摘 要：“正方形半角”模型是初中平面幾何中的重要模型，其中蘊(yùn)含著許多優(yōu)美的性質(zhì)，在解題中有著廣泛的應(yīng)用，熟練掌握此模型有助于提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力.基于此，本文對(duì)這些結(jié)論進(jìn)行系統(tǒng)梳理并給出嚴(yán)謹(jǐn)證明.

關(guān)鍵詞：正方形；“正方形半角”模型；性質(zhì)；證明

中圖分類號(hào)：G632 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1008-0333（2024）29-0041-03

收稿日期：2024-07-15

作者簡(jiǎn)介：彭文鑫（1978.7—），男，福建省泉州人，本科，中學(xué)一級(jí)教師，從事初中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

平面幾何是初中數(shù)學(xué)的一個(gè)重要模塊，通常以證明題或探索性問題的形式出現(xiàn)在壓軸題的位置.這類問題形式靈活多樣，綜合性強(qiáng)，對(duì)學(xué)生而言難度較大.基于此，掌握一些常見幾何模型有利于提高解題能力.幾何模型有多種類型，例如“手拉手”模型、“一線三等角”模型、“母子型相似”模型等，筆者重點(diǎn)介紹“正方形半角”模型［1］.

“正方形半角”模型在歷年全國各地中考試題中出現(xiàn)的頻率很高，許多教師對(duì)這一模型在解題中的應(yīng)用作了多角度探討，還有教師從逆向思維角度出發(fā)，對(duì)這一模型作了逆向思考，其研究角度新穎，給讀者很大啟發(fā).筆者總結(jié)了“正方形半角”模型中的12個(gè)常見結(jié)論，并給出這12個(gè)結(jié)論的詳細(xì)證明［2］，以期為初中數(shù)學(xué)教學(xué)提供參考.

1 模型呈現(xiàn)

如圖 1， 已知四邊形ABCD為正方形，點(diǎn)E和點(diǎn)F分別在邊BC和邊CD上，∠EAF=45°，正方形ABCD的對(duì)角線BD與AE相交于點(diǎn)M，與AF相交于點(diǎn)N. 在圖1中，由于∠EAF=45°=12∠BAD，故這一模型稱為“正方形半角”模型.

2 結(jié)論的證明

結(jié)論1 如圖1，在“正方形半角”模型中，EF=BE+DF.

證明 如圖2，延長(zhǎng)CB到點(diǎn)G，使得BG=DF.

因?yàn)樗倪呅蜛BCD為正方形，所以AB=AD且∠ABG=∠ADF=90°，所以△ABG≌△ADF，所以AG=AF，∠BAG=∠DAF，所以∠EAG=∠EAB+∠BAG=∠EAB+∠DAF=90°-∠EAF=90°-45°=45°，所以∠EAG=∠EAF，又因?yàn)锳E=AE，AG=AF，所以△AEG≌△AEF，所以EF=EG=BE+BG=BE+DF.

結(jié)論2 如圖1，在“正方形半角”模型中，△CEF的周長(zhǎng)等于正方形ABCD邊長(zhǎng)的兩倍.

證明 由結(jié)論1可知，EF+CE+CF=BE+DF+CE+CF=（BE+CE）+（CF+DF）=BC+CD=2AB，即△CEF的周長(zhǎng)等于正方形ABCD邊長(zhǎng)的兩倍.

結(jié)論3 如圖1，在“正方形半角”模型中，EA是∠BEF的角平分線.

證明 如圖2，延長(zhǎng)CB到點(diǎn)G，使得BG=DF.

由結(jié)論1的證明可知，△AEG≌△AEF，所以∠AEG=∠AEF，即EA是∠BEF的角平分線.

結(jié)論4 如圖1，在“正方形半角”模型中，F(xiàn)A是∠DFE的角平分線.

證明 如圖2，延長(zhǎng)CB到點(diǎn)G，使BG=DF.由結(jié)論1的證明過程可知△ABG≌△ADF，所以∠ABG=∠DAF.因?yàn)椤螧AD=90°，所以∠GAF=90°又因?yàn)椤螩=90°，所以∠C+∠GAF=180°，所以A，G，C，F(xiàn)四點(diǎn)共圓，所以∠AFD=∠G.易知∠G=∠AFE，所以∠AFE=∠AFD，即FA是∠DFE的平分線.

結(jié)論5 如圖1，在“正方形半角”模型中，△AEF的EF邊上的高等于正方形ABCD邊長(zhǎng)［3］.

證明 如圖3，延長(zhǎng)CB到點(diǎn)G，使得BG=DF，作AH⊥EF，垂足為H.

由結(jié)論1的證明可知，△AEG≌△AEF，所以∠AEG=∠AEF，即∠AEB=∠AEH.又因?yàn)椤螦BE=∠AHE=90°，AE=AE，所以△ABE≌△AHE，所以AB=AH，即ΔAEF的EF邊上的高等于正方形ABCD邊長(zhǎng).

結(jié)論6 如圖1，在“正方形半角”模型中，S△AEF=S△ABE+S△ADF.

證明1 如圖2，延長(zhǎng)CB到點(diǎn)G，使得BG=DF.

由結(jié)論1的證明可知，△ABG≌△ADF且△AEG≌△AEF.所以SΔAEF=S△AEG=S△ABE+S△ABG=S△ABE+S△ADF.

證明2 如圖3，作AH⊥EF，垂足為H，則S△AEF=12EF·AH.因?yàn)锳B⊥BC，AD⊥CD，所以S△ABE=12AB·BE，S△ADF=12AD·DF.由結(jié)論1可知EF=BE+DF，由結(jié)論5可知AH=AB，所以S△AEF=12EF·AH=12BE+DF·AB=12AB·BE+12AB·DF=12AB·BE+12AD·DF=S△ABE+S△ADF.

證明3 設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為a，BE=x，DF=y，則CE=a-x，CF=a-y.在直角三角形CEF中，根據(jù)勾股定理得EF=（a-x）2+（a-y）2=2a2+x2+y2-2ax-2ay. 由結(jié)論1可知EF=BE+DF，所以2a2+x2+y2-2ax-2ay=x+y，兩邊平方并化簡(jiǎn)得a2=ax+ay+xy.因?yàn)镾△ABE=12AB·BE=12ax，S△ADF=12AD·DF=12ay，S△CEF=12CE·CF=12（a-x）（a-y）=12a2-ax-ay+xy=xy，所以S△AEF=S正方形ABCD-S△ABE-S△ADF-S△CEF=a2-12ax-12ay-xy=ax+ay+xy-12ax-12ay-xy=12ax+12ay=S△ABE+S△ADF.

結(jié)論7 如圖1，在“正方形半角”模型中，MN2=BM2+DN2.

證明 如圖 4，將△ADN繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABK， 則AK=AN，BK=DN，∠BAK=∠DAN.從而可知∠MAK=∠MAB+∠BAK=∠MAB+∠DAN=45°=∠MAN，又因?yàn)锳M=AM，所以△AMK≌△AMN，所以MK=MN.根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知∠ABK=∠ADN=45°，所以∠MBK=∠MBA+∠ABK=45°+45°=90°.根據(jù)勾股定理可知MK2=BM2+BK2，所以MN2=BM2+DN2.

結(jié)論8 如圖1，在“正方形半角”模型中，AB2=BN·DM.

證明 如圖1，根據(jù)圖形特征，易知∠AMD=∠ABM+∠MAB=45°+∠MAB=∠MAN+∠MAB=∠NAB.又因?yàn)椤螦DM=∠NBA=45°，所以△ADM∽△NBA，所以ADBN=MDAB，所以AB·AD=BN·DM，所以AB2=BN·DM.

結(jié)論9 如圖1，在“正方形半角”模型中，2BN=AB+BE.

證明 如圖 5， 連接正方形ABCD的對(duì)角線AC.根據(jù)正方形的性質(zhì)可知∠ACE=∠ADN=45°.又因?yàn)椤螮AF=∠EAC+∠CAF=45°，∠CAD=∠NAD+∠CAF=45°，所以∠EAC=∠NAD，所以△ACE∽△ADN，所以CEDN=ACAD=2，所以CE=2DN，所以2BN=2BD-DN=2BD-2DN=2BD-CE=2·2AB-CE=2AB-CE=AB+BC-CE=AB+BE.

結(jié)論10 如圖1，在“正方形半角”模型中，2DM=AD+DF.

與結(jié)論9的證明類似，不再贅述.

結(jié)論11 如圖1，在“正方形半角”模型中，S△AEF=2S△AMN.

證明 如圖 5， 連接正方形ABCD的對(duì)角線AC. 則∠AMN=∠ABM+∠MAB=45°+∠MAB=∠MAN+∠MAB=∠NAB=∠BAC+∠CAF=45°+∠CAF=∠ACF+∠CAF=∠AFD.

由結(jié)論4可知∠AFD=∠AFE，所以∠AMN=∠AFE.同理，∠ANM=∠AEF.從而可知△AMN∽△AFE，所以S△AMNS△AEF=AN2AE2.由結(jié)論9的證明可知△ACE∽△ADN，所以ANAE=ADAC=12，所以S△AMNS△AEF=AN2AE2=12，即S△AEF=2S△AMN.

結(jié)論12 如圖1，在“正方形半角”模型中，EF=2MN.

證明 如圖 5， 連接正方形ABCD的對(duì)角線AC.由結(jié)論11的證明可知△AMN～△AFE，所以MNEF=ANAE.根據(jù)結(jié)論9的證明可知△ACE～△ADN，所以ANAE=ADAC=12.從而可知MNEF=12，即EF=2MN.

3 結(jié)束語

通過證明可以發(fā)現(xiàn)，這一模型蘊(yùn)含著豐富的結(jié)論，每個(gè)結(jié)論之間也是相互關(guān)聯(lián)的，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的和諧統(tǒng)一之美. 事實(shí)上，除了所證明的12個(gè)結(jié)論之外，“正方形半角”模型中還有一些不太常見的結(jié)論.此外，此模型還能進(jìn)行推廣，希望有興趣的同仁對(duì)此作進(jìn)一步研究.

參考文獻(xiàn)：［1］ 吳丹.半角模型結(jié)論與應(yīng)用［J］.中學(xué)教學(xué)參考，2023（4）：34-36.

［2］ 周忠柱.“正方形半角”模型及應(yīng)用［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)雜志，2022（8）：45-48.

［3］ 劉玉清.對(duì)半角模型兩個(gè)重要結(jié)論的深入探究：以2019年廣州中考第16題為例［J］.初中數(shù)學(xué)教與學(xué)，2022（8）：36-38.

［責(zé)任編輯：李 璟］