摘 要：幾何探索性問題是歷年中考的熱點，經(jīng)常以中考壓軸題的形式出現(xiàn).這類問題綜合性強(qiáng)，涉及的知識點多，解法靈活多樣，承載著一定的選拔功能，對學(xué)生而言具有一定的難度.在解決這類問題的過程中，通常需綜合運(yùn)用多種數(shù)學(xué)思想與方法.基于此，以一道中考試題為例，重點分析分類討論思想在解決幾何壓軸題中的應(yīng)用，以期為初中數(shù)學(xué)教學(xué)提供參考.

關(guān)鍵詞：分類討論思想；幾何問題；壓軸題；應(yīng)用

中圖分類號：G632 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1008-0333（2024）29-0008-03

收稿日期：2024-07-15

作者簡介：仇春學(xué)（1979.1—），男，陜西省大荔縣人，本科，中學(xué)一級教師，從事初中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

中考壓軸題一般為幾何探索題，具有開放性和綜合性的特點，考查的知識點較為全面，涉及多種數(shù)學(xué)思想與方法，對學(xué)生而言具有一定的難度. 筆者以2023年深圳市中考數(shù)學(xué)第22題為例，探討分類討論思想在解決幾何問題中的應(yīng)用，供讀者參考.

1 試題呈現(xiàn)

（2023年深圳市中考數(shù)學(xué)第22題）（1）如圖1，在矩形ABCD中，E為AD邊上一點，連接BE.①若BE=BC，過C作CF⊥BE交BE于點F，求證：△ABE≌△FCB；②若S 矩形ABCD=20時，則BE·CF=_______．

（2）如圖2，在菱形ABCD中，cosA=13，過C作CE⊥AB交AB的延長線于點E，過E作EF⊥AD交AD于點F，若S 菱形ABCD=24時，求EF·BC的值.

（3）如圖3，在平行四邊形ABCD中，∠A=60°，AB=6，AD=5，點E在CD上， 且CE=2，點F為BC上一點，連接EF，過E作EG⊥EF交平行四邊形ABCD的邊于點G，若EF·EG=73時，請直接寫出AG的長.

2 試題分析

本題三個小問題的設(shè)問層層遞進(jìn)，圖形從特殊到一般，難度逐漸增大.第（1）問以矩形為基本圖形，第（2）問以菱形為基本圖形，第（3）問以平行四邊形為基本圖形［1］.從知識點上看，本題主要考查矩形的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)與判定、菱形的性質(zhì)、解直角三角形、相似三角形的性質(zhì)與判定、平行四邊形的性質(zhì)等知識.從思想方法上看，本題考查分類討論思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想、模型思想、方程思想等數(shù)學(xué)思想方法.因此，本題的綜合性較強(qiáng)，對學(xué)生分析問題和解決問題的能力有較高的要求，是一道具有一定區(qū)分度的中考壓軸題.

3 解法賞析

第（1）問較簡單，根據(jù)矩形的性質(zhì)可得∠ABE+∠CBF=90°，又由CF⊥BE可知∠FCB+∠CBF=90°，從而可證明∠FCB=∠ABE.結(jié)合已知條件BE=BC，可證明△ABE≌△FCB，從而AB=CF，因此BE·CF=BC·AB=S 矩形ABCD=20.

評析 第（1）問主要考查矩形的性質(zhì)、矩形的面積公式、全等三角形的判定與性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

第（2）問也比較容易，根據(jù)菱形的性質(zhì)可得AD//BC，所以∠CBE=∠EAF.又因為EF⊥AD，CE⊥AB，所以∠AFE=∠BEC=90°，所以△AFE∽△BEC，所以AEBC=EFCE=AFBE，所以EF·BC=AE·CE.又因為cosA=13且∠CBE=∠A，所以BE=BC·cos∠CBE=BC×cosA=13BC，所以AE=AB+BE=AB+13BC=AB+13AB=43AB，即EF·BC=AE·CE=43AB×CE=43S菱形ABCD=43×24=32.

評析 第（2）問主要考查菱形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、銳角三角函數(shù)的概念、線段關(guān)系的轉(zhuǎn)化等知識，屬于中低檔題.

第（3）問是本題的難點，下面進(jìn)行詳細(xì)分析.

分析 此問的難點在于點G的位置不確定.一些學(xué)生缺乏分類討論思想，誤以為點G只能在AD邊上，從而造成漏解.事實上，點G可能在AD邊上、AB邊上或BC邊上，因此，要分三種情況討論，要求學(xué)生具備分類討論思想［2］.

①當(dāng)點G在AD邊上時，如圖4，延長FE，交AD的延長線于點M，連接GF，過點E作EH⊥DM于點H.

因為四邊形ABCD是平行四邊形，AB=6，CE=2，所以CD=AB=6，DE=DC-EC=6-2=4.因為DM//FC，所以△EDM∽△ECF，所以EMEF=EDEC=2.考慮△MGE和△FEG，它們以GE為公共高，所以S△MGES△FEG=EMEF=2，所以S△MGE=2SΔEFG=EF·EG=73.在Rt△DEH中，∠HDE=∠A=60°，則EH=32DE=32×4=23，DH=12DE=2，所以12MG×HE=3MG=73，所以MG=7.又GE⊥EF，EH⊥MG，所以∠MEH=90°-∠HEG=∠HGE，所以△MEH∽△EGH，所以HEHG=HMHE，即HE2=HM·HG.設(shè)AG=a，則GD=AD-AG=5-a，GH=GD+HD=5-a+2=7-a，HM=GM-GH=7-（7-a）=a，所以（23）2=a（7-a），解得a=3或a=4，從而可知AG=3或AG=4.

評析 對于點G在AD邊上的情況，其解題過程分為以下幾步：一是先將FE延長與AD的延長線相交于點M，由“X型”相似模型可證△EDM∽△ECF，從而由相似三角形的性質(zhì)可得EM=2EF；二是根據(jù)已知條件EF·EG=73可得到2S△EFG=73，再根據(jù)△MGE和△FEG共高可得S△MGE=2S△EFG=73；三是考慮△MGE的底邊MG，這條邊上的高可以根據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)求出，從而利用等面積法即可求出MG；四是根據(jù)關(guān)系HE2=HM·HG求出AG.事實上，關(guān)系式HE2=HM·HG即為射影定理，但由于射影定理不是初中數(shù)學(xué)教材中的結(jié)論，所以在以上解答中，給出了關(guān)系式HE2=HM·HG的證明過程.

②當(dāng)點G在AB邊上時，如圖5，連接GF，延長GE交BC的延長線于點M，過點G作GN∥AD，則GN∥BC，四邊形ADNG是平行四邊形.

設(shè)AG=x，易知DN=AG=x，EN=DE-DN=4-x.因為GN∥CM，所以△ENG∽△ECM，所以EGEM=GNCM=ENEC=4-x2，所以CM=2GN4-x=104-x.考慮△GEF和△MEF，它們以EF為公共高，所以SΔGEFS△MEF=EGEM=ENEC=4-x2，又因為2S△GEF=EF·EG=73，所以S△MEF=2S△GEF4-x=734-x.過點E作EH⊥BC于點H，在Rt△EHC中，EC=2，∠ECH=60°，所以EH=3，CH=1，所以S△MEF=12×MF×EH，則12×3×MF=734-x，所以MF=144-x，所以MH=CM+CH=104-x+1=14-x4-x，F(xiàn)H=MF-MH=144-x-14-x4-x=x4-x.因為∠MEF=∠EHM=90°，所以∠FEH=90°-∠MEH=∠EMH，所以△FEH∽△EMH，所以FHEH=EHMH，所以EH2=FH·MH，即（3）2=x4-x×14-x4-x，解得x1=32，x2=8（舍去），即AG=32.

評析 對于點G在AB邊上的情況，其解題過程與情形①類似，分為以下幾步：一是設(shè)AG=x，將GE延長與BC的延長線相交于點M，構(gòu)造“X型”相似模型，證明△ENG∽△ECM，再由相似三角形邊的比例關(guān)系求出CM的表達(dá)式；二是根據(jù)△GEF和△MEF共高和條件EF·EG=73可得S△MEF的表達(dá)式；三是利用等面積法可得MF的表達(dá)式；四是根據(jù)關(guān)系EH2=FH·MH列出方程，從而求出AG.

③當(dāng)G點在BC邊上時，如圖6，過點B作BT⊥DC于點T，則S△BTC＞S△EFG.

在Rt△BTC中，CT=12BC=52，BT=3TC=532，S△BTC=12BT×TC=12×532×52=2538.因為EF·EG=73，所以S△EFG=723.因為2583＜723，即S△BTC＜S△EFG，矛盾.故G點不可能在BC邊上.

綜上所述，AG的長為 3或4或32.

4 結(jié)束語

在初中階段，分類討論思想已經(jīng)得到了廣泛應(yīng)用，但學(xué)生的分類討論思想較為薄弱，因此，在中考試題中合理滲透分類討論思想有利于選拔具備較高數(shù)學(xué)素養(yǎng)的學(xué)生.在平時教學(xué)中，教師要向?qū)W生滲透分類討論思想，引導(dǎo)學(xué)生利用分類討論思想解決問題，提高學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識分析問題和解決問題的能力，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

參考文獻(xiàn)：［1］ 徐茜敏.分類討論：建構(gòu)初中數(shù)學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S方式［J］.數(shù)理天地（初中版），2023（11）：56-58.

［2］ 沈俊杰.分類討論思想在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用［J］. 中學(xué)數(shù)學(xué)（下半月），2023（8）：52-53.

［責(zé)任編輯：李 璟］