摘要：平面向量的模的求值或最值（或取值范圍）問題，是平面向量模塊知識中的重點與難點之一，破解此類問題有一定的基本策略與規(guī)律可循.本文中結(jié)合一道高考真題，通過題設(shè)信息，剖析平面向量綜合應(yīng)用問題破解的常規(guī)技巧方法，歸納總結(jié)解題策略與規(guī)律，引領(lǐng)并指導(dǎo)數(shù)學(xué)教學(xué)與復(fù)習(xí)備考.

關(guān)鍵詞：向量；模；平方；幾何；坐標(biāo)

作為平面向量模塊知識中最重要的基本知識之一，平面向量的模、數(shù)量積等知識點成為近年高考試卷中常見常新的基本考點之一.本文中結(jié)合一道高考真題，剖析平面向量綜合應(yīng)用問題破解的常規(guī)技巧與方法，有效指導(dǎo)數(shù)學(xué)教學(xué)與復(fù)習(xí)備考.

1 真題呈現(xiàn)

高考真題 （2024年高考數(shù)學(xué)新高考Ⅱ卷·3）已知向量a，b滿足|a|=1，|a+2b|=2，且（b－2a）⊥b，則|b|=（" ）.

A.12

B.22

C.32

D.1

此題以兩個平面向量為問題場景，借助已知一個平面向量的模，并結(jié)合這兩個向量間的線性運算式的模，以及對應(yīng)兩個向量的線性運算式的垂直關(guān)系等信息，求解另一個平面向量的模.

而此類涉及平面向量的線性運算、模與數(shù)量積等綜合應(yīng)用問題，通常是高考中該模塊知識的一大基本考點.常見的思維方法或通過“數(shù)”的基本屬性進(jìn)行代數(shù)運算，或通過“形”的幾何結(jié)構(gòu)進(jìn)行直觀化處理，或通過“數(shù)形結(jié)合”的綜合應(yīng)用進(jìn)行坐標(biāo)法求解等，從不同思維視角切入與應(yīng)用，合理發(fā)散數(shù)學(xué)思維，可以很好地考查數(shù)學(xué)的“四基”，以及學(xué)生的“四能”與關(guān)鍵能力等.

2 真題破解

2.1 代數(shù)思維

解法1：平方法.

由（b－2a）⊥b，得（b－2a）·b=b2－2a·b=0.

而由|a+2b|=2，兩邊平方可得

a2+4a·b+4b2=4.

①

將2a·b=b2代入①式，并結(jié)合|a|=1，整理可得1+6b2=4，即b2=12，解得|b|=22.

故選擇答案：B.

解法2：化歸法.

由（b－2a）⊥b，得（b－2a）·b=b2－2a·b=0.

結(jié)合|a|=1，|a+2b|=2，得|b|2=b2=2a·b=12（|a+2b|2－|a|2－4|b|2）=12（4－1－4|b|2），整理可得|b|2=12，解得|b|=22.

故選擇答案：B.

2.2 幾何思維

解法3：幾何法.

依題，如圖1所示，設(shè)OA=a，OB=b，OA′=2a，OB′=2b，則OC=a+2b，|OC|=2，A′B=b－2a，A′B⊥OB，|OA′|=2.

設(shè)AC與A′B相交于點E，OC與A′B相交于點D，則知|AE|=12|OB|=14|AC|，|EC|=34|AC|.

所以|EC|=34|AC|=32|OB|，則有|ED|=32|DB|，|CD|=32|OD|，從而|A′B|=5|DB|.

由|A′B|=5|DB|，|OA|=2，得22－|OB|2=525×22－|OB|2，整理可得|OB|2=12，解得|OB|=|b|=22.

故選擇答案：B.

2.3 數(shù)形結(jié)合思維

解法4：坐標(biāo)法.

不失一般性，依題|a|=1，不妨設(shè)a=（1，0），合理構(gòu)建平面直角坐標(biāo)系，設(shè)b=（x，y）.

易得b－2a=（x－2，y）.結(jié)合（b－2a）⊥b，可得（b－2a）·b=（x－2，y）·（x，y）=x2－2x+y2=0，即x2+y2=2x.

而a+2b=（2x+1，2y），結(jié)合|a+2b|=2，可得（2x+1）2+（2y）2=4，即

4x2+4y2+4x=3.

②

將x2+y2=2x代入②式，可得8x+4x=3，解得x=14.將x=14代入x2+y2=2x，可得y2=716.

所以|b|2=x2+y2=12，則|b|=22.

故選擇答案：B.

3 變式拓展

3.1 同類變式

變式1 已知向量a，b滿足a·b=|a|=1，|a－b|=3，則|b|=（" ）.

A.1

B.2

C.3

D.2

解析：由|a－b|=3，兩邊平方可得

a2－2a·b+b2=3.

而a·b=|a|=1，則有12－2×1+b2=3，即b2=4，解得|b|=2.故選擇答案：D.

3.2 異類變式

變式2 已知向量a，b滿足|a|=1，|a－b|+|a+b|=4，則|b|的最小值為.

解析：依題，利用平面向量的數(shù)量積公式可得|a－b|2+|a+b|2=（a－b）2+（a+b）2=2（|a|2+|b|2）.

結(jié)合|a－b|+|a+b|=4，利用基本不等式，可得|a－b|2+|a+b|2≥12（|a－b|+|a+b|）2=8，當(dāng)且僅當(dāng)|a－b|=|a+b|，即a⊥b時，等號成立.

因為|a|=1，所以2（|a|2+|b|2）=|a－b|2+|a+b|2≥8，即2（1+|b|2）≥8，整理有|b|2≥3，解得|b|≥3，所以|b|的最小值為3.故填答案：3.

3.3 深度變式

變式3 平面向量a，b，c滿足|a|=|b|=a·b=2，|a+b+c|=1，則（a+c）·（b+c）的最小值是（" ）.

A.－3

B.3－23

C.4－23

D.－23

解析：依題可得cos 〈a，b〉=a＼5b|a||b|=12，則有〈a，b〉=π3.

在平面直角坐標(biāo)系中，令a=（2，0），b=（1，3），設(shè)c=（x，y），則知

|a+b+c|=|（3+x，3+y）|=1，

即（x+3）2+（y+3）2=1，其表示圓心為C（－3，－3），半徑為r=1的圓.

（a+c）·（b+c）=（x+2，y）·（x+1，y+3）=（x+2）（x+1）+y（y+3）=x2+3x+2+y2+3y=x+322+y+322－1，

其中代數(shù)式x+322+y+322表示的是動點P（x，y）與定點M－32，－32的距離的平方.

而CM=－3+322+－3+322=3，則知PMmin=3－1，

所以（a+c）·（b+c）的最小值是（3－1）2－1=3－23.故選擇答案：B.

4 教學(xué)啟示

在實際求解平面向量的模或數(shù)量積的值與最值（或取值范圍）等綜合應(yīng)用問題時，借助平面向量自身所兼?zhèn)涞拇鷶?shù)思維或幾何思維的應(yīng)用，通過不同思維下的代數(shù)法與幾何法的應(yīng)用，合理構(gòu)建成一幅完美和諧統(tǒng)一的“畫卷”，成為新高考數(shù)學(xué)試卷命題中的一個創(chuàng)新點與熱點.

解決此類涉及平面向量的?；驍?shù)量積的求值與最值（或取值范圍）等綜合應(yīng)用問題時，往往借助平面向量“數(shù)”與“形”的雙重屬性，抓住平面向量的模與數(shù)量積自身“數(shù)”的屬性應(yīng)用，或“形”的幾何特征，并結(jié)合不同的應(yīng)用場景，選擇行之有效的方法與解題策略來處理對應(yīng)的平面向量的?；驍?shù)量積的綜合應(yīng)用問題.

依托平面向量自身的“數(shù)”與“形”的雙重屬性，借助“數(shù)”與“形”的不同視角，使得平面向量的模或數(shù)量積的綜合問題的求解與應(yīng)用更加合理、有效、可行、快捷，或借助“數(shù)”來代數(shù)運算，或借助“形”來直觀想象，也可以實現(xiàn)“數(shù)”與“形”的緊密結(jié)合，有效實現(xiàn)知識與能力的有效融合.