摘 要：“一題多解”是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的重要途徑.基于此，筆者分析“一題多解”的價(jià)值，深入研究2023年蘇州中考數(shù)學(xué)第16題，從不同角度出發(fā)，給出試題的多種解法，旨在幫助學(xué)生靈活應(yīng)用不同的方法分析問題和解決問題的能力，以此培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力.

關(guān)鍵詞：一題多解；直角三角形；構(gòu)造；解法

中圖分類號(hào)：G632 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1008-0333（2024）29-0062-03

收稿日期：2024-07-15

作者簡介：張新如（2001.4—），女，江蘇省淮安人，研究生在讀，從事數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

中考是對學(xué)生學(xué)習(xí)成果的綜合檢驗(yàn)，中考數(shù)學(xué)試題主要考查學(xué)生的數(shù)學(xué)知識(shí)、解決問題的能力、邏輯推理能力和數(shù)學(xué)思維能力.在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師經(jīng)常強(qiáng)調(diào)唯一正確的答案和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬐茖?dǎo)，但是在實(shí)際解題過程中常出現(xiàn)學(xué)生用不同方法解決同一道題目的情況，這正是數(shù)學(xué)中一個(gè)令人著迷的領(lǐng)域——“一題多解”.筆者以2023年蘇州中考數(shù)學(xué)第16題為例，從不同角度探尋問題的解法，以此提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力.

1 幾何問題“一題多解”的價(jià)值

“一題多解”是指同一個(gè)問題可以有多種不同的解法.初中幾何問題的“一題多解”通常需從已知條件出發(fā)，根據(jù)圖形結(jié)構(gòu)特征，作出不同的輔助線，建立已知條件與所求結(jié)論之間的邏輯關(guān)系，從而為解決問題創(chuàng)造有利條件［1］ .幾何問題“一題多解”有著重要的價(jià)值.在解題中，教師應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生尋求“一題多解”，培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性和創(chuàng)造力，使學(xué)生能夠在面對問題時(shí)靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)尋找有效的解決方案.在尋求“一題多解”的過程中，學(xué)生能夠增強(qiáng)問題意識(shí)，有助于培養(yǎng)學(xué)生的批判性思維和分析能力，他們可以從不同角度審視問題，并提出更合理的解決方案.“一題多解”往往具有一定的挑戰(zhàn)性和創(chuàng)造性，通過解決多解題目，學(xué)生能夠感受到解決問題的成就感，從而更愿意投入到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中去.

2 試題呈現(xiàn)

如圖1，∠BAC=90°，AB=AC=32，過點(diǎn)C作CD⊥BC，延長CB到E，使BE=13CD，連接AE，ED.若ED=2AE，則BE=_______.

3 試題分析

本題是一道以直角三角形為載體的幾何計(jì)算問題，題目簡潔明了，圖形一目了然.從圖形結(jié)構(gòu)可以看出，雖然BE在直角三角形的一條直角邊上，但是并不能直接利用勾股定理得出結(jié)果. 在初中階段，解決線段長度問題有四大法寶——勾股定理、相似三角形、銳角函數(shù)和面積法［2］.在解決問題過程中，充分利用好這些法寶是解決本題的關(guān)鍵.

首先，從直觀圖形出發(fā)，圖1中有兩個(gè)直角三角形，其中一個(gè)是等腰直角三角形，故可以考慮利用其性質(zhì)構(gòu)造輔助線求解；其次，圖1中有兩個(gè)直角，可嘗試建立平面直角坐標(biāo)系來解決問題.從所求線段來看，欲求線段BE的長，聯(lián)想到直角三角形的邊角關(guān)系，可利用三角函數(shù)求解.除此之外，還可構(gòu)造出與線段BE相等的線段，故利用圖形變換求解.

4 解法探究

4.1 利用等腰直角三角形的性質(zhì)列方程求解

解法1 如圖2，過點(diǎn)A作AF⊥CE于點(diǎn)F.

因?yàn)锳B=AC=32，∠BAC=90°，所以BE=CF=AF=3.設(shè)BE=x，則由BE=13CD得CD=3x.在Rt△CDE和Rt△AEF中，由勾股定理得

DE2=CE2+CD2=（x+6）2+9x2，AE2=AF2+EF2=32+（x+3）2.由DE=2AE得DE2=4AE2，所以x+62+9x2=432+（x+3）2，化簡得x2-2x-6=0，解得x=7+1或x=-7+1（不合題意，舍去），從而可知BE=7+1.

解法2 如圖3，過點(diǎn)E作EQ⊥CA，交CA的延長線于點(diǎn)Q.

設(shè)BE=x，AE=y，則CD=3x，ED=2y.因?yàn)锳B=AC=32，∠BAC=90°，所以BC=6，則CE=6+x.因?yàn)椤螧AC=90°，AB=AC=32，所以△CQE是等腰直角三角形，所以QE=QC=22CE=32+22x，所以AQ=22x.在Rt△CDE和Rt△AEQ中，由勾股定理得（2y）2=（6+x）2+（3x）2，y2=（22）2+（32+22x）2，解得x=7+1（負(fù)根已舍去），即BE=7+1.

點(diǎn)評 這兩種解法的本質(zhì)相同，都是利用等腰直角三角形的性質(zhì)作出輔助線，找到已知線段與所求線段之間的數(shù)量關(guān)系，并運(yùn)用勾股定理列方程求解.在解決幾何問題時(shí)，構(gòu)造輔助線是解決的問題有效途徑，對學(xué)生創(chuàng)造性思維要求較高.

4.2 利用相似三角形和勾股定理列方程求解

解法3 如圖3， 過點(diǎn)E作EQ⊥CA的延長線于點(diǎn)Q.設(shè)BE=x，易證△ACB∽△QCE，則有ACQA=BCEB，所以QA=22x.在Rt△CDE和Rt△AEQ中，由勾股定理得DE2=CE2+CD2=x+62+9x2，AE2=AQ2+EQ2=（22x）2+12（x+6）2.由DE=2AE得DE2=4AE2，化簡得x2-2x-6=0，易得x=7+1（負(fù)根已舍去），即BE=7+1.

點(diǎn)評 根據(jù)圖形結(jié)構(gòu)特征，構(gòu)造直角三角形，利用相似三角的性質(zhì)和勾股定理，列方程求解也是處理線段長問題的最基本方法.這種解法與解法2構(gòu)造輔助線的方法相同，但解題思路卻截然不同，同時(shí)掌握這兩種方法有助于培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維.

4.3 利用旋轉(zhuǎn)變換構(gòu)造等腰直角三角形求解

解法4 如圖4，將△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ACG，則AE=AG，BE=CG.設(shè)BE=x=CG，AE=y=AG，則CD=3x，ED=2y，EG=2y.因?yàn)锳B=AC=32，∠BAC=90°，所以BC=6，則CE=6+x.在Rt△ECG和Rt△ECD中，由勾股定理得（2y）2=（6+x）2+（x）2，（2y）2=（6+x）2+（3x）2，易得x=7+1（負(fù)根已舍去），即BE=7+1.

點(diǎn)評 當(dāng)幾何圖形中含有公共端點(diǎn)且長度相等的線段時(shí)，可以考慮借助圖形的旋轉(zhuǎn)變換，實(shí)現(xiàn)某些邊與角的轉(zhuǎn)移，使其集中在某一個(gè)特殊圖形中，然后借助特殊圖形的性質(zhì)解決問題.

4.4 利用面積法求解

解法5 如圖5， 過點(diǎn)A作AM⊥CE于點(diǎn)M，過點(diǎn)E作EN⊥CA，交CA的延長線于點(diǎn)N.

由已知條件得AM=3，設(shè)BE=x，AE=y，則CD=3x，ED=2y.故S△ACE=12EC·AM=12AC·NE，求出NE長即可得出方程求解.易證△ACB∽△NCE，則有ACNA=BCEB，所以NA=22x.在Rt△ANE中，可得NE2=AE2-AN2=y2-12x2，所以（6+x）×3=32×y2-12x2，（x+6）2+（3x）2=（2y）2，解得x=7+1（負(fù)根已舍去），即BE=7+1.

點(diǎn)評 這種解法容易想到，但是求解過程中的計(jì)算量較大，涉及的知識(shí)點(diǎn)多，綜合運(yùn)用了相似三角形的性質(zhì)和勾股定理，需要學(xué)生有較強(qiáng)的數(shù)學(xué)邏輯思維能力，這對學(xué)生而言具有一定的難度.

4.5 利用三角函數(shù)和勾股定理求解

解法6 如圖1，根據(jù)已知條件， 因?yàn)锳B=AC=32，∠BAC=90°，所以BC=6，∠ACB=45°.設(shè)BE=x，則CD=3x，EC=EB+BC=x+6.因?yàn)镃D⊥BC，所以ED2=EC2+CD2=x+62+3x2.因?yàn)镋D=2AE，所以AE2=14ED2=14［x+62+3x2］.在△ACE中，AE2=AC2+CE2-2AC·CE·cos∠ACE，即14x+62+3x2=322+x+62-2×32×（x+6）×22，解得x=7+1（負(fù)根已舍去），即BE=7+1.

點(diǎn)評 這種方法在初中階段暫時(shí)還未學(xué)到，學(xué)有余力的學(xué)生可以嘗試學(xué)習(xí)并求解.利用余弦定理求解不需作任何輔助線，根據(jù)條件中的等腰直角三角形即可聯(lián)想到特殊角，而特殊角的三角函數(shù)值是特殊值，這是遇到特殊角度時(shí)常用的解題策略.

5 解題反思

從試題的解決過程可以看出，其核心是方程思想，即靈活運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)、勾股定理、三角函數(shù)等知識(shí)列出相關(guān)方程，通過解方程最終解決問題.由此可以看出，解決三角形問題的思路和方法非常靈活，但其解法是有章可循的.在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生跳出題海，尋找解決問題的通性通法，不斷提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力.

6 結(jié)束語

在初中數(shù)學(xué)解題過程中，不同的解法對學(xué)生的思維要求也不同.“一題多解”，不僅能夠培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維、邏輯思維、抽象思維和探索性思維，而且還能提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力，提升其數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

參考文獻(xiàn)：［1］ 蔣浩文，余志淵.借一題多解，助數(shù)學(xué)思維發(fā)展：以一道初中幾何題為例［J］.數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2022（20）：85-88.

［2］ 李加祿.聯(lián)想探究 延伸推廣：對2022年貴陽中考數(shù)學(xué)第16題的深層次思考［J］.初中數(shù)學(xué)教與學(xué)，2023（11）：24-26，42.

［責(zé)任編輯：李 璟］