摘 要：圓錐曲線中的定點(diǎn)問(wèn)題可以有效地實(shí)現(xiàn)解析幾何問(wèn)題中“動(dòng)”與“靜”的和諧統(tǒng)一，實(shí)現(xiàn)“幾何”與“代數(shù)”的深度融合，是高考數(shù)學(xué)中的常見(jiàn)題型之一.本文對(duì)圓錐曲線中的定點(diǎn)問(wèn)題及其基本解題方法進(jìn)行分析，并結(jié)合實(shí)例加以探討，總結(jié)歸納出相應(yīng)的結(jié)論，旨在能夠有效地指導(dǎo)數(shù)學(xué)教學(xué)與解題研究.

關(guān)鍵詞：圓錐曲線；定點(diǎn)；直接法；逆推法

在平面解析幾何中，有關(guān)直線或曲線（圓錐曲線等）的定點(diǎn)問(wèn)題及其綜合問(wèn)題是歷年高考數(shù)學(xué)試卷中的一個(gè)考查難點(diǎn)與命題熱點(diǎn)，倍受各方關(guān)注，一般為中偏高或高檔次的難度級(jí)別.它涉及的數(shù)學(xué)運(yùn)算比較多，而且邏輯推理過(guò)程比較繁雜，因此具有非常好的育人選拔性和高考區(qū)分度.特別是圓錐曲線背景下的直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題，借助直線上的點(diǎn)在圓錐曲線上的運(yùn)動(dòng)，即“動(dòng)態(tài)問(wèn)題”，結(jié)合題設(shè)背景下某相關(guān)條件的限制，即“靜態(tài)問(wèn)題”，形成“直線過(guò)定點(diǎn)”的完美統(tǒng)一與動(dòng)靜結(jié)合，構(gòu)造出“幾何”與“代數(shù)”之間的融合，綜合考查學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)與數(shù)學(xué)基本能力.

1 直接法探求定點(diǎn)問(wèn)題 直接法，即從正向角度出發(fā)，直接推理、計(jì)算，利用直接法解決定點(diǎn)問(wèn)題就是在計(jì)算過(guò)程中消去變量，得到定點(diǎn).

例題 （2023年山東省煙臺(tái)市煙臺(tái)第一中學(xué)高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）&&已知F1，F(xiàn)2分別是橢圓C：x2a2 +y2b2 =1（a>b>0）的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)A是橢圓C的右頂點(diǎn)，|AF2|=2-3，P是橢圓C上一點(diǎn)，M，N分別為線段PF1，PF2的中點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，四邊形OMPN的周長(zhǎng)為4.

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程.

（2）若不過(guò)頂點(diǎn)A的直線l與橢圓C交于D，E兩點(diǎn)，且AD·AE=0，判斷直線l是否過(guò)定點(diǎn)，若過(guò)定點(diǎn)，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)說(shuō)明理由.

分析：（1）根據(jù)題設(shè)條件，由三角形的中位線性質(zhì)，可得四邊形OMPN的周長(zhǎng)為2a，橢圓的右頂點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離為a-c，并結(jié)合關(guān)系式a2=b2+c2確定對(duì)應(yīng)的參數(shù)值，即可得橢圓方程；（2）分類討論直線l的斜率存在與斜率不存在兩種情況，根據(jù)不同情況設(shè)相應(yīng)的直線方程，再綜合題設(shè)條件加以分析，最終得以確定直線l過(guò)定點(diǎn).

kRP=18t+54t2+6t+18-3-2t2-12tt2+6t+18+2=-t212.

同理Q-2t2+12tt2-6t+18，-18t+54t2-6t+18，可得kRQ=-18t+54t2-6t+18-3-2t2+12tt2-6t+18+2=-t212.

kRP=kRQ，則有R，P，Q三點(diǎn)共線，即線段MN的中點(diǎn)為（0，3），是定點(diǎn).

解決問(wèn)題時(shí)，可先考慮運(yùn)動(dòng)圖形是否有對(duì)稱性及特殊或極端位置，如直線處于水平位置、豎直位置，即k=0或k不存在時(shí)，利用特殊思維方式來(lái)解決平面解析幾何中的定點(diǎn)問(wèn)題.有時(shí)也可借助逆向思維，通過(guò)定點(diǎn)直接切入，進(jìn)行邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算，進(jìn)而證明該點(diǎn)符合題意或證明該點(diǎn)與變量無(wú)關(guān).

此類圓錐曲線的綜合應(yīng)用問(wèn)題中的定點(diǎn)或相關(guān)應(yīng)用，往往是基于平面解析幾何中的一些“動(dòng)”態(tài)變化場(chǎng)景，以動(dòng)點(diǎn)或動(dòng)直線等方式來(lái)創(chuàng)設(shè)場(chǎng)景，進(jìn)而在“動(dòng)”態(tài)過(guò)程中探尋一個(gè)規(guī)律性的問(wèn)題，從中尋找“靜”態(tài)特征，從而達(dá)到知識(shí)交匯與思想融合的目標(biāo)，實(shí)現(xiàn)學(xué)生“四基”的考查與“四能”的提升.