摘" 要：折疊類問題是“圖形與幾何”領(lǐng)域中的一類重要問題，由折疊生成的問題通常具有綜合性而顯得比較難解決. 實(shí)踐表明，借助折紙活動(dòng)，搭建解決折疊類問題的“腳手架”，可以有效助力學(xué)生成為問題的解決者、提出者、改編者和設(shè)計(jì)者，逐步突破折疊類問題的教學(xué)難點(diǎn).

關(guān)鍵詞：折疊問題；折紙活動(dòng)；解題策略

中圖分類號(hào)：G633.6" " " 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A" " " 文章編號(hào)：1673-8284（2025）01-0036-04

引用格式：蔣惠麗，孫朝仁. 折紙——折疊類問題教與學(xué)的“腳手架”［J］. 中國數(shù)學(xué)教育（初中版），2025（1）：36-39.

折疊類問題的實(shí)質(zhì)是圖形的軸對(duì)稱，是“圖形與幾何”領(lǐng)域的重要內(nèi)容. 由折疊產(chǎn)生的問題具有一定的綜合性，是初中階段的一個(gè)難點(diǎn)問題. 折疊問題中呈現(xiàn)給學(xué)生的圖形是最終疊的結(jié)果，而沒有折的過程. 當(dāng)折痕發(fā)生變化時(shí)，折疊的結(jié)果就變得復(fù)雜，這也使得解決折疊問題更加困難.

本文所涉及的內(nèi)容是在學(xué)完蘇科版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》八年級(jí)（以下統(tǒng)稱“蘇科版教材”）第二章“軸對(duì)稱圖形”、第三章“勾股定理”、第四章“實(shí)數(shù)”、第九章“中心對(duì)稱圖形——平行四邊形”等知識(shí)后，筆者開設(shè)的一節(jié)專題復(fù)習(xí)課. 本節(jié)課結(jié)合折紙的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)活動(dòng)，通過折一折、看一看、想一想、悟一悟等環(huán)節(jié)，為學(xué)生搭建了折疊類問題的“腳手架”，讓學(xué)生感受折疊前后圖形變化的過程，從而幫助學(xué)生直觀認(rèn)識(shí)折疊后的結(jié)果，較好地突破折疊類問題這一教學(xué)難點(diǎn).

一、折紙助力學(xué)生成為問題的解決者

折疊類問題的綜合性比較強(qiáng)，難度比較大. 有些學(xué)生對(duì)此有一定的畏難情緒. 基于此，筆者選擇了一道關(guān)于折疊問題的基礎(chǔ)題，力求讓所有學(xué)生有信心參與到課堂中來.

例" 如圖1，已知矩形ABCD的兩邊長分別為6和10，過頂點(diǎn)B折疊矩形ABCD使得頂點(diǎn)C落在邊AD上，求折痕BE的長度.

[圖1]

有些學(xué)生讀題后便能給出解題思路，有些學(xué)生則一時(shí)難以厘清思路，解決問題的信心不足，但是他們也希望用自己的方法解決部分問題，從而得到大家的認(rèn)同.

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡稱《標(biāo)準(zhǔn)》）中明確指出：“問題提出應(yīng)引發(fā)學(xué)生認(rèn)知沖突，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)，促進(jìn)學(xué)生積極探究……增強(qiáng)認(rèn)識(shí)真實(shí)世界、解決真實(shí)問題的能力，樹立學(xué)好數(shù)學(xué)的自信心，養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣.”基于此，為了增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的自信心，筆者將原問題改為：“你能求出圖中哪些線段的長度？”這樣一改，對(duì)于解決原問題有困難的學(xué)生來說，雖然他們不能一步到位地解決原問題，但是能引起他們產(chǎn)生新的認(rèn)知沖突，進(jìn)而產(chǎn)生新的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)，轉(zhuǎn)而試圖求解圖中另一些線段的長度，使他們努力成為問題的解決者.

學(xué)生通過折紙不難發(fā)現(xiàn)[BC=BC]，進(jìn)而在Rt△ABC′中運(yùn)用勾股定理可以得到AC′= 8，從而有DC′= 2. 這是解決該題最關(guān)鍵的一步. 這里的折紙實(shí)驗(yàn)活動(dòng)就是“腳手架”，使原來思路不清晰的學(xué)生逐漸明晰思路. 此時(shí)，再引導(dǎo)學(xué)生圍繞這些已求出長度的線段，繼續(xù)求解未知線段的長度，其關(guān)鍵是在Rt△BCE或Rt[△BCE]中求出CE或[CE]的長度（通過軸對(duì)稱性質(zhì)，不難發(fā)現(xiàn)兩者相等），繼而轉(zhuǎn)化到折疊后新生成的Rt[△DCE]中進(jìn)行求解即可.

在上述問題解決的過程中，教師及時(shí)肯定的評(píng)價(jià)能夠使學(xué)生看到自己的進(jìn)步，激勵(lì)學(xué)生持續(xù)學(xué)習(xí)，幫助學(xué)生樹立學(xué)好數(shù)學(xué)的信心. 這里值得教師注意的是，對(duì)學(xué)生的評(píng)價(jià)不僅要關(guān)注其學(xué)習(xí)的結(jié)果，更要關(guān)注其在學(xué)習(xí)過程中的變化和發(fā)展. 教師可以設(shè)計(jì)有層次的問題，讓更多學(xué)生能有機(jī)會(huì)描述自己的操作過程，展示自己的求解策略，表達(dá)自己對(duì)該題的理解.

二、折紙助力學(xué)生成為問題的提出者

在例題的基礎(chǔ)上進(jìn)行變化，將這個(gè)矩形沿著對(duì)角線折疊（如圖2），求DF的長. 此題對(duì)于一部分學(xué)生來說也是比較困難的.

[圖2]

師生一起探索此題與例題之間的異同點(diǎn). 與例題一樣，此題不能直接使用勾股定理求解線段DF的長度；不同的是，新生成的直角三角形兩邊之間不再是一目了然的和差關(guān)系. 因此，教師需要引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)其間的關(guān)聯(lián)，并在探索關(guān)聯(lián)的過程中鼓勵(lì)學(xué)生提出新的問題.《標(biāo)準(zhǔn)》明確要求，在真實(shí)情境中提出能引發(fā)學(xué)生思考的數(shù)學(xué)問題，也可以引導(dǎo)學(xué)生提出合理問題. 同時(shí)，要求發(fā)展學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)與方法發(fā)現(xiàn)、提出、分析和解決問題的能力（簡稱“四能”）. 這里的“四能”看似逐級(jí)遞進(jìn)的關(guān)系，但事實(shí)上，發(fā)現(xiàn)和提出問題比分析和解決問題更難. 需要教師注意的是，在教學(xué)實(shí)踐中，不能因?yàn)椤案y”而忽視教學(xué). 由此，筆者在變式的基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)了一個(gè)開放性問題：“你能提出哪些問題？”這樣，雖然這個(gè)問題本身并不出奇，但能讓所有學(xué)生在原有經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上提出一些他自己發(fā)現(xiàn)的并且能解決的問題，或者他自己發(fā)現(xiàn)的但目前暫時(shí)還不能解決的問題. 尤其是對(duì)學(xué)習(xí)能力比較薄弱的學(xué)生，能夠提出問題更加難能可貴. 教師應(yīng)該及時(shí)給予肯定，幫助學(xué)生致力于成為問題的提出者.

部分基礎(chǔ)較好的學(xué)生仿照例題提出求線段長度的問題. 而對(duì)于一些基礎(chǔ)相對(duì)薄弱的學(xué)生，可以借助折紙這一“腳手架”，通過折疊手中的矩形紙片嘗試提出問題. 這時(shí)，學(xué)生很容易發(fā)現(xiàn)按照變式題的要求折疊后的新圖形是個(gè)軸對(duì)稱圖形，這個(gè)發(fā)現(xiàn)引發(fā)了學(xué)生一系列的猜想，并提出很多求證線段相等或者角相等的問題.

在不斷提出問題和解決問題的過程中，學(xué)生從圖中發(fā)現(xiàn)了兩組全等的直角三角形和一個(gè)等腰三角形. 這些發(fā)現(xiàn)有助于學(xué)生建立新生成的直角三角形邊之間的數(shù)量關(guān)系，從而突破難點(diǎn).

三、折紙助力學(xué)生成為問題的改編者

數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)，特別是課堂教學(xué)應(yīng)激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，引發(fā)學(xué)生積極思考，鼓勵(lì)學(xué)生質(zhì)疑問難，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題和提出問題，利用觀察、猜測、實(shí)驗(yàn)、計(jì)算、推理等方法來分析問題和解決問題. 對(duì)于學(xué)生來說，折紙比較容易，他們也愿意參與折紙活動(dòng). 利用一張矩形紙片，學(xué)生能折出各種各樣的圖形. 在此過程中，教師可以引導(dǎo)學(xué)生觀察、分類、歸納. 例如，有這樣一類矩形的折疊問題，其折痕的一端與矩形的一個(gè)頂點(diǎn)重合，而另一端在矩形的一條邊上（如圖3），隨著其中一個(gè)折痕端點(diǎn)（點(diǎn)E）位置的變化，圖形也發(fā)生著細(xì)微的變化. 這一變化過程正是助力學(xué)生成為問題改編者的一個(gè)契機(jī)，或者說是一個(gè)載體.

[圖3]

將圖形折疊到某一特定位置，一定會(huì)生成一些新的特殊圖形，這是命題者容易捕捉到的一個(gè)信息. 根據(jù)這一信息，可以命制出一些新的題目來. 為了提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性，不妨把命題的權(quán)利交給學(xué)生，鼓勵(lì)他們在原來的基礎(chǔ)上對(duì)例題進(jìn)行變式研究. 這樣，學(xué)生就由以往“被動(dòng)做題”的角色轉(zhuǎn)變?yōu)楝F(xiàn)在的“主動(dòng)命題”，即問題改編者的角色. 在教學(xué)實(shí)踐中，筆者發(fā)現(xiàn)此環(huán)節(jié)中有許多精彩的生成. 圖4和圖5都是學(xué)生的“作品”. 學(xué)生分別通過折紙定格折疊的某些特殊時(shí)刻發(fā)現(xiàn)問題；轉(zhuǎn)動(dòng)為靜復(fù)制圖形，大膽提出問題；抓住折疊前后的變與不變，嘗試分析問題；回顧解決問題的常用策略，力求解決新的問題.

[圖4] [圖5]

除此以外，一部分學(xué)生還折出了另外一類圖形，其折痕不過矩形的頂點(diǎn)，折痕兩端分別在矩形的兩條邊上（如圖6）. 在蘇科版教材八年級(jí)下冊的習(xí)題中也有這樣一種特殊情況，折疊矩形，使得其兩個(gè)頂點(diǎn)重合（如圖7），這是一個(gè)常練?？嫉膯栴}，一般是求折痕的長，對(duì)于很多學(xué)生而言是有一定難度的. 學(xué)生的幾何思維從一個(gè)水平向另一個(gè)水平的過渡不是平緩的，而是要經(jīng)歷一個(gè)“思維的危機(jī)”，這也是數(shù)學(xué)教育需要考慮的根本性問題之一. 圖7的難點(diǎn)在于折痕不在直角三角形中，這與學(xué)生已有的經(jīng)驗(yàn)不一致. 但有一點(diǎn)是一樣的，學(xué)生能很容易地求解出除折痕以外的其他線段的長度，這為接下來計(jì)算折痕的長度奠定了基礎(chǔ). 學(xué)生因?yàn)榫匦渭埰显酆跘C的存在，還能得到不同的解題方法，這一收獲讓學(xué)生備受鼓舞，在活動(dòng)中表現(xiàn)出更加積極的學(xué)習(xí)態(tài)度，增強(qiáng)了他們解決折疊類問題的信心. [圖6] [圖7]

四、折紙助力學(xué)生成為問題的設(shè)計(jì)者

順應(yīng)性思考是指將原有的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)應(yīng)用于新情境時(shí)，需調(diào)整原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)或?qū)π屡f認(rèn)知結(jié)構(gòu)加以整合，形成一種思維的飽和狀態(tài)，形成能夠包容新舊經(jīng)驗(yàn)的更高一級(jí)的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，以適應(yīng)外界的變化. 在矩形紙片的背景下，學(xué)生能夠通過改變折痕的位置，改編出一些有創(chuàng)意的題目. 如果沒有“矩形紙片”這一限制性情境，學(xué)生是否也能夠適應(yīng)折疊類問題的解決呢？為此，筆者倡導(dǎo)學(xué)生脫離“矩形紙片”這一實(shí)際情境，編制并解決其他圖形的折疊問題. 換言之，這樣做的目的是為學(xué)生成為問題的設(shè)計(jì)者構(gòu)筑一條通道.

在這個(gè)環(huán)節(jié)，學(xué)生變身為“設(shè)計(jì)師”，把紙片裁剪成他們熟悉的各種圖形，如三角形、平行四邊形、菱形、正方形等. 在操作、思考及設(shè)計(jì)的過程中，學(xué)生傾向于折疊特殊圖形，如直角三角形、正方形. 同時(shí)，學(xué)生把這些圖形轉(zhuǎn)化成矩形折疊的問題，應(yīng)用方程模型求解，這其中還迸發(fā)出了其他思維方法的火花. 他們發(fā)現(xiàn)，折疊一般的平行四邊形時(shí)，因其角度的不確定性，很難設(shè)計(jì)出與邊相關(guān)的問題. 因此，有學(xué)生嘗試確定平行四邊形一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)，如60°角. 圍繞特殊角度構(gòu)造直角三角形，從而把平行四邊形的折疊問題轉(zhuǎn)化為矩形的折疊問題來設(shè)計(jì)、改編、解決.

由于折痕和折疊對(duì)象發(fā)生變化，學(xué)生能獲得的圖形也更加豐富. 學(xué)生在原有矩形的基礎(chǔ)上大膽創(chuàng)新與實(shí)踐，抓住了知識(shí)的“生長點(diǎn)”和“延伸點(diǎn)”，學(xué)習(xí)潛能得以激發(fā)，達(dá)到了“會(huì)一題、通一類”的目的. 在解決折疊問題的過程中，學(xué)生還能總結(jié)解決問題的基本策略和基本方法，發(fā)現(xiàn)問題并大膽提出問題. 也許他們暫時(shí)還不能完全解答這些問題，如涉及相似三角形的問題或者與函數(shù)有關(guān)的知識(shí)，但這為對(duì)折疊問題進(jìn)行持續(xù)、深入研究埋下了伏筆，為學(xué)有余力的學(xué)生提供了探索的方向.

“腳手架”只能是輔助工具. 當(dāng)建筑工程結(jié)束時(shí)，腳手架也會(huì)被拆除. 同樣地，當(dāng)學(xué)生順利渡過解決折疊問題這一思維危機(jī)時(shí)，也可以無需通過折紙實(shí)驗(yàn)就能解決其他問題. 毋庸置疑，折紙?jiān)谂惆椴糠謱W(xué)生解決折疊類問題時(shí)發(fā)揮了重要作用.

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基金項(xiàng)目：江蘇省教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃2020年度重點(diǎn)資助項(xiàng)目——初中數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)支持系統(tǒng)的構(gòu)建研究（B-a / 2020 / 02 / 42）.

作者簡介：蔣惠麗（1983— ），女，高級(jí)教師，主要從事中學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)案例研究；

孫朝仁（1967— ），男，正高級(jí)教師，江蘇省特級(jí)教師，主要從事教育科研管理和初中數(shù)學(xué)教育研究.