摘 要：在基礎(chǔ)教育階段中，數(shù)學(xué)教學(xué)更多是對數(shù)學(xué)知識形成合理化的解釋，這在統(tǒng)計方法的教學(xué)中更為明顯.數(shù)學(xué)史和信息技術(shù)分別從統(tǒng)計方法的來源與用途兩個角度對統(tǒng)計方法進(jìn)行合理化解釋.本文以蘇教版《普通高中教科書數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊》中“變量的相關(guān)性”為例，借助數(shù)學(xué)史和信息技術(shù)對教學(xué)過程進(jìn)行重構(gòu)，使得學(xué)生在對比函數(shù)、回顧歷史、構(gòu)建指標(biāo)的過程中逐步理解相關(guān)性以及感受相關(guān)系數(shù)的合理性.

關(guān)鍵詞：統(tǒng)計方法；合理性；數(shù)學(xué)史；信息技術(shù)

與高等教育階段不同，基礎(chǔ)教育階段的數(shù)學(xué)教學(xué)更多是要為數(shù)學(xué)知識找到合理的解釋，也就是利用一些局部的證明或者直觀的感受來說明數(shù)學(xué)知識的合理性.對于統(tǒng)計部分的內(nèi)容來說，統(tǒng)計方法描述的對象是數(shù)據(jù)，并非直接指向現(xiàn)實世界，這就造成了學(xué)生在一定程度上難以獲得直觀的感受.由于學(xué)生前置知識的缺失，使得演繹證明難以符合實際教學(xué).即使能夠進(jìn)行演繹證明，教師選擇采用歸納的直觀方式呈現(xiàn)統(tǒng)計方法會更有利于學(xué)生接受統(tǒng)計知識.因此，教師需要思考通過何種教學(xué)方式來展現(xiàn)統(tǒng)計方法的合理性.

1 展現(xiàn)統(tǒng)計方法合理性的教學(xué)方式思考

1.1 借助數(shù)學(xué)史實展現(xiàn)統(tǒng)計方法來源的合理性

數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育（HPM）以歷史發(fā)生原理和再創(chuàng)造理論為基礎(chǔ)，強(qiáng)調(diào)學(xué)生在數(shù)學(xué)知識的認(rèn)知過程中遵循歷史過程，體會知識的創(chuàng)造過程，并在已有知識的基礎(chǔ)上融入自己對知識的理解，進(jìn)行再創(chuàng)造.融入數(shù)學(xué)史的教學(xué)需要教師追溯數(shù)學(xué)知識的源頭，并漸進(jìn)式地呈現(xiàn)數(shù)學(xué)歷史的發(fā)生過程，從而使得學(xué)生可以結(jié)合自己的學(xué)習(xí)情況，進(jìn)行數(shù)學(xué)化的分析與反思.

對統(tǒng)計方法來源的闡釋是統(tǒng)計教學(xué)中的重要一環(huán)，其本質(zhì)是對促使統(tǒng)計方法產(chǎn)生的根本問題進(jìn)行溯源.由此，教師可以幫助學(xué)生了解統(tǒng)計方法產(chǎn)生的緣由以及過程，明確統(tǒng)計方法建構(gòu)的目的，從而解決學(xué)生對于方法來源的疑問，加深學(xué)生對于統(tǒng)計方法的認(rèn)識.教師將數(shù)學(xué)史融入統(tǒng)計教學(xué)不僅能夠回溯統(tǒng)計方法誕生的源頭，還能發(fā)掘統(tǒng)計方法建構(gòu)的過程，從而站在統(tǒng)計方法構(gòu)建思路的視角，幫助學(xué)生漸進(jìn)式體驗統(tǒng)計方法產(chǎn)生的過程，深刻感受統(tǒng)計方法來源的合理性.

1.2 借助信息技術(shù)展現(xiàn)統(tǒng)計方法用途的合理性

隨著信息技術(shù)的發(fā)展，其對數(shù)學(xué)教學(xué)的影響越來越大.《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》在“教學(xué)建議”中就明確指出：“教師應(yīng)注重信息技術(shù)與數(shù)學(xué)課程的深度融合，實現(xiàn)傳統(tǒng)教學(xué)手段難以達(dá)到的效果.”［1］教師通過對信息技術(shù)的合理使用，可以設(shè)計出生動的數(shù)學(xué)教學(xué)活動，呈現(xiàn)新型的數(shù)學(xué)教學(xué)方式方法，為學(xué)生提供豐富數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)資源.

信息技術(shù)和統(tǒng)計教學(xué)之間有著密不可分的聯(lián)系.在統(tǒng)計中不僅有大量的數(shù)據(jù)需要用到信息技術(shù)工具進(jìn)行分析，信息技術(shù)也能夠用于驗證統(tǒng)計方法用途的合理性.通常情況下對于方法合理性的驗證往往依賴行動試驗和思維試驗兩種方式，即在具體的行動或者思維過程中驗證方法用途的合理性.信息技術(shù)的使用在一定程度上可以代替行動試驗，其通過大量計算以及圖象繪制的方式呈現(xiàn)統(tǒng)計結(jié)果，來幫助學(xué)生獲得對于統(tǒng)計方法的直觀感受.這不僅較大程度上縮減了試驗方法合理性消耗的時間，還使得學(xué)生能夠在短時間內(nèi)明確統(tǒng)計方法用途的合理性.

2 展現(xiàn)統(tǒng)計知識合理性的教學(xué)實踐示例 本文以蘇教版《普通高中教科書數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊》中“變量的相關(guān)性”的教學(xué)為例，在分析教材、學(xué)情、教學(xué)重難點的基礎(chǔ)上，嘗試將數(shù)學(xué)史和信息技術(shù)融入統(tǒng)計教學(xué)實踐之中.

2.1 教材分析

“變量的相關(guān)性”是線性回歸分析的第一課時，故在進(jìn)行教學(xué)內(nèi)容分析時教師需要從線性回歸這一整節(jié)課的角度考慮.線性回歸分析這一節(jié)的內(nèi)容大致為用散點圖直觀上描述變量間是否具有統(tǒng)計相關(guān)性，到用相關(guān)系數(shù)刻畫線性相關(guān)關(guān)系的密切程度，再到建立一元線性回歸模型進(jìn)行預(yù)測.教學(xué)經(jīng)歷了由定性分析到定量分析線性回歸的可行性，以及實施線性回歸的過程.變量的相關(guān)性與一元回歸模型緊密聯(lián)系，都是研究兩個數(shù)值型變量間的相關(guān)關(guān)系，只有通過相關(guān)系數(shù)判斷出兩個變量之間具有較強(qiáng)的線性關(guān)系時，建立一元回歸模型才有意義.

聚焦到“變量的相關(guān)性”這一課時.教材首先明確了兩個變量之間的數(shù)量關(guān)系有兩種不同的類型：一種是函數(shù)關(guān)系；另一種是相關(guān)關(guān)系.在這之后，教材中又指出變量間的相關(guān)關(guān)系可作如下直觀描述：當(dāng)一個變量取一定的數(shù)值時，與之對應(yīng)的另一個變量的值雖然不完全確定，但它按某種規(guī)律在一定的范圍內(nèi)變化.在定性描述變量間的相關(guān)關(guān)系尤其是線性相關(guān)關(guān)系之后，則通過定量手段描述變量間的相關(guān)關(guān)系程度.教材直接構(gòu)建了相關(guān)系數(shù)，并對相關(guān)系數(shù)如此構(gòu)建的合理性進(jìn)行了簡要的描述，并在此基礎(chǔ)上給出了相關(guān)系數(shù)的性質(zhì).

筆者比較蘇教版教材和人教版教材，發(fā)現(xiàn)兩版教材對于知識設(shè)置的順序是基本一致的，但在構(gòu)建相關(guān)系數(shù)公式的部分有一定的差異.在嚴(yán)謹(jǐn)性上，兩版教材都有所缺失，當(dāng)然也是由于高中缺少相關(guān)前置知識的學(xué)習(xí).在直觀性上，蘇教版的直觀性較好，可以更好地進(jìn)行數(shù)形結(jié)合；人教版的構(gòu)建方式也可以有直觀性的解釋，但并未體現(xiàn)在教材中.

2.2 學(xué)情及教學(xué)重難點分析

必修課程的學(xué)習(xí)使學(xué)生已經(jīng)初步建立樣本估計總體的思想，為學(xué)生理解用樣本相關(guān)系數(shù)推斷變量間的相關(guān)性，以及估計回歸系數(shù)奠定了認(rèn)知基礎(chǔ).刻畫數(shù)據(jù)特征（均值、方差）的一般方法，為構(gòu)造樣本相關(guān)系數(shù)提供了可以借鑒的思想方法.

對于“變量的相關(guān)性”這一課時來說，理解兩個隨機(jī)變量的相關(guān)性可以通過成對樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，故線性相關(guān)關(guān)系與相關(guān)系數(shù)的概念與運(yùn)用是教學(xué)的重點.相關(guān)系數(shù)公式的建立是教學(xué)中較為困難的部分，學(xué)生常常難以理解，故對于相關(guān)系數(shù)公式的理解是教學(xué)的難點.

2.3 借助數(shù)學(xué)史和信息技術(shù)的教學(xué)實踐

教學(xué)環(huán)節(jié)1：對比函數(shù)，提出問題.

活動1：有兩組數(shù)據(jù)；第一組數(shù)據(jù)是由物理學(xué)家在研究勻速運(yùn)動時收集到的；第二組數(shù)據(jù)是由生物學(xué)家在研究性狀遺傳時收集到的.兩組數(shù)據(jù)對應(yīng)散點圖如圖1所示.

問題1 觀察第一組數(shù)據(jù)，在勻速行走時，時間t（單位：秒）和距離s（單位：米）有什么關(guān)系.你會用什么數(shù)學(xué)工具來描述它們之間的關(guān)系.

問題2 觀察第二組數(shù)據(jù)，父代身高h(yuǎn)1（單位：厘米）和子代身高h(yuǎn)2（單位：厘米）之間有什么關(guān)系.你想用什么數(shù)學(xué)工具來描述它們之間的關(guān)系.

【設(shè)計意圖】在數(shù)學(xué)史上，線性回歸的研究引發(fā)了對相關(guān)性以及相關(guān)系數(shù)的思考.線性回歸和一次函數(shù)之間有著很多聯(lián)系，一次函數(shù)可以用來反映變量間線性的函數(shù)關(guān)系，線性回歸可以用來反映變量間線性的相關(guān)關(guān)系.教師可以通過帶領(lǐng)學(xué)生對比函數(shù)關(guān)系，來研究變量的相關(guān)性.教師設(shè)置活動1的兩個實例引導(dǎo)學(xué)生通過仔細(xì)觀察、深入思考、主動表達(dá)，提升學(xué)生的參與度和學(xué)習(xí)興趣；通過學(xué)生的描述導(dǎo)出“函數(shù)關(guān)系”和“相關(guān)關(guān)系”的定義，并從直觀比較中獲得對“函數(shù)關(guān)系”和“相關(guān)關(guān)系”的感性認(rèn)識；對比“函數(shù)關(guān)系”，啟發(fā)學(xué)生思考利用直線描述相關(guān)關(guān)系，學(xué)會利用確定性工具解決不確定性問題的思想方法.通過對比函數(shù)關(guān)系引出變量相關(guān)性的背景知識和后續(xù)的探索，它起到了統(tǒng)領(lǐng)整個變量相關(guān)性學(xué)習(xí)的作用.

教學(xué)環(huán)節(jié)2：回顧歷史，尋找答案.

活動2：回顧數(shù)學(xué)史，介紹英國科學(xué)家高爾頓（Francis Galton）曾利用直線描述父代身高和子代身高的變化趨勢.［2］教師進(jìn)一步給出線性相關(guān)關(guān)系以及線性回歸分析的定義.線性回歸中“回歸”取自向中心回歸之意.例如，高個子的后代平均來說也高一些，但不如親代那么高，要向平均身高的方向“回歸”一些.教師結(jié)合實例解釋并強(qiáng)調(diào)均值點和線性回歸線之間的聯(lián)系.

【設(shè)計意圖】教師增添數(shù)學(xué)史的內(nèi)容，介紹高爾頓及其研究，有利于學(xué)生對于科學(xué)家故事的了解，使得學(xué)生對于接下來的學(xué)習(xí)產(chǎn)生一定的興趣；指出使用一次函數(shù)反應(yīng)變量間的相關(guān)關(guān)系有一定的合理性，進(jìn)而引出線性相關(guān)關(guān)系的概念；對“回歸”的介紹，強(qiáng)調(diào)平均值點的重要性，為使用平均值點構(gòu)建相關(guān)系數(shù)提供支持.

教學(xué)環(huán)節(jié)3：判斷程度，構(gòu)建指標(biāo).［3］

活動3：觀察如下散點圖（如圖2）中點的變化趨勢，思考如下問題.

問題1 是否所有的散點圖中的點的變化趨勢都可以用直線描述.請結(jié)合前兩張散點圖先說一說.如果你覺得可以用直線描述，請在圖中畫一畫.

問題2 圖（3）中的情況能不能用直線描繪，或者說用直線描繪的合理程度如何，用斜率正的還是斜率負(fù)的直線描述，具體斜率如何.如果你覺得可以用直線描述，請在圖中畫一畫.

【設(shè)計意圖】教師在分析圖（1）和圖（2）時，引出“正相關(guān)”和“負(fù)相關(guān)”的概念.通過引導(dǎo)學(xué)生動手實際操作以及與師生間的交流，使學(xué)生理解統(tǒng)計學(xué)雖然使用數(shù)理工具但更側(cè)重于強(qiáng)調(diào)合理性.圖（1）和圖（2）利用直線描述相關(guān)關(guān)系的合理程度高；對于圖（3）各個學(xué)生就會有不同的看法，合理性就相對弱一些.教師通過對圖（1）、圖（2）以及圖（3）中繪制出的直線進(jìn)行比較，引出相關(guān)性指標(biāo)的名稱相關(guān)系數(shù).教師還需引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)繪制的直線大致都會經(jīng)過平均值點，明確平均值點對于相關(guān)系數(shù)構(gòu)建的重要作用.

教學(xué)預(yù)設(shè)：教師允許學(xué)生自主繪制各種直線，但需要保證圖（1）中直線斜率為正，圖（2）中直線斜率為負(fù).對于圖（3）的討論，學(xué)生可以暢所欲言，然后教師通過提問，引導(dǎo)學(xué)生闡述自己想法的合理性，以及評價他人想法的合理性，營造出各人想法的合理程度難以確定的情境，從而引出相關(guān)系數(shù)的內(nèi)容.同時，教師還需要抓住學(xué)生所繪直線中的共性，即大致都經(jīng)過了平均值點，引出利用平均值點構(gòu)建相關(guān)系數(shù)的想法.

活動4：建立相關(guān)系數(shù)公式.

設(shè)置疑問：該怎么用平均值點和其他點說明利用直線描繪變化趨勢的合理程度.

分類討論如下.

（1）只有兩個數(shù)據(jù)點時，用過此兩點的直線描述變化趨勢顯然合理，不予討論.

（2）三個數(shù)據(jù)點共線時，構(gòu)造相關(guān)系數(shù)公式.

記三個點分別為A，B，C，平均值點為P.記A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），Px ，y .

由于點A，B，C，P共線，則有kAP=kBP=kCP=

λ，從而有y1-=λx1-，

y2-=λx2-，

y3-=λx3-.

構(gòu)造向量a與b，a=x1-，x2-，x3-，b=y1-，y2-，y3-，并記＜a，b＞=θ，則有

cosθ=3i=1xi- yi- 3i=1xi- 23i=1yi- 2，并將這個值稱為相關(guān)系數(shù)r.

（3）在三點不共線時，仍使用此公式計算相關(guān)系數(shù).

（4）將此公式推廣，獲得n個點的相關(guān)系數(shù)公式r=ni=1xi- yi- ni=1xi- 2ni=1yi- 2.

【設(shè)計意圖】教師通過三點共線的情況建立出相關(guān)系數(shù)公式，并進(jìn)一步歸納出三點不共線以及n個點時的相關(guān)系數(shù)公式，幫助學(xué)生理解相關(guān)系數(shù)公式.

活動5：考查相關(guān)系數(shù)公式的合理性.

設(shè)置疑問：相關(guān)系數(shù)公式是在點到平均值構(gòu)成直線的斜率一致時得出的，那么斜率不一致時是否也能夠描述相關(guān)程度.

繪制圖象：一是繪制相關(guān)系數(shù)r=cosθ的圖象，其中θ∈［0，π］；二是繪制給定具體相關(guān)系數(shù)的散點圖.

建立聯(lián)系：將散點圖和相關(guān)系數(shù)建立對應(yīng)（如圖3）.

問題1 依次觀察散點圖，說說各個散點圖有何特征.利用直線描繪圖中散點變化趨勢的合理程度與相關(guān)系數(shù)有何關(guān)系.

追問 此時是否需要考慮相關(guān)系數(shù)的符號.

問題2 相關(guān)系數(shù)的正負(fù)和描繪散點的直線有什么聯(lián)系，與相關(guān)關(guān)系有什么聯(lián)系.

【設(shè)計意圖】教師結(jié)合不同相關(guān)系數(shù)下的散點圖象解釋問題，幫助學(xué)生感受散點圖變化與相關(guān)系數(shù)間的關(guān)系，使學(xué)生理解相關(guān)系數(shù)公式的合理性.教師還要建立起“數(shù)”與“形”之間的聯(lián)結(jié).數(shù)形結(jié)合幫助學(xué)生提升對相關(guān)系數(shù)的直觀感受，并進(jìn)一步得出相關(guān)系數(shù)r的性質(zhì).

3 結(jié)語

教師合理使用數(shù)學(xué)史和信息技術(shù)，有利于展現(xiàn)統(tǒng)計方法的合理性.第一，通過數(shù)學(xué)史的融入，學(xué)生能夠追溯統(tǒng)計方法的來源，了解其產(chǎn)生的背景和過程，并在數(shù)學(xué)知識的認(rèn)知過程中，體會知識的創(chuàng)造過程，結(jié)合自身處境進(jìn)行數(shù)學(xué)化的分析與反思.這不僅能解答學(xué)生對統(tǒng)計方法來源的疑問，還能加深學(xué)生對其本質(zhì)和目的的理解.第二，信息技術(shù)的數(shù)據(jù)分析和圖象繪制進(jìn)一步驗證了統(tǒng)計方法用途的合理性.學(xué)生可以直觀地感受統(tǒng)計結(jié)果，認(rèn)同統(tǒng)計方法的用途.綜上所述，數(shù)學(xué)史和信息技術(shù)的合理使用，為統(tǒng)計方法的合理性提供了支持，使學(xué)生能夠產(chǎn)生對統(tǒng)計方法的認(rèn)同.

參考文獻(xiàn)

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