摘要：通過對(duì)遺傳算法的基本原理和流程進(jìn)行分析，提出了一種基于多樣性維護(hù)和自適應(yīng)機(jī)制的改進(jìn)方案，并針對(duì)遺傳算法在計(jì)算機(jī)數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用進(jìn)行了改進(jìn)與研究。方案在遺傳算法的選擇、交叉和變異操作中引入了多樣性維護(hù)策略，以增強(qiáng)算法的搜索能力和全局收斂性。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，所提出的改進(jìn)算法在解決各種復(fù)雜數(shù)學(xué)建模問題時(shí)，具有更高的求解精度和收斂速度，驗(yàn)證了其在實(shí)際應(yīng)用中的有效性和優(yōu)越性。

關(guān)鍵詞：改進(jìn)遺傳算法；計(jì)算機(jī)；數(shù)學(xué)建模

一、前言

遺傳算法作為一種模擬自然界中生物進(jìn)化的計(jì)算模型，已經(jīng)在許多領(lǐng)域中得到了廣泛的應(yīng)用，特別是在計(jì)算機(jī)數(shù)學(xué)建模中。遺傳算法通過模擬生物進(jìn)化的過程，采用遺傳操作，如選擇、交叉和變異，來生成解決方案的種群，并通過適應(yīng)度函數(shù)來評(píng)估和選擇優(yōu)秀的解。為了改進(jìn)遺傳算法在計(jì)算機(jī)數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用，研究者們提出了一些改進(jìn)策略。通過自適應(yīng)調(diào)整交叉和變異率，以適應(yīng)不同階段的搜索過程。對(duì)相關(guān)理論和實(shí)踐案例的分析，探討不同的改進(jìn)策略，并評(píng)估它們?cè)谟?jì)算機(jī)數(shù)學(xué)建模中的效果，以提高遺傳算法在計(jì)算機(jī)數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用性能和準(zhǔn)確性。

二、標(biāo)準(zhǔn)遺傳算法與多種群遺傳算法

（一）基本算法簡介

1.遺傳算法

遺傳算法的思想是：首先將算法所研究的問題個(gè)體匯總，形成種群，然后用適應(yīng)度函數(shù)計(jì)算各個(gè)體的自適應(yīng)能力，將自適應(yīng)能力較強(qiáng)的個(gè)體用交叉、變異算子等方式創(chuàng)造新的種群。

對(duì)于一個(gè)種群，由于是由個(gè)體構(gòu)成的，因此它是個(gè)體空間的一部分，即是個(gè)體空間的一個(gè)子集?？梢杂洖?/p>

對(duì)于鏈長為l種群規(guī)模為N的種群可以表示為N×l階矩陣。

選擇算子：選擇算子即是在一個(gè)種群中選擇一個(gè)個(gè)體，它是隨機(jī)映射：

特別地，按照概率規(guī)則 ：

遺傳算法通過反復(fù)進(jìn)行選擇、交叉和變異操作，逐代優(yōu)化種群中的個(gè)體，直到滿足停止條件為止。停止條件可以是達(dá)到最大迭代次數(shù)、適應(yīng)度達(dá)到閾值或者種群收斂等[1]。

2.多種群遺傳算法

標(biāo)準(zhǔn)遺傳算法經(jīng)常面臨多樣性問題，阻礙了它們的快速收斂，使算法結(jié)果陷入局部最優(yōu)。多種群遺傳算法根據(jù)下度量方法來增加種群的多樣性：

（1）根據(jù)種群適應(yīng)度標(biāo)準(zhǔn)差來增加種群多樣性。

（2）根據(jù)種群中熵值的不同變化增加種群多樣性。

（3）基于種群中各個(gè)個(gè)體不同的基因型來增加種群多樣性。

（二）傳統(tǒng)遺傳算法的優(yōu)缺點(diǎn)

遺傳算法無需關(guān)注傳遞目標(biāo)函數(shù)的微分值的過程，而是值通過函數(shù)值的適應(yīng)度來判斷個(gè)體的表現(xiàn)。遺傳算法具有群體搜索的特點(diǎn)。它的研究過程從一個(gè)初始種群P（0）開始，這個(gè)種群有幾個(gè)個(gè)體，可以有效地避免尋找不需要的搜索點(diǎn)。使其研究過程更加簡便，參數(shù)對(duì)搜索結(jié)果的影響微乎其微。遺傳算法的包容性很強(qiáng)，可以和很多技術(shù)相結(jié)合解決問題[2]。

（三）多種群遺傳算法基本原理

多種群遺傳算法（Multi-Population Genetic Algorithm，MPGA）是遺傳算法的一種擴(kuò)展，旨在通過同時(shí)演化多個(gè)種群來加速搜索過程，并提高全局搜索能力。將初始種群劃分為多個(gè)子種群，每個(gè)子種群獨(dú)立演化。通過實(shí)驗(yàn)和分析調(diào)整多種群遺傳算法的參數(shù)，以優(yōu)化算法性能[3]。模式定理從模式角度論證了N個(gè)初始種群在經(jīng)過選擇、交叉、變異算子后模式H的變化：

其中，m（H，t+1）表示第t+1代種群H中模式所能匹配的樣本的數(shù)量，f（H）、f分別表示第t+1代所有模式H的平均適應(yīng)度與種群平均適應(yīng)度，l表示串的長度，Pc、Pm分別表示交叉概率與變異概率。

（四）多種群遺傳算法步驟流程

多種群遺傳算法（Multi-Population Genetic Algorithm， MPGA）是遺傳算法的一種變體，通過同時(shí)維護(hù)和演化多個(gè)種群來加速搜索過程，增加了種群間的交流和信息共享，從而提高了全局搜索能力。首先，初始化多個(gè)種群，每個(gè)種群包含一定數(shù)量的個(gè)體，這些個(gè)體是問題的潛在解的表示。可以采用隨機(jī)初始化或者基于啟發(fā)式方法的初始化來生成初始種群。對(duì)于每個(gè)種群中的個(gè)體，使用適應(yīng)度函數(shù)評(píng)估其適應(yīng)度，以確定其在解空間中的質(zhì)量。通過實(shí)驗(yàn)和分析，調(diào)整多種群遺傳算法的參數(shù)，以優(yōu)化算法性能。

三、程序的實(shí)現(xiàn)

（一）仿真測(cè)試

1.測(cè)試的復(fù)雜二元函數(shù)介紹

函數(shù)1：

其中x的取值為（-3.0，12.1），y的取值為（4.1，5.8）。

函數(shù)2：

這兩個(gè)函數(shù)都屬于非線性函數(shù)，再給定的范圍之內(nèi)分布著大量局部極大值，通常的搜索算法很容易在各自的局部極值中振蕩而無法跳出局部最優(yōu)，比較適用于驗(yàn)證多種群遺傳算法的優(yōu)化性能。

2.測(cè)試的結(jié)果和分析

如圖1，10次得到的優(yōu)化結(jié)果有很大差異，只有一到兩次的迭代，最終陷入局部最優(yōu)，無法跳出，進(jìn)化 100代得到的結(jié)果還是十分不穩(wěn)定，函數(shù)的最終解還有很大的上升幅度，對(duì)于這種復(fù)雜的二元函數(shù)尋優(yōu)，從結(jié)果表明傳統(tǒng)遺傳算法很難找尋最優(yōu)解[4]。

（二）數(shù)據(jù)分析

如表1，在使用多種群遺傳算法求得函數(shù)1通過近20次迭代，得到最優(yōu)解是38.8503，對(duì)應(yīng)的自變量：x=11.6255，y=5.7261，算法迅速跳出局部最優(yōu)，得到最終結(jié)果。

從表2中可以看出，使用標(biāo)準(zhǔn)遺傳算法運(yùn)行函數(shù)2， 10次得到的最優(yōu)解（X）和最優(yōu)解（Y）存在一定的差異。其中，最優(yōu)解（Y）的取值范圍在-8.6251到-8.1199之間。通過比較這10次運(yùn)行的結(jié)果，可以觀察到算法在尋找最優(yōu)解方面的穩(wěn)定性。然而，這些最優(yōu)解的具體數(shù)值和函數(shù)2的特性有關(guān)，需要進(jìn)一步分析函數(shù)的圖像和特點(diǎn)才能給出更詳細(xì)的解釋。

四、改進(jìn)遺傳算法在計(jì)算機(jī)數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用

（一）無人機(jī)航跡規(guī)劃問題

無人機(jī)在飛行過程中需要避開障礙物，如建筑物、山脈、樹木等。改進(jìn)的遺傳算法可以在航跡規(guī)劃中考慮避障問題，通過優(yōu)化路徑來避免碰撞和危險(xiǎn)情況的發(fā)生。在無人機(jī)航跡規(guī)劃中，通常存在多個(gè)沖突的目標(biāo)，如最短路徑、最小能量消耗、最小風(fēng)險(xiǎn)等。改進(jìn)的遺傳算法可以應(yīng)用多目標(biāo)優(yōu)化技術(shù)，通過適當(dāng)?shù)臋?quán)衡和調(diào)整，找到一組平衡的解來解決這些沖突目標(biāo)。改進(jìn)的遺傳算法可以應(yīng)用于協(xié)同航跡規(guī)劃，通過優(yōu)化多個(gè)無人機(jī)的航跡，實(shí)現(xiàn)協(xié)同飛行，提高任務(wù)效率和覆蓋范圍。

（二）圖像處理問題

待識(shí)別模式描述：

（x1，y1）為相對(duì)于模式原點(diǎn)的坐標(biāo)，p1為相應(yīng)的灰度值，將模式放大M倍，旋轉(zhuǎn)θ，并將模式原點(diǎn)平移至（x2，y2），點(diǎn)列變?yōu)閜'：

其中

對(duì)于二值圖像（背景色為白色，前景色為黑色）而言，我們可以定義待識(shí)別模式與圖形庫中相似圖形的匹配率R作為識(shí)別性能的評(píng)價(jià)指標(biāo)，0≤R≤1。

式中Nb為點(diǎn)序列p'中滿足p（xk'，yk'）=p（xk，yk）（k=1，2，…，N）的p=（xk'，yk'）=p（xk，yk）（k=1，2…，N）點(diǎn)個(gè)數(shù)。

在區(qū)分復(fù)雜的圖像方面，信息的流動(dòng)經(jīng)常被適當(dāng)?shù)姆指?，因此需要很大程度解決優(yōu)化問題。多種群遺傳算法的應(yīng)用不僅可以迅速選擇出最優(yōu)化的方案，而且大大縮短了計(jì)算所消耗的時(shí)間。并使用適應(yīng)性基因參數(shù)在兩個(gè)層次上進(jìn)行培訓(xùn)大大提高了圖像處理的時(shí)效性和準(zhǔn)確性。

（三）數(shù)據(jù)挖掘問題

由于一個(gè)N×N的數(shù)字圖像可以分成若干個(gè)n×n的圖像塊，每一個(gè)塊成為一個(gè)K維矢量K=n×n，這樣一個(gè)圖像可以分成（Ⅳ／n），Vg（vig）那么目標(biāo)函數(shù)可表示成：

在一系列侯選電報(bào)密碼中，Vc（Vi，i=l，2…，m）Vg代碼字為：

第二階段可以改進(jìn)VQ碼中的馬塞克結(jié)果。

Xj（xij）∈Rg，Vg（vig）∈Vc，Rg中i行j列圖像塊和i維Vg代碼的差小于ε時(shí)，Nij=1，δgj是那些圖像塊總數(shù)和電報(bào)密碼Vg。改進(jìn)個(gè)體的編碼方案，使其更符合問題的結(jié)構(gòu)特征，從而減少搜索空間。優(yōu)化選擇策略，使得適應(yīng)度高的個(gè)體更有可能被選擇，并保留多樣性以防止早熟。常見的選擇策略包括輪盤賭選擇、錦標(biāo)賽選擇、精英保留等。引入自適應(yīng)機(jī)制來動(dòng)態(tài)調(diào)整遺傳算法的參數(shù)，以適應(yīng)不同問題和不同階段的搜索需求[5]。

五、結(jié)論

本文針對(duì)遺傳算法在計(jì)算機(jī)數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用進(jìn)行了研究，改進(jìn)了遺傳算法，并通過實(shí)例驗(yàn)證了改進(jìn)算法的有效性和優(yōu)越性。改進(jìn)算法在解決計(jì)算機(jī)數(shù)學(xué)建模問題時(shí)，能夠更好地保持種群的多樣性，提高全局搜索能力，避免早熟收斂，從而提高求解質(zhì)量和效率。通過對(duì)改進(jìn)遺傳算法的深入研究，本文提出了相應(yīng)的參數(shù)設(shè)置策略和求解方法，為遺傳算法在計(jì)算機(jī)數(shù)學(xué)建模領(lǐng)域的應(yīng)用提供了有益的理論和實(shí)踐指導(dǎo)。

參考文獻(xiàn)

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[2]秦文科.改進(jìn)遺傳算法在結(jié)構(gòu)損傷診斷中的應(yīng)用研究[J].工程技術(shù)研究，2022，7（14）：13-15.

[3]劉曄.計(jì)算機(jī)軟件在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用優(yōu)勢(shì)與實(shí)踐研究[J].信息系統(tǒng)工程，2023（09）：71-74.

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[5]楊博，劉樹東，魯維佳，等.改進(jìn)遺傳算法在機(jī)器人路徑規(guī)劃中的應(yīng)用[J].現(xiàn)代制造工程，2022（06）：9-16.