摘 要：中考數(shù)學(xué)試題是命題專家依據(jù)新課程標(biāo)準(zhǔn)精心命制的優(yōu)質(zhì)課程資源，對初中數(shù)學(xué)教學(xué)具有一定的導(dǎo)向作用.基于此，筆者分析一道中考試題解法的不嚴(yán)謹(jǐn)之處，并給出嚴(yán)謹(jǐn)解答，對其進(jìn)行變式拓展.通過研究得出啟示，在日常教學(xué)中要始終保持質(zhì)疑精神.

關(guān)鍵詞：中考試題；解法分析；嚴(yán)謹(jǐn)性；變式拓展

中圖分類號：G632 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1008-0333（2024）29-0056-03

收稿日期：2024-07-15

作者簡介：徐正友（1979.11—），男，江蘇省沛縣人，本科，中小學(xué)一級教師，從事初中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

解題是數(shù)學(xué)教師的基本功，一位合格的數(shù)學(xué)教師必須具備良好的解題能力. 中考試題是命題專家精心設(shè)計的，是鍛煉解題能力的精品課程資源，研究歷年中考試題是提升教師專業(yè)素養(yǎng)的有效途徑.筆者研究發(fā)現(xiàn)，有時候參考資料或網(wǎng)絡(luò)資源給出的試題參考答案存在錯漏之處.例如，解答過程不嚴(yán)謹(jǐn)、討論不充分等.基于此，筆者對2022年泰州市中考數(shù)學(xué)第16題進(jìn)行深入研究，并分析參考資料和網(wǎng)絡(luò)上流行解法的不嚴(yán)謹(jǐn)之處［1］，供讀者參考.

1 試題呈現(xiàn)

例1 （2022年泰州市中考數(shù)學(xué)第16題）如圖 1，△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，點O為△ABC的內(nèi)心，過點O作直線交AC，AB邊于點D，E， 若DE=CD+BE， 則CD的長為_______.

本題綜合性較強(qiáng)，思維含量較高，具有很好的區(qū)分度.對學(xué)生而言難度較大，是一道填空壓軸題.

2 解法分析

首先呈現(xiàn)參考資料和網(wǎng)絡(luò)上流行的解法，并分析其中存在的不妥之處.

解法1 （第1種情況）如圖2所示， 過點O作直線DE⊥AC，分別與直線AC，AB交于點D，E.連接OB，OC.

因為BC⊥AC，所 以DE∥BC，所以∠CBO=∠BOE，∠BCO=∠DOC.因為O為△ABC的內(nèi)心，所以O(shè)B平分∠ABC，OC平分∠ACB，所以∠CBO=∠EBO，∠BCO=∠DCO，所以∠BOE=∠EBO，∠DOC=∠DCO，所以BE=OE，CD=OD，從而可得DE=OD+OE=CD+BE.

在Rt△ABC中，易知AB=BC2+AC2=62+82=10. 因為DE∥BC，所以△AED∽△ABC，所以AEAB=ADAC=DEBC.設(shè)CD=OD=x，BE=OE=y，則AD=AC-CD=8-x，DE=OD+OE=x+y，AE=AB-BE=10-y.從而可知10-y10=8-x8=x+y6，解得x=2，y=52，所以CD=2.

（第2種情況）如圖 3， 過點O作直線D′E′⊥AB，分別與直線AC，AB交于點D′，E′.連接AO.

因為O為△ABC的內(nèi)心，所以O(shè)A平分∠CAB，又因為OD⊥AC，OE′⊥AB，所以AD=AE′.又因為∠DOD′=∠E′OE，所以Rt△DOD′≌Rt△E′OE，所以O(shè)D′=OE，DD′=EE，所以D′E′=OD′+OE′=OE+OD=DE，CD′+BE′=CD-DD′+BE+EE′=CD+BE.又因為DE=CD+BE，所以D′E′=CD′+BE′.易知△AE′D′∽△ACB，所以AE′AC=AD′AB=D′E′BC.設(shè)CD′=x，BE′=y，則AD′=AC-CD′=8-x，D′E′=D′O+OE′=x+y，AE′=AB-BE′=10-y，所以10-y8=8-x10=x+y6，解得x=12，y=4，所以CD′=12.

綜上所述，CD的長為2或12.

解法1屬于幾何解法，其中有兩處值得商榷：一是通過作DE⊥AC和D′E′⊥AB可以得到兩條滿足題目條件的線段，但這種作法是如何想到的呢？二是以上方法可以得到兩個滿足要求的解，那么是否還存在其他解呢？以上方法無法回答這個問題. 因此，嚴(yán)格來說，解法1是不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)模@一解法可以求出兩個解，但無法說明是否還存在其他解，有可能造成漏解的情況. 即使確實只有以上兩個解，也需要給出嚴(yán)謹(jǐn)?shù)淖C明［2］.

解法2 如圖4，過點O作MN⊥AC， 分別交AC于點M， 交AB于點N， 過點O作OF⊥BC，垂足為點F， 過點E作EG⊥AC，垂足為點G，過點E作EH⊥BC，垂足為點H.

在Rt△ABC中，易知AB=10. 因為點O是△ABC的內(nèi)心， 設(shè)△ABC的內(nèi)切圓半徑為r，則OF=OM=r，易知S△AOB+S△BOC+S△AOC=12AB·r+12BC·r+12AC·r=12AB+BC+AC·r=12r，S△ABC=12AC·BC=24. 又因為S△ABC=S△AOB+S△BOC+S△AOC，所以r=2，所以O(shè)F=OM=CF=CM=2. 易知△EBH∽△ABC，所以設(shè)BH=3x，那么EH=4x，BE=5x. 再設(shè)CD=y. 那么， DE=CD+BE=y+5x，DM=CM-CD=2-y，DG=CG-CD=4x-y，EG=CH=BC-BH=6-3x. 在Rt△EDG中， 根據(jù)勾股定理可知DG2+EG2=DE2， 即（4x-y）2+（6-3x）2=（y+5x）2，化簡得xy=2-2x. 另一方面，易知△DOM∽△DEG，所以DMDG=OMEG， 即2-y4x-y=26-3x， 整理得3xy=14x+4y-12，聯(lián)立兩個方程，得2y2-5y+2=0， 解得y1=12，y2=2. 所以，CD的長為2或12.

這種解法說明例1確實只有2和12兩個解，不存在其他解. 因此，通過代數(shù)運算，給出了例1完整且嚴(yán)謹(jǐn)?shù)慕獯?，這是對幾何解法的補(bǔ)充.

3 試題變式

在例1中，點D在Rt△ABC的直角邊AC上，若將這一條件修改為點D在Rt△ABC的直角邊BC上，同時將條件DE=CD+BE修改為DE=CD+AE，那么CD的長有幾種可能呢？

變式1 如圖 1，△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，點O為△ABC的內(nèi)心，過點O作直線交BC，AB邊于點D，E，若DE=CD+AE，則CD的長為_______.

解法1 如圖5， 過點O作直線DE⊥BC，分別與直線BC，AB交于點D，E.連接OA，OC.

類似例1，可證CD=DO，AE=OE，所以DE=DO+OE=CD+AE.在Rt△ABC中，由勾股定理易知AB=BC2+AC2=62+82=10. 因為DE∥AC，所以△EBD∽△ABC，所以BEAB=BDBC=DEAC.設(shè)CD=OD=x，AE=OE=y，則BD=BC-CD=6-x，DE=OD+OE=x+y，BE=AB-AE=10-y，所以10-y10=6-x6=x+y8，解得x=2，y=103，所以CD=2.

如圖 6，過點O作直線D′E′⊥AB，與直線AB交于點E′，可以發(fā)現(xiàn)此時直線D′E′與BC的交點在BC的延長線上，故此時不存在滿足要求的線段.

ShGmBYSnqiHZ+4drqJSK/g==綜上所述，CD的長為2.

類似例1，以上解法也是不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?，還需要通過代數(shù)方法說明不存在其他解.

解法2 如圖7，過點O作MN⊥AC，分別交AC于點M，交AB于點N.過點O作OF⊥BC，垂足為點F.過點E作EG⊥AC，垂足為點G.過點E作EH⊥BC，垂足為點H.

易知OF=OM=CF=CM=2. 易知△AEG∽△ABC，設(shè)EG=3x，CD=y，那么AG=4x，AE=5x，易知DE=CD+AE=y+5x，DF=CF-CD=2-y，DH=CH-CD=EG-CD=3x-y，EH=CG=AC-AG=8-4x. 在Rt△EDH中， 根據(jù)勾股定理可知DH2+EH2=DE2， 即（3x-y）2+（8-4x）2=（y+5x）2，化簡得xy=4-4x. 另一方面，易知△DOF∽△DEH，所以DFDH=OFEH， 即2-y3x-y=28-4x， 整理得2xy=7x+3y-8，聯(lián)立兩個方程，得3y2-4y-4=0， 解得y1=2，y2=-23（舍去）. 所以CD的長為2.

4 結(jié)束語

通過研究發(fā)現(xiàn)，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要始終保持質(zhì)疑態(tài)度，對教學(xué)資料或網(wǎng)絡(luò)上的試題和參考答案一定要從專業(yè)角度深入思考，切不可不加選擇地直接照搬.

參考文獻(xiàn)：［1］ 張松柏.青年教師專業(yè)發(fā)展應(yīng)注重的五種基本能力［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（下旬），2021（8）：64-66.

［2］ 崔道美.初中數(shù)學(xué)解題能力的培養(yǎng)策略［J］.數(shù)理化解題研究，2020（35）：13-14.

［責(zé)任編輯：李 璟］