摘" 要：數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)創(chuàng)課是學(xué)生積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)、感悟數(shù)學(xué)思想方法的重要途徑，對提高學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)具有積極作用. 進(jìn)行數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)和探究的過程需要與學(xué)生學(xué)習(xí)的知識建立聯(lián)系，讓學(xué)生在解決問題的過程中感悟數(shù)學(xué)的廣泛應(yīng)用. 對于“π的估計(jì)”一課，利用可視化動態(tài)數(shù)學(xué)軟件GeoGebra設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)過程，體現(xiàn)一種生成隨機(jī)數(shù)的計(jì)算方法，體現(xiàn)了隨機(jī)觀念和估計(jì)思想. 通過讓學(xué)生經(jīng)歷自己動手實(shí)驗(yàn)、計(jì)算機(jī)模擬實(shí)驗(yàn)、驗(yàn)證結(jié)論的過程，使學(xué)生感悟數(shù)學(xué)思想，發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

關(guān)鍵詞：核心素養(yǎng)；GeoGebra軟件；實(shí)驗(yàn)創(chuàng)課；蒙特卡羅方法

中圖分類號：G633.6" " " 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A" " " 文章編號：1673-8284（2025）01-0040-05

引用格式：胡璽舜，佘文娟. 基于可視化實(shí)驗(yàn)探究的初中數(shù)學(xué)創(chuàng)課設(shè)計(jì)：以“π的估計(jì)”為例［J］. 中國數(shù)學(xué)教育（初中版），2025（1）：40-44.

數(shù)學(xué)活動是師生積極參與、交往互動、共同發(fā)展的過程.《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡稱《標(biāo)準(zhǔn)》）指出，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的構(gòu)成包括三個(gè)方面，即會用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界，會用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界，會用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界. 學(xué)科核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，需要通過學(xué)科教學(xué)和學(xué)生的綜合實(shí)踐活動來具體實(shí)施. 數(shù)學(xué)活動課就是其中一項(xiàng)重要的教學(xué)活動. 在大數(shù)據(jù)時(shí)代，人工智能快速發(fā)展的大背景下，需要運(yùn)用數(shù)學(xué)教育技術(shù)設(shè)計(jì)有創(chuàng)意的數(shù)學(xué)活動課，而數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)就成為了數(shù)學(xué)創(chuàng)課的載體和動力引擎. 在實(shí)施數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的過程中，學(xué)生能夠手腦并用、“做思”共生，真正參與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)活動，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)的積累，以及數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展.

一、數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)創(chuàng)課的內(nèi)涵

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是指學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中產(chǎn)生的操作性、印象性或符號性（虛擬）實(shí)驗(yàn). 在初中階段，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)可以理解為按照數(shù)學(xué)思維發(fā)展的脈絡(luò)，通過創(chuàng)設(shè)問題情境，設(shè)計(jì)系列活動，引導(dǎo)學(xué)生積極主動參與活動，進(jìn)行批判性思考，在數(shù)學(xué)思維活動的引導(dǎo)下驗(yàn)證猜想或分析得出正確結(jié)論，從而使學(xué)生親歷數(shù)學(xué)知識的建構(gòu)過程、發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的一種數(shù)學(xué)探究活動.

所謂創(chuàng)課，廣義上是指以培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新素養(yǎng)為導(dǎo)向的各類課程. 狹義的創(chuàng)課則是指電子創(chuàng)意類課程. 基于數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的創(chuàng)課可以理解為針對特定的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容，運(yùn)用現(xiàn)代教育技術(shù)，借助實(shí)驗(yàn)工具（如紙片、剪刀、計(jì)算器、計(jì)算機(jī)軟件等）創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷觀察、猜想、推理及論證等數(shù)學(xué)基本活動，以探索、理解、驗(yàn)證數(shù)學(xué)知識，解決數(shù)學(xué)問題為主要目的的數(shù)學(xué)課程. 數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)創(chuàng)課要立足學(xué)科知識，借助實(shí)驗(yàn)工具，引導(dǎo)學(xué)生探索數(shù)學(xué)知識，解決數(shù)學(xué)問題，發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

二、“π的估計(jì)”創(chuàng)課設(shè)計(jì)案例

1. 課例背景

用頻率估計(jì)概率是人教版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》九年級上冊第二十五章第三節(jié)的知識. 本節(jié)課的主要內(nèi)容包括用頻率估計(jì)概率的方法及其合理性的驗(yàn)證和探究. 在學(xué)生學(xué)習(xí)了這部分內(nèi)容后，有一個(gè)實(shí)驗(yàn)與探究——π的估計(jì). 該部分內(nèi)容是利用隨機(jī)模擬的方法對π進(jìn)行估計(jì)，同時(shí)給出了幾何概型的定義，與前面學(xué)習(xí)的古典概型定義相對應(yīng). 實(shí)驗(yàn)探究的重點(diǎn)是讓學(xué)生理解蒙特卡羅（Monte Carlo）方法的內(nèi)涵，滲透估計(jì)思想. 但由于學(xué)生對于幾何概型的定義尚不明確，同時(shí)親自實(shí)驗(yàn)可能得到的數(shù)據(jù)不夠理想，存在一定的困難. 因此，需要教師借助計(jì)算機(jī)模擬投點(diǎn)的過程，得到π的估計(jì)值.

2. 創(chuàng)課設(shè)計(jì)思路

在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)創(chuàng)課的設(shè)計(jì)過程中，教師要充分重視學(xué)生的主體性，引導(dǎo)學(xué)生帶著思考參與活動，積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)，發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng). 對“π的估計(jì)”這一課例，沿顯性和隱性兩條主線設(shè)計(jì)，如圖1所示.

在顯性層面，學(xué)生根據(jù)教師創(chuàng)設(shè)的問題情境，先觀察實(shí)驗(yàn)探究，激發(fā)興趣，引發(fā)思考；進(jìn)而提出問題，設(shè)計(jì)方案，動手操作實(shí)驗(yàn)，嘗試解決問題；再從操作過程中提煉蒙特卡羅方法原理，利用計(jì)算機(jī)軟件模擬實(shí)驗(yàn)，進(jìn)一步深化學(xué)生的認(rèn)知；最后，對一系列活動和實(shí)驗(yàn)進(jìn)行總結(jié)和反思，提煉整節(jié)課的核心內(nèi)容. 在隱性層面，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)創(chuàng)課的設(shè)計(jì)要注重學(xué)生數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)的積累及核心素養(yǎng)的發(fā)展，在各個(gè)環(huán)節(jié)中積累“觀察”的經(jīng)驗(yàn)，通過觀察實(shí)驗(yàn)，初步體會實(shí)驗(yàn)原理；進(jìn)而積累“做”的經(jīng)驗(yàn)，學(xué)會根據(jù)原理進(jìn)行實(shí)際操作，解決實(shí)際問題；最后，積累“抽象”的經(jīng)驗(yàn)，真正內(nèi)化知識，發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

為實(shí)現(xiàn)上述目標(biāo)，本節(jié)課選擇GeoGebra軟件作為貫穿始終的實(shí)驗(yàn)工具. GeoGebra軟件是近十年在國內(nèi)興起的新一代動態(tài)幾何軟件，具備強(qiáng)大的數(shù)學(xué)研究和教學(xué)展示功能，其畫面簡潔、操作便捷. GeoGebra軟件的界面有多個(gè)操作區(qū)，在幾何和代數(shù)同步變化的演示上具有突出優(yōu)勢，可以同時(shí)呈現(xiàn)數(shù)與形的對應(yīng)變化. 不僅如此，GeoGebra軟件還有統(tǒng)計(jì)和概率操作區(qū)，融合Excel的部分功能，可以很方便地統(tǒng)計(jì)學(xué)生的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù). 在GeoGebra軟件的支持下，顯性和隱性這兩條主線得到相互促進(jìn)，從而使學(xué)生在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)創(chuàng)課的學(xué)習(xí)過程中達(dá)成積累活動經(jīng)驗(yàn)、發(fā)展核心素養(yǎng)的目標(biāo).

3. 創(chuàng)課設(shè)計(jì)教學(xué)環(huán)節(jié)

（1）創(chuàng)設(shè)情境，導(dǎo)入實(shí)驗(yàn).

情境：π是數(shù)學(xué)中一個(gè)具有獨(dú)特魅力的數(shù). 歷史上有多位數(shù)學(xué)家采用不同的方法在探尋π值的路上做出了許多貢獻(xiàn)，如迭代法、夾逼法等. 其中有一個(gè)非常有意思的試驗(yàn)叫作“蒲豐投針”，是利用概率知識估計(jì)出π的值. 法國數(shù)學(xué)家蒲豐（Buffon）提出的“投針”問題是指在平面上畫有一組間距為a的平行線，將一根長度為l[l≤a]的針任意擲在這個(gè)平面上，求此針與平行線中任意一條線相交的概率. 這一概率通過證明是與π有關(guān)的. 因此，許多數(shù)學(xué)家開始了大量的“投針”試驗(yàn). 現(xiàn)在，我們有了計(jì)算機(jī)，不再需要人力重復(fù)“投針”了，計(jì)算機(jī)就可以完成這樣的工作. 下面我們在GeoGebra軟件中進(jìn)行“投針”試驗(yàn)，同時(shí)估計(jì)π的值（如圖2）.

師生活動：教師在創(chuàng)設(shè)了“蒲豐投針”的情境后，利用GeoGebra軟件模擬這項(xiàng)試驗(yàn)，試驗(yàn)次數(shù)可以由學(xué)生指定. 在“投針”過程中，讓學(xué)生體會估計(jì)的π值發(fā)生的變化.

師：同學(xué)們，這項(xiàng)試驗(yàn)中蘊(yùn)含了大量概率論知識. 雖然我們現(xiàn)在掌握的知識有限，不能理解其中的原理，但是我們可以由此獲得啟發(fā)，設(shè)計(jì)新的試驗(yàn)，嘗試自己動手估計(jì)π的值.

【設(shè)計(jì)意圖】利用“蒲豐投針”試驗(yàn)創(chuàng)設(shè)情境，目的在于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，通過GeoGebra軟件的可視化效果，讓學(xué)生體會“投針”過程的隨機(jī)性和大量重復(fù)的過程，初步體會蒙特卡羅方法蘊(yùn)含的隨機(jī)模擬思想. 由此引發(fā)學(xué)生思考：為什么通過這樣的隨機(jī)投針試驗(yàn)計(jì)算概率后，竟然能夠估計(jì)出π的值？在導(dǎo)入后續(xù)環(huán)節(jié)試驗(yàn)?zāi)康牡耐瑫r(shí)，讓學(xué)生帶著問題和思考深入學(xué)習(xí).

（2）問題驅(qū)動，操作試驗(yàn).

問題1：同學(xué)們，剛剛的“投針”試驗(yàn)和前面我們做過的擲硬幣試驗(yàn)有哪些相同點(diǎn)和不同點(diǎn)？

問題2：你能總結(jié)一下“投針”試驗(yàn)的特點(diǎn)嗎？

問題3：該如何計(jì)算“投針”試驗(yàn)中的概率呢？

【設(shè)計(jì)意圖】上述3個(gè)問題旨在引導(dǎo)學(xué)生從“等可能事件”和“試驗(yàn)結(jié)果是否有限”兩個(gè)角度分析“投針”試驗(yàn)，從而引發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突.“投針”試驗(yàn)和擲硬幣試驗(yàn)同樣都是等可能事件，但投一根針在平面內(nèi)位置的可能性是無限的，這與古典概型的定義矛盾. 教師要引導(dǎo)學(xué)生思考該如何計(jì)算概率，為后續(xù)學(xué)習(xí)幾何概型作鋪墊.

問題4：同學(xué)們，在我們的生活中也有與“投針”問題相似的情況，如擲飛鏢游戲. 圖3是一個(gè)七等分圓盤，如果隨意向其投擲一枚飛鏢，飛鏢落在圓盤中任何一個(gè)點(diǎn)上，同樣是等可能事件. 但圓盤上包含無數(shù)個(gè)點(diǎn)，說明試驗(yàn)結(jié)果是無限的. 你能說出飛鏢落在紅色區(qū)域的概率有多大嗎？

追問：你是怎樣得到結(jié)果的？

【設(shè)計(jì)意圖】從“投針”試驗(yàn)到類比生活中常見的擲飛鏢游戲，可以調(diào)動學(xué)生頭腦中已經(jīng)形成的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，自然地給出幾何概型的定義：一般地，如果在一次試驗(yàn)中，結(jié)果落在區(qū)域D中的每一點(diǎn)都是等可能的，用A表示“試驗(yàn)結(jié)果落在區(qū)域D中的一個(gè)小區(qū)域M中”這個(gè)事件，那么事件A發(fā)生的概率為[PA=M的面積D的面積].

問題5：同學(xué)們已經(jīng)掌握了幾何概型的定義，那么能否利用已知的面積公式，仿照“投針”試驗(yàn)，設(shè)計(jì)一個(gè)新的試驗(yàn)，嘗試估計(jì)π的值呢？

問題6：圖4是一個(gè)正方形及其內(nèi)切圓，隨機(jī)地向正方形內(nèi)投米. 若只投一粒米，則落在內(nèi)切圓內(nèi)的概率是多少？上述概率與圓周率π的關(guān)系是什么？

【設(shè)計(jì)意圖】上述問題旨在引導(dǎo)學(xué)生利用已知圖形的面積公式之間的聯(lián)系，構(gòu)造出計(jì)算π值的概率算式. 在教學(xué)過程中，可以根據(jù)學(xué)生的實(shí)際情況，引導(dǎo)學(xué)生設(shè)計(jì)試驗(yàn).

操作試驗(yàn)：隨機(jī)撒一把米到畫有正方形及其內(nèi)切圓的白紙上，統(tǒng)計(jì)并計(jì)算落在圓內(nèi)的米粒數(shù)m與正方形內(nèi)的米粒數(shù)n的比[mn]，并得到π的估計(jì)值.

根據(jù)幾何概型可知，計(jì)算出的頻率[mn]表示的是[π4]，從而可以將米粒數(shù)的統(tǒng)計(jì)結(jié)果與π的估計(jì)值相對應(yīng).

師生活動：教師將全班學(xué)生分成10組，讓學(xué)生分別進(jìn)行試驗(yàn)，并將各組的統(tǒng)計(jì)結(jié)果匯總到GeoGebra軟件的表格區(qū)中，繪制出折線圖，如圖5所示. 可以發(fā)現(xiàn)，各組得到的頻率不盡相同，有些組的差異稍大.

【設(shè)計(jì)意圖】模擬試驗(yàn)結(jié)果可以看出，這種隨機(jī)性與學(xué)生前面學(xué)習(xí)的用頻率估計(jì)概率的知識有關(guān)，是學(xué)生已經(jīng)掌握的知識. 由此教師引發(fā)學(xué)生思考：投的米粒數(shù)越多，得到的估計(jì)值就更加穩(wěn)定地接近于π的值，從而采用計(jì)算機(jī)模擬的方法進(jìn)行驗(yàn)證.

（3）提煉原理，模擬實(shí)驗(yàn).

在學(xué)生經(jīng)歷了撒米試驗(yàn)后，教師可以提出這一隨機(jī)模擬計(jì)算方法的核心稱為蒙特卡羅方法. 這種思想的產(chǎn)生正是源于“蒲豐投針”試驗(yàn). 這一試驗(yàn)開創(chuàng)了幾何概型的先河. 這也是最早用隨機(jī)數(shù)處理確定性數(shù)學(xué)的例證. 蒙特卡羅法，又稱計(jì)算機(jī)模擬方法，是一種基于計(jì)算機(jī)產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)的計(jì)算方法. 它的核心思想是不確定的計(jì)算，即一種近似估計(jì)，體現(xiàn)了對數(shù)據(jù)的一種估計(jì)思想，在軍事、經(jīng)濟(jì)、工程等眾多領(lǐng)域中都有它的身影. 進(jìn)而利用GeoGebra軟件模擬大量重復(fù)的撒米過程（如圖6），得到更加精確的π的估計(jì)值.

【設(shè)計(jì)意圖】此環(huán)節(jié)旨在讓學(xué)生體會利用計(jì)算機(jī)模擬試驗(yàn)可以規(guī)避人為操作的誤差，節(jié)省時(shí)間，同時(shí)讓學(xué)生感悟蒙特卡羅方法的合理性.

（4）總結(jié)反思，提升素養(yǎng).

教師可以設(shè)計(jì)如下的實(shí)驗(yàn)反思單.

① 通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，我有哪些收獲？遇到了什么樣的困難？是如何解決的？

② 通過本節(jié)課的試驗(yàn)，我知道了哪些關(guān)于概率的知識？

③ 應(yīng)用這些知識，我可以解釋或解決生活中的哪些問題？

④ 通過試驗(yàn)，我掌握了哪種數(shù)學(xué)思想方法？可以將它推廣到實(shí)際生活中嗎？

【設(shè)計(jì)意圖】該環(huán)節(jié)旨在引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注自己通過數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)收獲了什么. 這里的收獲不僅是知識層面的，還有如何用數(shù)學(xué)思維分析問題、解決問題，展現(xiàn)學(xué)生個(gè)性化的總結(jié)成果.

三、數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)創(chuàng)課的實(shí)施建議

初中數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)創(chuàng)課中，教師要合理地利用數(shù)學(xué)教育技術(shù)設(shè)計(jì)教學(xué)過程，為學(xué)生提供有效的實(shí)驗(yàn)和探究方法，呈現(xiàn)直觀的研究結(jié)果，從而在活動經(jīng)驗(yàn)的積累中發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng). 教師在教學(xué)過程中需要做好如下幾個(gè)方面.

1. 重視學(xué)生的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)的獲得

初中數(shù)學(xué)課程逐步實(shí)現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)從“雙基”“兩能”到“四基”“四能”的轉(zhuǎn)變. 其中，“四基”是在“雙基”的基礎(chǔ)上增加了基本思想和基本活動經(jīng)驗(yàn)，而“四能”是在“雙能”的基礎(chǔ)上增加了能發(fā)現(xiàn)問題和提出問題的能力. 這是課程改革與時(shí)俱進(jìn)的必然要求，是發(fā)展核心素養(yǎng)在教學(xué)中的落腳點(diǎn). 因此，教師在進(jìn)行數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)創(chuàng)課的設(shè)計(jì)時(shí)要重視學(xué)生的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)的獲得過程.

教師在設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)創(chuàng)課的各個(gè)環(huán)節(jié)時(shí)，要盡量選擇貼近學(xué)生生活實(shí)際的情境，讓學(xué)生能夠?qū)栴}的背景有所了解，同時(shí)可以讓學(xué)生自己動手操作，在“做中學(xué)”，從而促使學(xué)生逐漸掌握數(shù)學(xué)思想方法和研究方法，在此過程中發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng). 例如，平面圖形的鑲嵌可以先由水立方的實(shí)際背景引入，再由學(xué)生自主動手對不同邊數(shù)的平面圖形進(jìn)行鑲嵌，在數(shù)學(xué)活動中對結(jié)論進(jìn)行歸納.

以本節(jié)課為例，在進(jìn)行π的估計(jì)時(shí)，讓學(xué)生親自用大米進(jìn)行試驗(yàn)，感受投的點(diǎn)數(shù)不同對估算結(jié)果的影響，再利用計(jì)算機(jī)進(jìn)行模擬試驗(yàn)，估計(jì)π的值. 在此過程中，學(xué)生親自感受到數(shù)據(jù)的隨機(jī)性，形成估計(jì)思想，發(fā)展數(shù)據(jù)觀念.

2. 重視學(xué)生在活動課上的成果點(diǎn)評

在利用數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)方法解決問題的教學(xué)過程中，學(xué)生思想上沒有了束縛，可以自由發(fā)揮他們的想象力，往往能得出很多不同的方法，在實(shí)驗(yàn)活動中不斷嘗試，讓思維方法更深化、方案更優(yōu)化，體會解決問題的方法的多樣化. 教師則應(yīng)注重對學(xué)生經(jīng)過思考得出的問題及解決問題的方法進(jìn)行客觀、鼓勵(lì)性點(diǎn)評，引導(dǎo)學(xué)生對自己整節(jié)課的表現(xiàn)和收獲進(jìn)行總結(jié). 在反思中，幫助學(xué)生得出整節(jié)課蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法，以及本節(jié)課在哪些方面發(fā)展和提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng). 本節(jié)課中，在學(xué)生用米粒進(jìn)行模擬投點(diǎn)時(shí)，教師對學(xué)生試驗(yàn)探究的過程進(jìn)行點(diǎn)評分析，指明學(xué)生的試驗(yàn)過程的不足之處，結(jié)合試驗(yàn)的理論依據(jù)對本節(jié)課落實(shí)培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)進(jìn)行總結(jié)和提升.

3. 重視數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)工具的設(shè)計(jì)

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)創(chuàng)課的開展要合理融合信息技術(shù). 由于大多數(shù)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)創(chuàng)課與實(shí)際生活密切相關(guān)，并非理想化情境，因而不具有抽象性. 在課堂上，教師很難僅用語言表達(dá)就能達(dá)到預(yù)期效果，需要借助計(jì)算機(jī)軟件輔助教學(xué). 例如，本節(jié)課在探究圓周率π的過程中，先利用GeoGebra軟件生成隨機(jī)投點(diǎn)的過程，再利用已有的幾何概型計(jì)算公式得到相應(yīng)結(jié)論，比教師單用枯燥的語言描述更加生動、形象.

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作者簡介：胡璽舜（1991— ），男，中學(xué)一級教師，主要從事中學(xué)數(shù)學(xué)教育、解題研究；

佘文娟（1990— ），女，中學(xué)高級教師，主要從事中學(xué)數(shù)學(xué)教育、課程與教學(xué)論研究.