摘 要：信息技術(shù)背景下，線上線下混合式教學(xué)是一種教學(xué)方法，其融合了線下教學(xué)和在線教學(xué)的優(yōu)勢(shì).以“圓的對(duì)稱(chēng)性”為例，探討線上線下混合式教學(xué)在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用.線上時(shí)，學(xué)生可以訪問(wèn)多媒體教學(xué)資源和互動(dòng)練習(xí)，以便更好地理解圓的對(duì)稱(chēng)性概念；線下時(shí)，教師可以引導(dǎo)學(xué)生動(dòng)手操作，并運(yùn)用“圓的對(duì)稱(chēng)性”分析問(wèn)題和解決問(wèn)題，強(qiáng)化學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力.

關(guān)鍵詞：混合式教學(xué)；初中數(shù)學(xué)；數(shù)學(xué)教學(xué)；圓的對(duì)稱(chēng)性

中圖分類(lèi)號(hào)：G632 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1008-0333（2024）29-0020-03

收稿日期：2024-07-15

作者簡(jiǎn)介：季葉紅（1983.1—），女，江蘇省常熟人，本科，中學(xué)高級(jí)教師，從事初中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

隨著信息技術(shù)的發(fā)展和教學(xué)方式的不斷改進(jìn)，線上線下混合式教學(xué)成為現(xiàn)代教育的重要趨勢(shì).筆者以“圓的對(duì)稱(chēng)性”為例，深入探討如何利用線上線下混合式教學(xué)，使學(xué)生深度理解所學(xué)知識(shí)，從而提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效果，提升其數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

1 線上線下混合式教學(xué)設(shè)計(jì)

1.1 線上預(yù)習(xí)環(huán)節(jié)教學(xué)設(shè)計(jì)

課前預(yù)習(xí)是混合式教學(xué)的關(guān)鍵環(huán)節(jié)之一.首先，教師在線上教學(xué)平臺(tái)提供教材和資源，這些資源可以隨時(shí)隨地訪問(wèn)，學(xué)生能夠按需學(xué)習(xí).其次，設(shè)計(jì)互動(dòng)性強(qiáng)的在線學(xué)習(xí)任務(wù)，如在線測(cè)驗(yàn)、討論板等，幫助學(xué)生鞏固知識(shí)，促使其主動(dòng)參與學(xué)習(xí)過(guò)程.教師可以利用線上互動(dòng)交流功能解答疑問(wèn)、講解難點(diǎn)、實(shí)際演示等，引導(dǎo)學(xué)生更好地理解和應(yīng)用他們?cè)谡n前預(yù)習(xí)中學(xué)到的知識(shí).最后，為評(píng)估學(xué)生的學(xué)習(xí)成果，教師可以利用在線測(cè)驗(yàn)、作業(yè)和小組項(xiàng)目等方式進(jìn)行定期評(píng)估，這有助于教師了解學(xué)生的學(xué)習(xí)進(jìn)展，并及時(shí)調(diào)整線下教學(xué)策略，具體設(shè)計(jì)如下：

學(xué)習(xí)目標(biāo)：理解圓的對(duì)稱(chēng)性.

內(nèi)容設(shè)計(jì)：①學(xué)習(xí)導(dǎo)入：借助移動(dòng)設(shè)備為學(xué)生展示摩天輪圍繞軸心旋轉(zhuǎn)的動(dòng)畫(huà)，提出問(wèn)題：“摩天輪繞軸心旋轉(zhuǎn)180°后是否與初始位置重合？”以此導(dǎo)入新知識(shí)，激發(fā)學(xué)生對(duì)“圓的對(duì)稱(chēng)性”有關(guān)知識(shí)的學(xué)習(xí)興趣.②概念理解：理解中心對(duì)稱(chēng)和圓的對(duì)稱(chēng)性，并給出與其有關(guān)的圖形，演示中心對(duì)稱(chēng)的概念.③互動(dòng)合作：學(xué)生參與在線討論，并回答問(wèn)題.學(xué)生可以在論壇上互相回復(fù)，分享觀點(diǎn)和想法.④自我評(píng)估：學(xué)生完成在線自測(cè)，包括選擇題和簡(jiǎn)答題，以測(cè)試對(duì)知識(shí)的理解程度.教師可以查看成績(jī)和正確答案，為接下來(lái)的課堂教學(xué)設(shè)計(jì)提供理論依據(jù).

1.2 課中教學(xué)環(huán)節(jié)設(shè)計(jì)

在混合式教學(xué)中，線下課堂應(yīng)側(cè)重于教學(xué)內(nèi)容的重點(diǎn)和難點(diǎn).基于此，在學(xué)習(xí)“圓的對(duì)稱(chēng)性”時(shí)，設(shè)計(jì)以下教學(xué)內(nèi)容，以此突破學(xué)習(xí)重點(diǎn)和難點(diǎn).

1.2.1 利用問(wèn)題探索圓的對(duì)稱(chēng)性

問(wèn)題1 在同圓或等圓中，圓心角、弧、弦之間存在怎樣的關(guān)系？

設(shè)計(jì)意圖：設(shè)計(jì)此問(wèn)題，旨在引導(dǎo)學(xué)生探索同圓或等圓中圓心角、弧、弦之間的關(guān)系，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維和問(wèn)題解決能力.

問(wèn)題2 在圓心角、弧、弦這三個(gè)量中，圓心角的大小可以用度數(shù)刻畫(huà)，弦的大小可以用長(zhǎng)度刻畫(huà)，那么弧的大小如何刻畫(huà)？

設(shè)計(jì)意圖：在認(rèn)識(shí)圓的對(duì)稱(chēng)性的基礎(chǔ)上，進(jìn)行擴(kuò)展性學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力.首先，引導(dǎo)學(xué)生思考：可以用“度數(shù)”刻畫(huà)圓心角的大小，用“長(zhǎng)度”刻畫(huà)弦的長(zhǎng)短，如何刻畫(huà)弧的大小？以此引導(dǎo)學(xué)生感受引入“弧度”的必要性.為此，教師引導(dǎo)學(xué)生理解同圓中圓心角與其對(duì)應(yīng)的弧之間的關(guān)系，讓學(xué)生從中理解“弧度”的概念.在教學(xué)過(guò)程中，教師可借助信息技術(shù)將整個(gè)圓等分成360份，1度的圓心角對(duì)應(yīng)1度的弧.由此讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到，一條弧的大小可以利用“度數(shù)”刻畫(huà).需要強(qiáng)調(diào)的是，圓心角與其對(duì)應(yīng)弧的“度數(shù)”雖然相等，但它們屬于不同的圖形，不能直接視為相等.另外，度數(shù)相等的弧不一定是等弧.通過(guò)此問(wèn)題，學(xué)生不但能夠認(rèn)識(shí)刻畫(huà)弧的大小的方法，而且能夠理解圓心角和弧之間的關(guān)系.

1.2.2 利用易錯(cuò)問(wèn)題突破重點(diǎn)和難點(diǎn)

問(wèn)題3 如圖1，⊙O的直徑為10，AB=8，P是弦AB上的一點(diǎn)，若OP的長(zhǎng)度為整數(shù)，則滿足條件的點(diǎn)P有（ ）個(gè).

A.2 B.3 C.4 D.5

學(xué)生思考：如圖1，過(guò)點(diǎn)O作OM⊥AB，垂足為M，連接OA，OB.根據(jù)垂徑定理可得AM=BM=4.在Rt△AOM中，根據(jù)勾股定理可得OM=OA2-AM2=52-42=3.從而3≤OP≤5，由此可知長(zhǎng)度為整數(shù)的線段OP有3個(gè)，即OP=3或4或5，故選B.

教師點(diǎn)評(píng)：解題過(guò)程正確，但答案錯(cuò)誤，因?yàn)檫z漏了圓的軸對(duì)稱(chēng)性，正確答案應(yīng)為5個(gè)，故選D.

問(wèn)題4 如圖3所示，點(diǎn)P是半徑為5的⊙O內(nèi)一點(diǎn)，且OP=3，過(guò)點(diǎn)P的弦中長(zhǎng)度為整數(shù)的有（ ）條.

A.2 B.3 C.4 D.5

學(xué)生思考：設(shè)過(guò)點(diǎn)P的弦長(zhǎng)為x.如圖2，過(guò)點(diǎn)P的最長(zhǎng)弦為AB，最短弦為MN，且垂直于OP.連接OM，在Rt△MOP中，因?yàn)镺P=3，MP=4，所以O(shè)M=OP2+PM2=32+42=5，所以AB=10.由垂徑定理可得MN=8.因此8≤x≤10，所以x=8或9或10，從而得出答案為3條，故選B.

教師點(diǎn)評(píng)：由圓的軸對(duì)稱(chēng)性可知，過(guò)點(diǎn)P且長(zhǎng)度為9的弦有兩條，故正確答案為4條，選C.

設(shè)計(jì)意圖：這兩個(gè)問(wèn)題為學(xué)生提供了練習(xí)的機(jī)會(huì)，幫助其鞏固解題圓的對(duì)稱(chēng)性.通過(guò)漏解不但能夠強(qiáng)調(diào)圓的對(duì)稱(chēng)性在幾何計(jì)算中的重要性，而且還能加深學(xué)生對(duì)圓的對(duì)稱(chēng)性的理解.錯(cuò)題反思可幫助學(xué)生提高運(yùn)用所學(xué)知識(shí)分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，降低解題的錯(cuò)誤率，提升其數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)［1］.

問(wèn)題5 如圖3所示，AM為⊙O直徑，過(guò)點(diǎn)B作BN⊥AM，垂足為N，延長(zhǎng)線交⊙O于C，弦CD交AM于點(diǎn)E.如果弦CD交AB于點(diǎn)F，且CD=AB.求證：CE2=EF·ED.

解析 如圖3，連接AC，BD，BE.因?yàn)锳M為⊙O直徑，BN⊥AM，所以點(diǎn)B與點(diǎn)C點(diǎn)關(guān)于AM對(duì)稱(chēng)，從而B(niǎo)E=CE.只需證明△BEF∽△DEB，即可得出CE2=EF·ED.因?yàn)椤螮BF與∠ECA關(guān)于AM對(duì)稱(chēng)，所以∠EBF=∠ECA.又∠ECA=∠DBF，所以∠DBF=∠EBF.由CD=AB易知AD=BC，所以∠BDE=∠DBF，所以∠EBF=∠BDE.又因?yàn)椤螧EF=∠DEB，所以△BEF∽△DEB，從而可得EFBE=BEED，所以BE2=EF·ED，所以CE2=EF·ED.

變式 如果弦CD、AB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F，且CD=AB，那么問(wèn)題5中的結(jié)論是否仍然成立？

解析 如圖4所示，連接AC，BD， BE.因?yàn)辄c(diǎn)B與點(diǎn)C關(guān)于AM對(duì)稱(chēng)，所以BE=CE.令∠ACB=α，∠BCF=β，則∠ABC=α，∠CBE=β.由CD=AB易知AB=CD，所以∠CBD=∠ACB=α，所以∠DBE=α-β.又因?yàn)椤螦BC=∠F+∠BCF，所以∠F=∠ABC-∠BCF=α-β，所以∠DBE=∠F，又因?yàn)椤螧EF=∠DEB，所以△BEF∽△DEB，從而可知問(wèn)題5中的結(jié)論仍成立.

設(shè)計(jì)意圖：對(duì)典型問(wèn)題進(jìn)行分析，能夠幫助學(xué)生更加清晰地理解相關(guān)問(wèn)題的求解思路，并通過(guò)問(wèn)題變式，引導(dǎo)學(xué)生靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決復(fù)雜問(wèn)題，從而提高學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力.

1.3 線上復(fù)習(xí)教學(xué)設(shè)計(jì)

相比傳統(tǒng)線下復(fù)習(xí)教學(xué)，線上課后復(fù)習(xí)更具有針對(duì)性.教師可依托線上教學(xué)平臺(tái)，構(gòu)建智慧化復(fù)習(xí)體系，讓不同學(xué)生都能獲取自身需要的復(fù)習(xí)內(nèi)容，從而提高復(fù)習(xí)效果［2］.以“圓的對(duì)稱(chēng)性”為例，教師可將課堂知識(shí)進(jìn)行模塊化分解，設(shè)計(jì)為層次化習(xí)題，讓學(xué)生能根據(jù)自身學(xué)習(xí)情況挑選復(fù)習(xí)內(nèi)容.

問(wèn)題6 在兩張透明紙上，分別作兩個(gè)半徑相等的圓⊙O和⊙O′，沿著圓周，將兩個(gè)圓剪下來(lái)，在圓⊙O和⊙O′上分別作圓心角∠AOB和∠A′O′B′，使∠AOB=∠A′O′B′，并固定圓心不動(dòng).

（1）在作∠AOB和∠A′O′B′時(shí)，為什么要確保OA與O′A′的方向一致，OB與O′B′的方向一致？

（2）驗(yàn)證圓心角定理時(shí)，為什么需要旋轉(zhuǎn)其中一個(gè)圓，使OA與O′A′重合？

（3）當(dāng)OA與O′A′重合時(shí)，你能得到什么結(jié)論？

2 線上線下混合式教學(xué)反思

2.1 設(shè)計(jì)問(wèn)題串，引導(dǎo)學(xué)生深度學(xué)習(xí)

在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，創(chuàng)設(shè)問(wèn)題串是一種重要的教學(xué)策略.在設(shè)計(jì)問(wèn)題串時(shí)，教師需根據(jù)教學(xué)內(nèi)容和學(xué)生實(shí)際情況進(jìn)行設(shè)計(jì)，以確保實(shí)現(xiàn)教學(xué)目標(biāo).首先，問(wèn)題串應(yīng)從相對(duì)簡(jiǎn)單的問(wèn)題開(kāi)始，逐漸增加難度，以適應(yīng)不同學(xué)生的學(xué)習(xí)需求.在“圓的對(duì)稱(chēng)性”教學(xué)中，教師可從最簡(jiǎn)單的問(wèn)題入手設(shè)計(jì)問(wèn)題.例如，尋找圓上的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，然后，教師可利用問(wèn)題串引導(dǎo)學(xué)生思考更復(fù)雜的問(wèn)題.其次，問(wèn)題串應(yīng)涵蓋多個(gè)知識(shí)點(diǎn).在學(xué)習(xí)“圓的對(duì)稱(chēng)性”時(shí)，問(wèn)題串可以包括對(duì)稱(chēng)圖形的性質(zhì)、對(duì)稱(chēng)軸的特征、對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的特征等，使學(xué)生全面理解有關(guān)概念，提高教學(xué)效果.

2.2 強(qiáng)化教學(xué)設(shè)計(jì)，實(shí)現(xiàn)線上線下教學(xué)有效聯(lián)動(dòng)

為提升初中數(shù)學(xué)教學(xué)效果，教師需強(qiáng)化教學(xué)設(shè)計(jì)整體布局，實(shí)現(xiàn)線上線下教學(xué)的有效聯(lián)動(dòng)，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效果.一是教學(xué)內(nèi)容銜接方面，教師要確保線上和線下教學(xué)環(huán)節(jié)緊密銜接；二是學(xué)習(xí)目標(biāo)設(shè)計(jì)方面，教師確保線上和線下教學(xué)目標(biāo)的一致性.這有助于學(xué)生明確學(xué)習(xí)目標(biāo)，并增強(qiáng)教學(xué)活動(dòng)的針對(duì)性.

3 結(jié)束語(yǔ)

在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，線上線下混合式教學(xué)有助于學(xué)生更好地理解和應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí).為進(jìn)一步提升混合式教學(xué)效果，教師需精心設(shè)計(jì)教學(xué)過(guò)程，及時(shí)反思教學(xué)效果.通過(guò)持續(xù)探索和改進(jìn)，為學(xué)生提供更豐富、更靈活、更有深度的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)體驗(yàn).

參考文獻(xiàn)：［1］ 張閩.以圓的對(duì)稱(chēng)性貫穿平面三角運(yùn)算教學(xué)［J］.數(shù)學(xué)教學(xué)，2022（5）：7-11，6.

［2］ 孫凱.遞進(jìn)式問(wèn)題鏈的教學(xué)設(shè)計(jì)與思考：以蘇科版“圓的對(duì)稱(chēng)性（1）”為例［J］.數(shù)學(xué)通訊，2022（5）：10-12.

［責(zé)任編輯：李 璟］