摘 要：幾何動點(diǎn)是歷年中考數(shù)學(xué)的熱點(diǎn)問題，其涉及的知識點(diǎn)多，綜合性強(qiáng)，具有一定的選拔性功能，對學(xué)生而言具有一定的難度.基于此，文章對一道與等邊三角形有關(guān)的中考選擇壓軸題進(jìn)行詳細(xì)分析和解答，并對問題進(jìn)行引申變式，以此培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維和聯(lián)想能力，提高其分析問題和解決問題的能力，提升其數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

關(guān)鍵詞：動點(diǎn)問題；化動為靜；等邊三角形；最小值；變式

中圖分類號：G632 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1008-0333（2024）29-0047-03

收稿日期：2024-07-15

作者簡介：盛一凡（1997.4—），女，江蘇省常熟人，中小學(xué)二級教師，從事初中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

每年各地中考數(shù)學(xué)試卷中都會涌現(xiàn)一批優(yōu)秀的試題，這些試題凝聚著命題專家的智慧，體現(xiàn)了新課程標(biāo)準(zhǔn)要求，對初中數(shù)學(xué)教學(xué)具有一定的導(dǎo)向作用，對日常教學(xué)具有重要的參考價值.因此，教師應(yīng)帶領(lǐng)學(xué)生甄選優(yōu)秀中考試題，對其進(jìn)行

分析、研究、變式、拓展，充分發(fā)揮一道優(yōu)秀中考試題的價值.幾何動點(diǎn)問題是初中數(shù)學(xué)教學(xué)的重要內(nèi)容，倍受命題者青睞.筆者以2023年安徽省中考選擇壓軸題為例，談?wù)勅绾螌υ囶}進(jìn)行深入研究與分析，供讀者參考.

1 試題呈現(xiàn)

問題1 （2023年安徽中考數(shù)學(xué)第10題） 如圖 1，E是線段AB上一點(diǎn)，△ADE和△BCE是位于直線AB同側(cè)的兩個等邊三角形，P，F(xiàn)分別是CD，AB的中點(diǎn)，若AB=4，則下列結(jié)論錯誤的是（ ）.

A.PA+PB的最小值為33

B.PE+PF的最小值為23

C.△CDE周長的最小值為 6

D. 四邊形ABCD面積的最小值為33

2 試題分析

本題是一道以正三角形為背景的幾何計算問題，解答時需要靈活運(yùn)用正三角形的有關(guān)性質(zhì).根據(jù)已知條件可知，線段AB的長度為定值，點(diǎn)E是AB上的動點(diǎn)，因此AE和BE的長度是變量，故△ADE和△BCE的大小也是變化的，這導(dǎo)致點(diǎn)P的位置不固定. 因此，在圖1中，除了點(diǎn)A、B、F是定點(diǎn)外，其他點(diǎn)均是動點(diǎn).這是典型的動點(diǎn)問題，是中考中的常見題型［1］.欲想順利解答此題，需要分析動點(diǎn)在運(yùn)動變換中的不變性，這需要學(xué)生具備靈活的轉(zhuǎn)化與化歸能力，對學(xué)生的解題能力要求較高.因此，本題是一道中考壓軸題，綜合考查學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識分析問題和解決問題的能力.

3 解法探究

根據(jù)以上分析，圖1處于運(yùn)動變化之中，直接從一般情形入手較為困難. 為此，可以從特殊位置入手突破. 根據(jù)直覺與經(jīng)驗(yàn)，可以猜測當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)F重合時，所求量能取到最小值，從而得到以下解法.

解法1 設(shè)點(diǎn)E與點(diǎn)F重合，如圖2所示.

因?yàn)椤鰽DE和△BCE是正三角形，所以DE=AE，BE=CE，∠DEA=60°，∠CEB=60°，所以∠DCE=180°-∠DEA-∠CEB=180°-60°-60°=60°.又因?yàn)辄c(diǎn)AB為AB中點(diǎn)，所以AE=BE，所以DE=CE，所以△CDF是等邊三角形.因?yàn)镻是CD的中點(diǎn)，根據(jù)等腰三角形 “三線合一”性質(zhì)可知PF⊥CD.因?yàn)镃D=DE=AE=2，所以△CDE的周長為6，故C選項(xiàng)正確.

在Rt△PDF中，因?yàn)椤螪PF=90°，∠DEP=30°，所以DP=1.在Rt△PDF中，因?yàn)镻E=DE2+DP2=3，所以PE+PF=23，故B選項(xiàng)正確.

在Rt△AEP中，因?yàn)锳P=AE2+PE2=7，所以PA+PB=27≠33，故A選項(xiàng)錯誤.

根據(jù)已知條件易知四邊形ABCD為梯形，所以S 四邊形ABCD=12（CD+AB）·PE=12×（2+4）×3=33，故D選項(xiàng)正確.

綜上所述，選A.

這種解法借助特殊位置得到答案，是一種特殊化解題策略，適合解答填空題和選擇題.

解法2 如圖 3，延長AD，BC交于點(diǎn)M，過點(diǎn)P作直線l∥AB.

因?yàn)樗倪呅巍鰽DE和△BCE是等邊三角形，所以∠DEA=∠MCA=60°，∠MAB=∠CEB=60°，所以DE∥BM，CE∥AM，所以四邊形DECM是平行四邊形.因?yàn)镻為CD的中點(diǎn)，所以P為EM的中點(diǎn).因?yàn)镋在線段AB上運(yùn)動，所以P在直線l上運(yùn)動，由AB=4知等邊三角形ABM的高為23，所以M到直線l的距離，P到直線AB的距離都為3.

如圖 3，作點(diǎn)A關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)A′，連接A′B，當(dāng)P運(yùn)動到A′B與直線l的交點(diǎn)，即A′，P，B三點(diǎn)共時，PA+PB=PA′+PB最小，此時PA+PB最小值A(chǔ)′B=AA′2+AB2=（23）2+42=27，故選項(xiàng)A錯誤.

因?yàn)樗倪呅蜠ECM是平行四邊形，所以PM=PE，所以PE+PF=PM+PF≥PF.所以當(dāng)M，P，F(xiàn)共線時，PE+PF最小，最小值為MF的長度.因?yàn)镸F為等邊三角形ABM的高且AB=4，所以MF=23，所以PE+PF的最小值為23，故選項(xiàng)B正確.

如圖 4，過點(diǎn)D作DG⊥AB于點(diǎn)G，過點(diǎn)C作CH⊥AB于點(diǎn)H，則CD≥GH=GE+EH=12AE+12BE=12AB=2.

因?yàn)镈E=AE，CE=BE，所以DE+CE+CD≥AE+BE+2=AB+2=6，所以△CDE周長的最小值為6，故選項(xiàng)C正確.

設(shè)AE=2 m， 則BE=4-2 m，所以AG=GE=m，BH=EH=2-m，DG=3AG=3m，CH=3BH=23-3m，所以SΔADG=12AG·DG=12m·3m=32m2，SΔBCE=12BH·CH=12（2-m）（23-3m）=32m2-23m+23，S梯形DGHC=12DG+CH·GH=12（3m+23-3m）·2=23，所以S四邊形ABCD=32m2+32m2-23m+23+23=3m2-23m+43=3（m-1）2+23.從而可知，當(dāng)m=1時，四邊形ABCD面積的最小值23，故D選項(xiàng)正確.

點(diǎn)評 這種解法通過延長AD，BC構(gòu)造平行四邊形DECM，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和“瓜豆原理”可知點(diǎn)P在定直線l上運(yùn)動，由此找到了運(yùn)動中不變的性質(zhì).由于A，B為定點(diǎn)，點(diǎn)P在定直線l上運(yùn)動，因此，可將問題轉(zhuǎn)化為“將軍飲馬”幾何模型，只需作出點(diǎn)A關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)，即可求出PA+PB的最小值. 對于B選項(xiàng)，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，將PE+PF轉(zhuǎn)化為MP+PF，再根據(jù)垂線段的性質(zhì)將問題轉(zhuǎn)化為等邊三角形ABM的高. 對于C選項(xiàng)，易知DE+CE為定值，故問題轉(zhuǎn)化為求CD的最小值. 對于D選項(xiàng)，以AG的長度為自變量，根據(jù)幾何關(guān)系，分別求出△ADG、△BCE、梯形DGHC的面積，從而求出四邊形ABCD的面積，由此將問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最小值問題［2］.

4 試題變式

對試題進(jìn)行變式拓展可以培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維和聯(lián)想能力，并進(jìn)一步鞏固所學(xué)知識. 下面對問題1進(jìn)行變式拓展.

問題2 如圖5，E是線段AB上一點(diǎn)，△ADE和△BCE是位于直線AB同側(cè)的兩個等腰直角三角形，P，F(xiàn)分別是CD，AB的中點(diǎn)， 若AB=4， 探究以下問題：

（1）PA+PB是否存在最小值，若存在，求出它的最小值；

（2）PE+PF是否存在最小值，若存在，求出它的最小值；

（3）△CDE周長的是否存在最小值，若存在，求出它的最小值；

（4）四邊形ABCD面積的否存在最小值，若存在，求出它的最小值.

此題可采用與問題1類似的解法，如圖6，延長AD，BC交于點(diǎn)M，過點(diǎn)P作直線l∥AB，過點(diǎn)D作DG⊥AB于點(diǎn)G，過點(diǎn)C作CH⊥AB于點(diǎn)H.可以證明點(diǎn)P在定直線l上. 于是，問題（1）轉(zhuǎn)化為“將軍飲馬”問題，問題（2）轉(zhuǎn)化為點(diǎn)M到AB的距離問題，問題（3）轉(zhuǎn)化為GH的長度問題，問題（4）可以將AG的長度作為自變量，分別求出ΔADG，ΔBCE，梯形DGHC的面積，將四邊形ABCD面積的最小值轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最小值問題. 限于篇幅，不再贅述，請有興趣的讀者自行探究.

5 結(jié)束語

在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，對一些優(yōu)質(zhì)的中考試題進(jìn)行深入分析和研究，不僅能幫助學(xué)生鞏固所學(xué)知識，培養(yǎng)其數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，而且還能培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識，為學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)打下良好基礎(chǔ).

參考文獻(xiàn)：［1］ 蘇雅. 運(yùn)用動靜結(jié)合策略解初中數(shù)學(xué)平面幾何動點(diǎn)問［J］.數(shù)理化解題研究，2023（8）：29-31.

［2］ 秦海燕.初中數(shù)學(xué)動點(diǎn)問題的分類和解題思路探究［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下半月），2023（3）：81-83.

［責(zé)任編輯：李 璟］