《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版2020年修訂）》指出：“高中數(shù)學教學以發(fā)展學生數(shù)學學科核心素養(yǎng)為導向，創(chuàng)設(shè)合適的教學情境，啟發(fā)學生思考，引導學生把握教學內(nèi)容的本質(zhì)。提倡獨立思考、自主學習、合作交流等多種學習方式，激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣，培養(yǎng)良好的學習習慣，促進學生實踐能力和創(chuàng)新意識的發(fā)展。”在平時的教學中，教師只有正確把握教學方向，優(yōu)化教學設(shè)計，才能幫助學生有效理解知識的本質(zhì)，把握數(shù)學的本質(zhì)，靈活運用知識，掌握思想與方法，構(gòu)建知識體系，從而能有意識地用數(shù)學的眼光觀察現(xiàn)實世界，會用數(shù)學思維思考現(xiàn)實世界，會用數(shù)學語言表達現(xiàn)實世界。

一、教學內(nèi)容分析

“函數(shù)的基本性質(zhì)（1）”是上教版高中數(shù)學教材必修一第五章第二節(jié)“函數(shù)的基本性質(zhì)”的第一課時。本章是在初中和上一章學過的一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)這些具體函數(shù)基礎(chǔ)上歸納共性，討論函數(shù)的基本性質(zhì)。對于函數(shù)的奇偶性，教材從學生熟悉的兩個特殊函數(shù)入手，從特殊到一般，從具體到抽象，從感性到理性，比較系統(tǒng)地介紹了函數(shù)的奇偶性。另外，由于初中關(guān)于“軸對稱”“中心對稱”缺少嚴格的、可以用來進行代數(shù)檢驗的定義，在本教材中用一句話點明了軸對稱、中心對稱的實質(zhì)。最終讓學生體會到利用函數(shù)奇偶性研究函數(shù)的性質(zhì)可以獲得事半功倍的效果，為后續(xù)研究函數(shù)的其他性質(zhì)做鋪墊。

二、教學目標及重、難點

教學目標：

1.經(jīng)歷函數(shù)奇偶性概念的形成過程，理解偶函數(shù)與奇函數(shù)的概念與圖象特征，體會數(shù)形結(jié)合、從特殊到一般等數(shù)學思想方法，發(fā)展直觀想象、數(shù)學抽象的素養(yǎng)。

2.會在簡單情形下利用定義證明函數(shù)為奇函數(shù)或偶函數(shù)，發(fā)展邏輯推理素養(yǎng)。

教學重點：理解偶函數(shù)和奇函數(shù)的概念和圖象特征。

教學難點：奇函數(shù)、偶函數(shù)的圖象特征的代數(shù)表達形式及其推理論證。

三、教學過程

（一）觀圖激趣，引入新課

教師用多媒體展示圖1、圖2，讓學生欣賞生活中的“對稱美”。

（設(shè)計意圖：通過欣賞現(xiàn)實生活中具有對稱美的圖片，激發(fā)學生的學習興趣，并為學習函數(shù)的奇偶性作鋪墊。）

（二）復習舊知，溫故求新

【問題1】下列函數(shù)中，哪些函數(shù)的圖象關(guān)于軸成軸對稱？

（1）y=x2； （2）y=x3； （3）y=x-1； （4）y=x-

思考1：如何判斷函數(shù)圖象是否關(guān)于y軸成軸對稱呢？

我們知道一個圖形關(guān)于直線l軸成軸對稱，是指該圖形上的任意一點關(guān)于直線l的對稱點也在此圖象上。

思考2：如何借助一個圖形關(guān)于直線成軸對稱得到一個函數(shù)圖象關(guān)于軸成軸對稱呢？

一個函數(shù)圖象關(guān)于軸成軸對稱，是指該圖象上的任意一點關(guān)于軸的對稱點也在此圖象上。

（設(shè)計意圖：借助已學過的冪函數(shù)，尋找函數(shù)圖象關(guān)于y軸成軸對稱的函數(shù)，一方面對所學知識復習鞏固，另一方面為問題2做鋪墊。）

（三）探究概念，領(lǐng)悟內(nèi)涵

【問題2】函數(shù)y=f（x），x∈D圖象具有關(guān)于y軸成軸對稱的特征，其相應(yīng)的自變量與函數(shù)值的對應(yīng)關(guān)系是如何體現(xiàn)這個特征的？

借助函數(shù)y=x2說明f（x）=x2（見表1）。

觀察并猜想：函數(shù)y=x2，x∈R的圖象關(guān)于y軸成軸對稱，那么對于任意給定的x0∈R，都有-x0∈R，并且f（-x0）=f（x0）。

證明：在函數(shù)y=x2，x∈R的圖象上任取一點P（x0，y0），則y0=x02。

由于點P（x0，y0）關(guān)于y軸的對稱點為P′（-x0，y0）（如圖3所示）。因為函數(shù)y=x2的圖象關(guān)于y軸成軸對稱，那么P′（-x0，y0）也在函數(shù)圖象上，即-x0∈R，y0=（-x0）2，從而得到（-x0）2=x02。

思考3：由特殊函數(shù)推廣到一般函數(shù)結(jié)論是否依然成立呢？

求證：已知函數(shù)y=f（x），x∈D的圖象關(guān)于y軸成軸對稱，那么對于任意給定的x∈D都有-x∈D，并且f（-x）=f（x）。

證明：在函數(shù)y=f（x），x∈D的圖象G上任取一點P（x0，y0），就有x0∈D，并且y0=f（x0）.由于點P（x0，y0）關(guān)于y軸的對稱點為P′（-x0，y0）（如圖4所示）。 如果函數(shù)y=f（x），x∈D的圖象關(guān)于y軸成軸對稱，那么P′（-x0，y0）也在函數(shù)圖象G上，即-x0∈D，并且y0=f（-x0），得到f（-x0）=f（x0）.這說明，如果函數(shù)y=f（x），x∈D的圖象關(guān)于y軸成軸對稱，那么對于任意給定的x∈D，-x∈D均成立，并且f（-x）=f（x）。

【問題3】如果自變量與函數(shù)值的對應(yīng)關(guān)系滿足：對于任意給定的x∈D，均有-x∈D，并且f（-x）=f（x）時，那么該函數(shù)圖象具有關(guān)于y軸成軸對稱的特征嗎？

分析：即證明圖象上的任意一點關(guān)于y軸的對稱點也在此圖象上。

證明：如果對于任意給定的x∈D均有-x∈D，并且f（x）=f（-x），那么在函數(shù)y=f（x），x∈D圖象G上取任意一點P（x0，y0）且x0∈D（如圖5所示），即y0=f（x0）.它關(guān)于y軸的對稱點P′（-x0，y0），由于滿足-x0∈D，并且f（-x0）=f（x0），即點P′的坐標為（-x0，f（-x0）），則y0=f（-x0）.即點P′（-x0，f（-x0））也在該函數(shù)圖象上，因此該函數(shù)的圖象關(guān)于軸成軸對稱。

學生活動：閱讀教材偶函數(shù)的定義。

（設(shè)計意圖：從特殊到一般，從具體到抽象，先猜想再證明。通過問題2、3，得到“函數(shù)的圖象關(guān)于y軸成軸對稱”等價表達形式。）

【問題4】思考下列問題：

1．判斷函數(shù)y=x2，x∈［1，-2］是否為偶函數(shù)。

2.已知函數(shù)y=f（x），x∈D“任意給定的x∈D，有-x∈D”是“該函數(shù)為偶函數(shù)”的 條件。

3．判斷下列命題真假。

（1）已知函數(shù)y=f（x）（x∈R），是一個偶函數(shù)，則f（-2）=f（2）。

（2）已知函數(shù)y=f（x）（x∈R），若f（-2）=f（2），則函數(shù)y=f（x）是一個偶函數(shù)。

例1 證明：函數(shù)y=2x4-3x2是一個偶函數(shù)。

證明：函數(shù)y=2x4-3x2的定義域為R，

記f（x）=2x4-3x2，在R中任取一個實數(shù)x，都有-x∈D，并且f（-x）=2（-x）4-3（-x）2=2x4-3x2=f（x）

因此，y=2x4-3x2是一個偶函數(shù)。

（設(shè)計意圖：通過問題4進一步理解偶函數(shù)定義中的關(guān)鍵詞，體會到函數(shù)的奇偶性是函數(shù)的整體性質(zhì)。通過例1并進一步向?qū)W生展示用偶函數(shù)的定義證明一個函數(shù)是偶函數(shù)，并歸納證明的步驟。）

（四）類比方法，自主探究

學生活動：閱讀教材中奇函數(shù)的定義，完成下列表格。（見表2）

（設(shè)計意圖：學習函數(shù)奇偶性的定義后，學生可以自行選擇解題方法，進而掌握判定函數(shù)奇偶性的方法。）

（五）例題講解，鞏固新知

例3 是否存在定義在R上的，且既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)？若存在，求出所有滿足此條件的函數(shù)；若不存在，說明理由。

解：這樣的函數(shù)是存在的，函數(shù)y=0，x∈R就是一個滿足這些條件的函數(shù)。

設(shè)滿足這些條件的函數(shù)為y=f（x），對任意給定的實數(shù)x0，一方面因該函數(shù)是奇函數(shù)，故f（-x0）=-f（-x0）；另一方面，因該函數(shù)是偶函數(shù)，故f（-x0）=f（x0）。

因此f（x0）=-f（-x0），即f（x0）=0，所以這樣的函數(shù)只有一個，即y=0，x∈R。

【問題6】既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)是唯一的嗎？

函數(shù)y=0，x∈D（只要任意給定的x∈D，均有-x∈D即可）。

（設(shè)計意圖：在掌握偶函數(shù)、奇函數(shù)的定義的基礎(chǔ)上，將本節(jié)課的探究難度再一次提升，進一步理解并探究既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)，并得出相關(guān)的結(jié)論。）

（六）歸納小結(jié)，整體認知

1.本節(jié)課的主要知識是什么？

2.本節(jié)課感悟到了哪些思想和方法？

（設(shè)計意圖：通過反思式問題設(shè)置讓學生進行開放式的自主小結(jié)，積累探究經(jīng)驗，深化相關(guān)思考與認識，形成良好的認知結(jié)構(gòu)。）

（七）課后作業(yè)，拓展提高

【基礎(chǔ)練習】

1.若函數(shù)y=f（x）的定義域為R，則y=f（x）為奇函數(shù)的充要條件為（ ）

A.f（0）=0；

B.對任意x∈R，f（x）=0都成立；

C.存在某個x0∈R，使得f（x0）+f（-x0）=0；

D.對任意給定的x∈R，f（x）+f（-x）=0都成立。

2.設(shè)偶函數(shù)y=f（x）的定義域為［-5，5］，若當x∈［0，5］時，y=f（x）的圖象如圖6，則不等式xf（x）＜0的解是 。

3.證明下列函數(shù)是奇函數(shù)。

（1）y=2x-2-x；（2）y=log2（1+x）-log2（1-x）

【能力拓展】

1.已知y=f（x）是奇函數(shù)，y=g（x）是偶函數(shù)，且f（-1）+g（1）=3，f（1）+g（-1）=5，則g（1）= 。

2.（1）設(shè)y=f（x）為定義在R上的奇函數(shù)，y=gx為定義在R上的偶函數(shù)，對任意實數(shù)x，都有f（x）+g（x）=3x，求y=f（x）與y=g（x）的表達式。

（2）對于定義在R上的任意函數(shù)y=h（x），是否總存在R上的奇函數(shù)y=f（x）和偶函數(shù)y=g（x），使得對任意實數(shù)x，都有h（x）=f（x）+g（x）。

【探究提高】

1.已知函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于x=1對稱，研究函數(shù)y=f（x）的表達式滿足的條件。

2.已知函數(shù)y=g（x）的圖象關(guān)于點（1，0）對稱，研究函數(shù)y=g（x）的表達式滿足的條件。

四、教學反思

（一）創(chuàng)設(shè)_{407031ba9cb47dbd6b4a54f979fbae08}情境，體現(xiàn)學科育人價值

本節(jié)課通過生活中存在的對稱美引入課題，讓學生感受到數(shù)學來源于生活，借用中國傳統(tǒng)的剪紙文化，不僅提高了學生的學習興趣，還滲透學科育人價值，讓學生充分地在教學活動中去觀察、思考、探究。

（二）問題驅(qū)動，有序開展遞進探究

問題驅(qū)動是一種有效的教學方法，它通過提出問題、思考問題和解答問題的方式，促進學生的學習和知識掌握。在有序開展遞進探究的過程中，問題驅(qū)動發(fā)揮著關(guān)鍵作用。

問題驅(qū)動可以激發(fā)學生的好奇心和探究欲望、有助于構(gòu)建有序的學習過程以及培養(yǎng)學生的批判性思維和創(chuàng)新能力，還可以幫助學生更好地掌握知識、提升能力。因此教師應(yīng)根據(jù)學生的實際情況、教學內(nèi)容、教學目標及教學重難點，設(shè)計具有一定結(jié)構(gòu)的問題，并注重問題間的聯(lián)系。在教學過程中，教師還應(yīng)關(guān)注學生的學習反饋，及時調(diào)整教學策略，通過不斷追問和引導，使學生的認知慢慢被打開，頗有一種“螺旋式上升”的意味在其中。

本節(jié)課借助函數(shù)圖象的對稱特征，歸納為點的對稱關(guān)系，由點的對稱關(guān)系，通過問題驅(qū)動學習，層層遞進，抽象出坐標的關(guān)系進而形成偶函數(shù)、奇函數(shù)定義的符號語言。經(jīng)歷了由形得數(shù)，由數(shù)思形的過程，體會到數(shù)形結(jié)合的思想方法，以及從特殊到一般，具體到抽象的研究過程。從感性到理性，從數(shù)、形兩個維度深刻解析了函數(shù)的奇偶性的概念。

（三）問題解決，發(fā)展學科核心素養(yǎng)

數(shù)學學科核心素養(yǎng)是數(shù)學課堂目標的集中體現(xiàn)，是在數(shù)學學習過程中逐步形成的。問題解決是發(fā)展學科核心素養(yǎng)的重要途徑之一。

本節(jié)課的設(shè)計上，從生活中的圖形過渡到學過的函數(shù)，通過問題1，引出函數(shù)圖象關(guān)于y軸成軸對稱，發(fā)展直觀想象素養(yǎng)。通過問題2、問題3，得到“函數(shù)的圖象關(guān)于y軸成軸對稱”等價表達形式，進而得到偶函數(shù)的概念，并從中獲得研究函數(shù)性質(zhì)的一般方法。通過類比偶函數(shù)的研究過程得到奇函數(shù)的概念，并自主探究“函數(shù)的圖象關(guān)于原點成中心對稱”等價表達形式，提升學生歸納推理能力，發(fā)展數(shù)學抽象素養(yǎng)和數(shù)學邏輯推理素養(yǎng)。

在教學過程中，教師通過引導學生自主探究、積極思考和解決問題，可以幫助學生深入理解學科知識，提升學科能力，進而發(fā)展學科核心素養(yǎng)。通過自主探究、合作交流共享“智慧之光”，通過反思開展深度學習，學生逐步學會用數(shù)學眼光觀察世界，用數(shù)學思維分析世界，用數(shù)學語言表達世界，促進了“四基”?！八哪堋痹谡n堂教學中的落實，能有效提升學生的核心素養(yǎng)。

（作者單位：上海音樂學院附屬黃浦比樂中學）

編輯：曾彥慧