摘 要：動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題是初中平面幾何中的常見(jiàn)問(wèn)題，也是歷年中考的熱點(diǎn)問(wèn)題，倍受命題者青睞.這類問(wèn)題涉及的知識(shí)點(diǎn)多，形式豐富多樣，求解方法靈活，對(duì)學(xué)生而言具有一定的難度.基于此，文章介紹與矩形、菱形有關(guān)的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，以及與動(dòng)點(diǎn)有關(guān)的三角形的存在性問(wèn)題，并給出這幾類動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的解題思路.，以期為初中數(shù)學(xué)教學(xué)提供參考.

關(guān)鍵詞：平面幾何；動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題；最值問(wèn)題；存在性問(wèn)題

中圖分類號(hào)：G632 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1008-0333（2024）29-0026-03

收稿日期：2024-07-15

作者簡(jiǎn)介：林莊園（1991.1—），女，廣西桂林人，本科，中學(xué)一級(jí)教師，從事初中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

與動(dòng)點(diǎn)有關(guān)的最值問(wèn)題和存在性問(wèn)題是平面幾何中的難點(diǎn).根據(jù)圖形結(jié)構(gòu)特征，抓住動(dòng)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的不變量以及動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，再合理利用幾何性質(zhì)，是解決這類問(wèn)題的基本思路.

1 點(diǎn)在矩形的一邊上運(yùn)動(dòng)

例1 如圖1所示，矩形ABCD中，AB=6，BC=10，點(diǎn)E在邊AD上，且AE=2，F(xiàn)為邊AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接EF，過(guò)點(diǎn)E作EG⊥EF交直線BC于點(diǎn)G，連接FG，若P是FG的中點(diǎn)，則DP的最小值為（ ）.

A．9105 B．6 C．5 D．210

解析 因?yàn)樗倪呅蜛BCD是矩形，所以∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°，且DC=AB=6，AD=BC=10.

當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)A重合時(shí)，作EG1⊥BC于G1，則四邊形ABG1E是矩形.如圖2所示，連接AG1，BE交于點(diǎn)O，則O點(diǎn)是AG1的中點(diǎn)，也是BE的中點(diǎn)，此時(shí)，P點(diǎn)與O點(diǎn)重合.當(dāng)F點(diǎn)與B點(diǎn)重合時(shí)，作EG2⊥EB交BC的延長(zhǎng)線于G2.因?yàn)锳D∥BC，所以∠AEB=∠EBG2.又因?yàn)椤螧AE=∠BEG2=90°，所以△ABE∽△EG2B，所以AEBE=BEBG2.因?yàn)锽E=AB2+AE2=62+22=210，所以2210=210BG2，解得BG2=20.設(shè)BG2的中點(diǎn)為P2，則BP2=10，所以P2點(diǎn)與C點(diǎn)重合，所以P點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是線段OC.當(dāng)DP⊥OC時(shí)，DP的值最小.因?yàn)镺點(diǎn)是BE的中點(diǎn)，C點(diǎn)是BG2的中點(diǎn)，所以O(shè)C是△BEG2的中位線，所以O(shè)C∥EG2，所以∠BOC=∠BEG2=90°，所以∠BOC=∠DPC.因?yàn)椤螼BC+∠OCB=90°，∠OCB+∠PCD=90°，所以∠OBC=∠PCD，所以△OBC∽△PCD，所以O(shè)CDP=BCDC.因?yàn)锽O=12BE=10，BC=10，所以O(shè)C=BC2-BO2=310，所以310DP=106，解得DP=9105.故選A.

點(diǎn)評(píng) 本題是一道矩形中的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，難度較大，綜合性較強(qiáng).解題的關(guān)鍵是要找出P點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡.作EG1⊥BC于G1，連接AG1，BE交于點(diǎn)O，作EG2⊥EB交BC的延長(zhǎng)線于G2.當(dāng)F點(diǎn)與A點(diǎn)重合時(shí)，G點(diǎn)與G1點(diǎn)重合，此時(shí)P點(diǎn)與O點(diǎn)重合.當(dāng)F點(diǎn)與B點(diǎn)重合時(shí)，G點(diǎn)與G2點(diǎn)重合，此時(shí)P點(diǎn)與C點(diǎn)重合，因此P點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡就是線段OC.當(dāng)DP⊥OC時(shí)，DP的值最小.根據(jù)△OBC∽△PCD，列比例式求出DP的長(zhǎng)即可.

2 菱形上的動(dòng)點(diǎn)

例2 如圖3，在邊長(zhǎng)為4的菱形ABCD中，∠A=60°，點(diǎn)M是AD邊的中點(diǎn)，點(diǎn)N是菱形內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且MN=1，連接CN，則CN的最小值為_______．

解析 過(guò)點(diǎn)M作MH⊥CD交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，如圖4所示.因?yàn)樗倪呅蜛BCD是菱形，∠A=60°，所以AB∥CD，所以∠HDM=∠A=60°，所以∠HMD=30°.因?yàn)辄c(diǎn)M是AD邊的中點(diǎn)，所以DM=12AD=2，所以DH=12DM=1.根據(jù)勾股定理得HM=DM2-DH2=3.因?yàn)镃D=4，所以CH=CD+DH=4+1=5.根據(jù)勾股定理，得CM=HM2+CH2=27.因?yàn)镸N=1，當(dāng)點(diǎn)N運(yùn)動(dòng)到線段CM上的點(diǎn)N′時(shí)，CN取得最小值，CN′=CM-MN=27-1，即CN的最小值為27-1.

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查菱形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、勾股定理、線段最短等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是求出CM的長(zhǎng)．過(guò)點(diǎn)M作MH⊥CD交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，根據(jù)菱形的性質(zhì)以及直角三角形的性質(zhì)求出CM=27-1，當(dāng)點(diǎn)N運(yùn)動(dòng)到線段CM上的點(diǎn)N′時(shí)，CN取得最小值，進(jìn)一步求解即可．

3 點(diǎn)在曲線上運(yùn)動(dòng)

例3 如圖5所示，A是函數(shù)y=2x的圖象上的點(diǎn)，B2，2，C-2，-2，試?yán)眯再|(zhì)：“函數(shù)y=2x的圖象上任意一點(diǎn)A都滿足AB-AC=4”求解下面問(wèn)題：作∠BAC的內(nèi)角平分線AE，過(guò)C作AE的垂線交AE于點(diǎn)F，已知當(dāng)點(diǎn)A在函數(shù)y=2x的圖象上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)F總在一個(gè)圓上運(yùn)動(dòng)，則這圓的半徑為（ ）.

A．12 B．1 C．2 D．4

解析 如圖6所示，作BD⊥AE，垂足為M，交AC于點(diǎn)D．

因?yàn)锳E平分∠BAC，BD⊥AE，所以∠DAM=∠BAM，∠AMD=∠AMB=90°.因?yàn)锳M=AM，所以△ABM≌△ADM，所以AD=AB，所以CD=AC-AD=AC-AB=4，即CD的長(zhǎng)為定值4．過(guò)點(diǎn)M作MN∥CD交CF于點(diǎn)N，因?yàn)锽D⊥AE，CF⊥AE，所以DM∥CF，所以四邊形CDMN為平行四邊形，所以MN=CD=4．因?yàn)椤螹FN=90°，所以點(diǎn)F在以線段MN為直徑的圓上，因?yàn)镸N=4，所以點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)所在圓的半徑為2．選C.

點(diǎn)評(píng) 本題是一道新定義問(wèn)題，主要考查全等三角形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、圓周角定理等知識(shí).根據(jù)新定義添加輔助線，構(gòu)造全等三角形和平行四邊形是解題關(guān)鍵．

4 存在性問(wèn)題

例4 如圖7所示，等邊△ABC的頂點(diǎn)A，B，C均在坐標(biāo)軸上，其中B（-4，0），C（4，0）．

（1）如圖7，若將△AOC沿AC翻折得到△ACD，則A點(diǎn)坐標(biāo)為_______，D點(diǎn)坐標(biāo)為_______；

（2）在（1）問(wèn)的條件下，點(diǎn)E為y軸正半軸上一動(dòng)點(diǎn)，是否存在點(diǎn)E使得BDE為等腰三角形？如果存在，請(qǐng)直接寫出BDE的面積，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

解析 （1）如圖7中，過(guò)點(diǎn)D作DH⊥x軸于H．

因?yàn)锽（-4，0），C（4，0），所以O(shè)B=OC=4.因?yàn)椤鰽BC是等邊三角形，所以AB=AC=BC=8，∠ACO=60°.因?yàn)椤螦OC=90°，所以O(shè)A=AC2-OC2=82-42=43，所以A0，43.

因?yàn)閷ⅰ鰽OC沿AC翻折得到△ACD，所以∠ACD=∠ACO=60°，CD=CO=4，所以∠DCH=180°-60°-60°=60°，因?yàn)镈H⊥CH，所以∠DHC=90°，所以∠CDH=30°，所以CH=12CD=2，所以DH=CD2-CH2=42-22=23，OH=OC+CH=6，所以D6，23．

（2）存在．如圖8，設(shè)BD交y軸于F，E（0，m）.

由題意得∠BAC=60°，∠CAD=∠CAO=30°，所以∠BAD=90°.因?yàn)锳B=8，AD=43，所以S△ABD=12·AB·AD=12·AF·xD-xB，所以AF=8×4310=1635，所以O(shè)F=43-1635=435.

①當(dāng)EB=ED時(shí)，42+m2=62+m-232，解得m=833，所以E0，833，所以S△EBD=12×833-435×10=2833．

②當(dāng)BD=BE′時(shí)，m2+42=102+232，解得m=46或-46（舍棄），所以E′0，46，所以S△BDE=12×46-435×10=206-43．

③當(dāng)DB=DE″時(shí)，62+m-232=102+232，解得m=219+23或-219+23（舍棄），所以E0，219+23，所以S△BDE=12×219+23-435×10=1019+63.

綜上所述，△BDE的面積為2833或206-43，或1019+63．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)、兩點(diǎn)間的距離公式、勾股定理、三角形的面積公式、等邊三角形的性質(zhì)及翻折對(duì)稱變換等知識(shí)，難度較大，需注意分類討論和方程思想在解題過(guò)程中的應(yīng)用．

5 結(jié)束語(yǔ)

與動(dòng)點(diǎn)有關(guān)的最值問(wèn)題或者存在性問(wèn)題，是初中數(shù)學(xué)教學(xué)的難點(diǎn).教師可利用信息技術(shù)手段給學(xué)生展開動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程及運(yùn)動(dòng)路徑，從“形”與“數(shù)”融合的角度去教學(xué)，讓動(dòng)態(tài)問(wèn)題直觀化，這樣便于學(xué)生理解問(wèn)題的本質(zhì)［1］ .

參考文獻(xiàn)：［1］ 楊金寶，鄒靚靚.初中平面幾何中的“以靜制動(dòng)”［J］.理科考試研究，2013（8）：6-7.

［責(zé)任編輯：李 璟］