均身高為170cm，方差為16cm2；經(jīng)過計算得到女生平均身高為165cm，方差為25cm2.求“數(shù)據(jù)總體”的方差與平均數(shù).

2.5.2 學(xué)生討論，模型假設(shè)

生1：我們可以直接通過樣本的選取，計算“數(shù)據(jù)總體”的方差與平均數(shù)，因為樣本與總體之間幾乎不存在差異.

生2：這一做法缺乏有利依據(jù)，且所得數(shù)據(jù)不夠精準(zhǔn)，容易造成較大誤差.

生3：分別算出兩層樣本平均數(shù)和方差的算術(shù)平均數(shù)，以此為總體數(shù)據(jù)，即估計總體平均數(shù)為 170+1652=167.5 cm，估計總體方差為 16+252=20.5 cm2.

生4：這一方法不夠嚴(yán)謹(jǐn)，原因是難以體現(xiàn)出分層抽樣特點.

生5：將各層中數(shù)據(jù)組合為整體，重新計算.

【設(shè)計意圖】教師組織學(xué)生多角度討論分析，考慮多種計算能力并針對不同方案提出合理分析、討論具體結(jié)果.若學(xué)生遇到困難，教師給予指導(dǎo)，提高“教”與“學(xué)”的質(zhì)量和效率.

2.5.3 建立模型，拓展思維

假設(shè)通過分層抽樣的方法抽取了m名男生，n名女生，其中m 名男生的身高為x1，x2，…， xm ，平均數(shù)為x，方差為s2； n 名女生的身高為y1，y2，…， ym，平均數(shù)為y ，方差為t2.設(shè)樣本的平均數(shù)為a ，方差為b2.分析總體樣本數(shù)字特征與分層樣本數(shù)字特征有什么關(guān)系.

（1）平均數(shù).∵ x =x1+x2+…+xm m=1m mi=1xi，y =y1+y2+…+yn n=1n ni=1yi，

∴a =x1+x2+…+xm+y1+y2+…+yn m+n=mi=1xi+ni=1yim+n=mi=1xim+n+ni=1yim+n.

又∵x =1m mi=1xi ，

∴ mi=1xi =mx，同理可得，ni=1yi=ny.

∴a =mm+n+nm+n=m +nm+n.

（2）方差.由方差定義可知，s2=1mmi=1xi-2，t2=1n ni=1yi-2.

b2=1m+nmi=1（xi-a）2+ni=1yi-2=1m+n·mi=1xi-+-2+ni=1yi-y+y-2.

mi=1xi-+-2=mi=1xi-+-2 =mi=1xi-2 +mi=12xi-- +mi=1-2.

∵mi=1xi-2 =ms2，mi=12xi-- =2-·mi=1（xi-）=2-mi=1xi-mi=1 =2-（mx -mx ）=0，mi=1-2=m-2，

∴mi=1xi-2=mi=1xi-+-2=ms2+m-2.

同理可得，mi=1yi-2=ni=1yi-+-2=nt2+n-2.

則b2=1m+nmi=1xi-2+n i=1yi-2=1m+n［（ms2+nt2）+m-2+n-2］.

【設(shè)計意圖】學(xué)生在方差推理中能夠感受到這一知識點的“難度”.鑒于此，教師在講解過程中要及時與學(xué)生進(jìn)行溝通、獲取真實反饋，與學(xué)生在互動性學(xué)習(xí)中，加強(qiáng)對“方差推理”步驟、方法、技巧的分享，使學(xué)生提高對方差推理知識難點的解讀能力，提高學(xué)生數(shù)學(xué)解題能力.

2.5.4 模型求解，拓展認(rèn)知

由已知條件，m=20，n=15，=170，=165，s2=16，t2=25，代入得，=167.86，b2=26.49.

最后得到，樣本的平均數(shù)為167.86，樣本方差為26.49.

【設(shè)計意圖】教師利用模型求解過程，幫助學(xué)生夯實數(shù)學(xué)知識點，提高數(shù)學(xué)模型思想建構(gòu)質(zhì)量，增強(qiáng)學(xué)生綜合學(xué)習(xí)能力.

2.5.5 模型檢驗，夯實基礎(chǔ)

在模型檢驗中，為了起到夯實學(xué)生平均數(shù)與方差基礎(chǔ)知識的作用，教師給出上述20名男生和15名女生身高具體數(shù)據(jù).

【設(shè)計意圖】要求學(xué)生掌握“數(shù)學(xué)模型檢驗”的基本操作步驟，嘗試通過選取樣本來猜測總體的某些特點.培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模思維，結(jié)合“分層抽樣”的教學(xué)形式予以實現(xiàn).教師鼓勵學(xué)生運(yùn)用整體分析的思維來判斷各數(shù)據(jù)樣本的特征，進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生猜測樣本數(shù)據(jù)與總體數(shù)據(jù)的關(guān)聯(lián)性.學(xué)生通過分析、推理、討論，最終得出具體結(jié)論.

3 總結(jié)與反思 教師在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中融入“數(shù)學(xué)建模思想”，有利于培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維意識，強(qiáng)化學(xué)生數(shù)學(xué)綜合能力，促進(jìn)學(xué)生實現(xiàn)全面發(fā)展目標(biāo).高中數(shù)學(xué)知識具有抽象性、復(fù)雜性等特征，通過培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模思想，能夠提升學(xué)生對知識點的解讀能力，增強(qiáng)學(xué)生數(shù)學(xué)綜合學(xué)習(xí)技能.鑒于此，高中數(shù)學(xué)教學(xué)中融入數(shù)學(xué)建模思想十分必要，師生要重視建模思想的融入，以此為依據(jù)強(qiáng)化數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力，致力于培養(yǎng)良好的學(xué)科核心素養(yǎng).

參考文獻(xiàn)

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［2］范志曄.核心素養(yǎng)下高中數(shù)學(xué)的深度學(xué)習(xí)研究［J］.數(shù)理化解題研究，2024（12）：24-26.