［摘 要］ 振動信號處理是模態(tài)中的關鍵步驟，針對現有“模態(tài)分析”課程中對信號處理重視不夠的問題，通過引入案例式教學法，以振動信號處理在模態(tài)分析中的應用為背景，生動地展示離散傅里葉變換、快速傅里葉變換和短時傅里葉變換等多種信號處理方法的區(qū)別和聯系，引導學生由淺入深地理解傅里葉變換的基本原理、變換目的和工程應用，激發(fā)學生的學習興趣，提高教學質量。采用仿真的微電機轉子的不平衡信號，驗證了FFT能夠有效消除轉子系統(tǒng)的模態(tài)對振動信號的影響，并提取出不平衡信號的幅值和相位。

［關鍵詞］ 模態(tài)分析；信號處理；傅里葉變換；不平衡信號提取；案例教學

［基金項目］ 2017年度國家自然科學基金項目“編織復合材料不確定性分布式參數識別方法研究”（11602112）；2023年度國家自然科學基金項目“基于等幾何分析的高空長航時飛行器氣動彈性耦合建模與顫振預示”（52202445）；2020年度江蘇省高校自然科學基金“非線性動力學模型修正的靈敏度分析方法研究”（20KJB460003）

［作者簡介］ 姜 東（1985—），男，湖北天門人，博士，南京林業(yè)大學機械電子工程學院副教授，碩士生導師（通信作者），主要從事機械振動研究；張梅升（2000—），男，安徽桐城人，學士，南京林業(yè)大學機械電子工程學院2022級機械工程專業(yè)碩士研究生，研究方向為轉子動力學；杭曉晨（1990—），男，江蘇蘇州人，博士，南京林業(yè)大學機械電子工程學院講師，碩士生導師，主要從事機械結構動力學與控制研究。

［中圖分類號］ G642.0 ［文獻標識碼］ A ［文章編號］ 1674-9324（2024）23-0109-04 ［收稿日期］ 2023-07-19

模態(tài)分析作為振動特性分析的基礎，對于振動工程領域具有重要的意義。模態(tài)分析建立在實測信號的基礎上，一般采用加速度傳感器對結構的振動響應進行實時監(jiān)測，并將監(jiān)測得到的信號數據輸入計算機中進行處理，對結構系統(tǒng)進行頻率響應分析以及模態(tài)識別是模態(tài)分析的主要任務［1-3］。

振動信號是結構物在不同激勵下的振動響應數據，由于結構物受到動態(tài)載荷的響應會產生復雜的振動信號，同時易受到環(huán)境噪聲的干擾，因此需要對振動信號進行進一步處理，以提取出信號中的重要特征。信號處理是從感知到的信號中提取有用信息以及去除無用信息的過程，其目的是幫助人們更好地理解和分析信號［4］。在模態(tài)識別中，通常需要先對采集到的振動信號進行處理，如濾波去噪和特征提取等操作，以得到更精確的振動信號；再將處理后的振動信號應用于頻率響應分析中，來獲取結構物在不同激勵下不同振型的振動特性。通過分析和處理這些振動信號，可以識別出結構物的不同模態(tài)，并進一步獲得結構物的固有頻率、阻尼比等信息［5］。

在處理實測到的振動響應數據時，常用的信號處理方法有時域分析、頻域分析、時頻分析等。在教學中，學生對時域分析掌握得比較好，但是對頻域分析和時頻分析方法普遍表示難以理解［6］。對此，筆者在教學中引入案例教學法，對幾種傅里葉變換的基本原理、實際應用和案例分析進行有針對性的教學，引導大家積極思考，由淺入深地理解每種信號變換的區(qū)別和聯系、優(yōu)勢和缺點，進而掌握模態(tài)分析中常用的振動信號處理方法［7-8］。

一、原理簡介

時域中的振動信號通過傅里葉變換可轉化為頻域中隨頻率變化的信息，在實際應用中，計算機只能處理離散信號，所以對信號f（t）進行時域采樣，得到離散樣本x（n），對它進行傅里葉變換得到的X（ω）中的頻率自變量ω是連續(xù)變化的，需要對ω進行離散化采樣，得到離散化的頻譜，最終建立起離散時間變量n和離散頻率變量之間的映射關系，這是離散傅里葉變換（Discrete Fourier Transform， DFT）。

計算機中常用的快速傅里葉變換（Fast Fourier Transform， FFT）是一種DFT的快速算法。為了計算變換后的每一個值需要進行N次復數乘法運算，計算x（n）的N點DFT總共需要N2次復數乘法和N（N-1）次復數加法。當N較大時，DFT的運算量較大。通過逐次分解，可以把較長點數的DFT分解成較短點數的DFT，進而得到FFT算法。這種分解既可以在時域進行，也可以在頻域進行。FFT的運算量遠小于DFT，N越大，FFT的運算效率越高。DFT是FFT的基本理論，FFT是DFT的一種實用優(yōu)化。

二、案例式教學實例

（一）門函數的變換

連續(xù)時間傅里葉變換和離散時間傅里葉變換均能進行頻譜分析。在實際應用中，信號可能是模擬的連續(xù)信號，也可能是離散的序列。為了利用計算機或數字信號處理器來處理信號，需要將連續(xù)信號變成離散的序列，其頻譜亦是如此。離散時間傅里葉變換將離散的序列變換為頻率譜函數，它的頻譜是連續(xù)的，不便于數字化處理；而DFT把離散的序列變換成離散的頻譜，則可以通過計算機運算。

以寬度為τ，高度為1的門函數為例，它的時域圖和傅里葉變換如圖1所示。易知F（0）=τ，它在時域和頻域都是連續(xù)、非周期的。為了在計算機中處理信號，需要對門函數進行離散時間采樣，將連續(xù)、非周期的時域信號變成離散、有限長的時間序列，然后對時間序列x（n）進行DFT，如圖1所示。將每個采樣點對應的x（n）值進行DFT，可得到頻率序列，其中D（0）=5，可以看到它的頻率是離散的。最后，將離散的頻率序列點通過曲線擬合得到頻譜曲線，即可將離散、有限長的頻率序列還原成連續(xù)、非周期的頻域信號。

（二）FFT頻譜分析

FFT是DFT的簡化算法，不僅大幅提高了信號處理的運算速度，而且對于信號的頻率識別上也有很好的敏感性，同時還能夠較好地抑制由諧波、噪聲造成的波形畸變和頻率漂移。通過FFT，可以將時域信號轉換為頻率譜形式，進而對振動信號做頻域分析［9］。在頻譜圖中，可以獲得一些時域中看不到的信息，不僅可以看到各頻率分量的大小，而且可以根據各頻率信號的振幅關系獲得信號能量在頻域上的分布情況。然而，FFT是一種全局的變換，時域信號經過傅里葉變換后，就變成了頻域信號，從頻域是無法看到時域信息的。如圖2（a）所示，對一段0～100 Hz線性遞增的掃頻信號進行FFT，從頻譜圖中，只能得到信號含有的頻率成分，不能得知每種頻率出現的先后順序和具體時間。對此，需要應用時頻分析的方法處理這類信號。

（三）時頻分析

在實際環(huán)境中，大多數信號是非平穩(wěn)的［10］。此時應用FFT分析機器產生的振動信號有較大局限性，它不能描述振動信號的頻率內容隨時間變化的情況，可通過短時傅里葉變換（Short Time Fourier Transform， STFT）對振動信號做時頻分析。對0～100 Hz線性遞增的掃頻信號進行STFT，如圖2（b）所示。從時頻圖中可以看到，該掃頻信號的頻率隨時間的變化是一條斜線，不僅可以看到頻率變化的范圍是0～100 Hz，而且可以得知信號的頻率是隨時間線性遞增的。顯然，時頻分析相較于FFT在處理非平穩(wěn)信號時具有優(yōu)勢。

STFT的窗口長度對時頻信息的分辨率有著重要的影響。窗口長度越小，時間上的分界線越清晰，即時間信息越清晰，但是頻率信息變得模糊；窗口長度越大，頻率譜越細，各頻率成分顯示得越清晰，但是時間信息變得模糊。綜上所述，STFT中時間窗口較短可以提供更精細的時間分辨率，但是頻率分辨率相對較差。時間窗口較長可以提高頻率分辨率，但是會使時間分辨率降低，這使得STFT的時間分辨率和頻率分辨率難以同時提高。

（四）不平衡振動信號提取

FFT在旋轉機械的動平衡技術中有著重要的應用，不平衡信號特征結合影響系數法，可以求得不平衡轉子等效到校正面上的不平衡量［11］。在提取的轉子振動信號中，除了不平衡量引起的在工頻的不平衡振動，轉子系統(tǒng)的模態(tài)等對信號影響較大，通過FFT可以從振動信號中精確提取不平衡信號的幅值和相位［12］。

通過仿真算例來說明FFT在不平衡振動信號處理中的應用。一個微電機轉子在動平衡測試時的振動信號主要包括其本身不平衡質量在工作轉速2 100轉/分鐘（35 Hz）下產生的不平衡信號，支撐架的固有模態(tài)頻率為27 Hz，轉子與支撐架構成的整個系統(tǒng)第一階模態(tài)頻率為23 Hz，干擾頻率為41Hz，以及白噪聲和直流分量等其他信號，實驗室環(huán)境下白噪聲較小?；谝陨戏治?，對微電機轉子在動平衡測試時的振動信號采用如下表達式進行模擬：

在仿真算例中，轉子在工頻下的振幅A0=7μm，支撐架在固有頻率下的振幅A1=1.5μm，系統(tǒng)在固有頻率下的振幅A2=0.8μm，干擾頻率下的振幅A3=0.4μm，相位均為0，添加高斯噪聲，采樣頻率為500 Hz，得到轉子振動信號的數據并進行不平衡信號提取分析。

應用FFT對微電機轉子的不平衡信號提取效果進行分析。轉子的實際振動信號和理想不平衡信號及其頻域圖如圖3所示。由圖3可知，FFT方法提取微電機轉子不平衡信號時，對其他干擾信號頻率的截斷效果很好，能夠有效地提取出轉子不平衡信號的幅值和相位，進而可以確定轉子不平衡量的大小和位置。

結語

“模態(tài)分析”課程中的振動信號處理案例教學，可以更好地將理論知識與實踐應用相結合。學生需要深入理解各種信號處理的原理和特點，并探究出適合于不同應用場合的解決方案。通過FFT在處理微電機轉子不平衡振動信號中的應用，引導學生將信號處理的理論知識用于解決振動工程實踐中的實際問題。這種綜合思考和實踐操作能夠加深學生對振動信號處理技術的理解。在教學中，教師需要根據實際應用精心設計案例的內容和情境，引導學生探究振動信號的處理方法，并激發(fā)其學習興趣，增強課堂教學的吸引力。在模態(tài)分析的信號處理課程中引入案例式教學，是提高學生實踐能力和教學質量的有效手段。

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Exploration of Signal Processing Case Teaching in Modal Analysis Course

JIANG Dong， ZHANG Mei-sheng， HANG Xiao-chen， CHEN Wei-yu

（School of Mechanical and Electronic Engineering， Nanjing Forestry University， Nanjing， Jiangsu 210037， China）

Abstract： Vibration signal processing is a key step in the modality. Aiming at the problem that the existing modal analysis courses do not pay enough attention to signal processing， by introducing a case-based teaching method， different applications of vibration signal processing in modal analysis are shown and the difference and connection of a variety of vibration signal processing methods are vividly demonstrated， guiding students to understand the basic principle， transformation purpose and engineering applications of the Fourier Transform from shallow to deep， stimulating students’ interest in learning and improving the quality of teaching. Using the unbalanced signal of the micro-motor rotor obtained by simulation， it is verified that FFT can effectively eliminate the influence of the modality of rotor system on the vibration signal， and extract the amplitude and phase of the unbalanced signal.

Key words： Modal Analysis; signal processing; Fourier Transform; unbalance signal extraction; case teaching