【摘要】直線過定點(diǎn)問題是解析幾何中的一類經(jīng)典題型.盡管在高考中已經(jīng)多次出現(xiàn)，但它始終能夠呈現(xiàn)出創(chuàng)新的亮點(diǎn)，考查學(xué)生的思維能力和運(yùn)算能力.解決此類題目首先要較好地掌握解析幾何基本知識(shí)，同時(shí)還要熟悉常用的數(shù)學(xué)思想和解題方法.本文通過一道典型例題，展示此類問題的解題方法.

【關(guān)鍵詞】解析幾何；高中數(shù)學(xué)；解題方法

例題" 橢圓C：x2a2+y2b2=1（agt;bgt;0）的離心率為32，右焦點(diǎn)為F2（c，0），點(diǎn)P在橢圓上運(yùn)動(dòng)，且|PF2|的最大值為2+3.

（1）求橢圓C的方程；

（2）過點(diǎn)A（0，1）作斜率分別為k1，k2的兩條直線，分別交橢圓于點(diǎn)M，N，且k1+k2=4，證明：直線MN恒過定點(diǎn).

解析" 第（1）問由橢圓的焦半徑公式可以得到點(diǎn)P到右焦點(diǎn)F2（c，0）的距離d=a－ex，當(dāng)x=－a時(shí)，d=a+c取到最大值.

則由題意可以得到方程組：

ca=32，a+c=2+3，b=a2－c2，

由此可以解得a=2，b=1，

得到橢圓C的方程為x24+y2=1.

對(duì)于第（2）問則可以采取以下幾種解法.

解法1" 設(shè)線聯(lián)立，解出方程的根

若題目需要寫出直線表達(dá)式，可以將斜率作為未知量將直來線的解析式設(shè)出來.一般來說，常規(guī)的直線表達(dá)式是形如y=kx+b的形式，此方法思維量小，但是有時(shí)會(huì)因運(yùn)算變得復(fù)雜.因此，需要根據(jù)題目中的實(shí)際情況合理選用直線表達(dá)式的形式.

解" 由題意聯(lián)立：x24+y2=1，y=k1x+1，

得到方程（1+4k12）x2+8k1x=0，

解得方程的兩個(gè)根分別為：

x1=0，x2=－8k11+4k12，

即M－8k11+4k12，1－4k121+4k12.

整理可得點(diǎn)N的坐標(biāo)為－8k21+4k22，1－4k221+4k22，且k1≠k2，k1+k2=4.

則kMN=1－4k221+4k22－1－4k121+4k12－8k21+4k22+－8k11+4k12=

8k12－8k228k1－8k2+32k1k22－32k12k2=41－4k1k2，

所以直線MN的方程為：

y－1－4k121+4k12=41－4k1k2x+8k11+4k12.

令k1=1，k2=3，

得到y(tǒng)+35=－411x+85；

令k1=－1，k2=5，

得到y(tǒng)+35=421x－85，

聯(lián)立解得x=－12，y=－1.

代入檢驗(yàn)符合，所以直線MN過定點(diǎn)－12，－1.

運(yùn)用此方法能直接解出根的方程是少數(shù)，大多數(shù)題目都要采取設(shè)而不求的方式，用韋達(dá)定理整體代入求解.一般來說可以采取先猜后證的方法找到要找的定點(diǎn)，之后只需要證明將其代入判定式后是恒成立的即可.在此過程中，會(huì)涉及形式的配湊，需要根據(jù)結(jié)構(gòu)對(duì)常數(shù)進(jìn)行適當(dāng)?shù)恼{(diào)整.

解法2" 設(shè)點(diǎn)代入，聯(lián)立運(yùn)算

與直接設(shè)直線不同，設(shè)點(diǎn)的核心在于從直線與圓錐曲線的交點(diǎn)出發(fā)，用點(diǎn)的坐標(biāo)來研究問題.在這個(gè)過程中，要確保焦點(diǎn)的個(gè)數(shù)與參數(shù)個(gè)數(shù)相匹配.處理這類問題的核心步驟一般是整體代換或者消元，來使運(yùn)算得到簡(jiǎn)化.聯(lián)立后對(duì)于方程可應(yīng)用韋達(dá)定理，并結(jié)合題目已知的條件進(jìn)行討論.

解" 設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），

則k1+k2=y1－1x1+y2－1x2.

將橢圓方程進(jìn)行變形，

可化為x24+（y－1+1）2=1，

得到x24+（y－1）2+2（y－1）=0.

設(shè)直線MN為mx+n（y－1）=1，

聯(lián)立得到方程組：x24+y2=1，mx+n（y－1）=1，

得到方程（2n+1）y－1x2+2my－1x+14=0，

令k=y－1x，

則（2n+1）k2+2mk+14=0.

由題意得－2m2n+1=4，即m=－4n－2，

MN方程為n（－4x+y－1）－2x－1=0.

即直線MN恒過定點(diǎn)－12，－1.

設(shè)點(diǎn)法的優(yōu)勢(shì)在于能夠簡(jiǎn)化設(shè)未知量的計(jì)算過程，實(shí)際應(yīng)用中常輔以設(shè)直線，將兩者結(jié)合研究.在運(yùn)算時(shí)可以找到表達(dá)式或方程的整體結(jié)構(gòu)進(jìn)行處理，例如將表達(dá)式用其代表的實(shí)際意義表示出來，如此題中就利用斜率的表達(dá)式進(jìn)行了形式上的化簡(jiǎn).

解法3" 構(gòu)造新曲線

一般的問題中第一研究對(duì)象常常是直線，但是此方法反客為主，將第一研究對(duì)象變成了曲線，然后等價(jià)替換構(gòu)造新的曲線，與直線結(jié)合進(jìn)行研究.一般來說，新的曲線首先要滿足在幾何位置上具有特殊性，還要適合于直線幾何進(jìn)行運(yùn)算，因此要不斷地嘗試，使常數(shù)項(xiàng)更加貼合所需.

解" 先將橢圓沿y軸向下平移一個(gè)單位，得到新的曲線C′：x24+（y+1）2=1，

變形為x24+y2+2y=0.

同時(shí)點(diǎn)A，M，N的坐標(biāo)也都相繼改變，分別變?yōu)榱薃′，M′，N′.

由題意得直線M′N′斜率必存在，設(shè)其方程為mx+ny=1（n≠0），

則有x24+y2+2y（mx+ny）=0，

（2n+1）yx2+2myx+14=0，

則kOM′+kON′=k1+k2=y1x1+y2x2=

－2m2n+1=4，

即m=－4n－2，

則直線M′N′的表達(dá)式為n（4x－y）+2x+1=0，

即直線M′N′恒過點(diǎn)－12，－2，再向上平移一個(gè)單位得恒過定點(diǎn)－12，－1.

構(gòu)造新曲線的方法主要有平移、對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)三種方法，此題中運(yùn)用的是平移法.在解題時(shí)，需要根據(jù)題目要求合理選擇，有時(shí)會(huì)涉及多種構(gòu)造方法的運(yùn)用.對(duì)于較復(fù)雜的題目，需要將直線和曲線融合在一起進(jìn)行研究.

結(jié)語(yǔ)

以上三種方法巧妙地解決了直線過定點(diǎn)問題.前兩種方法對(duì)于計(jì)算的基本功要求較高，需要同學(xué)們多加練習(xí).最后一種方法要在實(shí)際的解題過程中進(jìn)行拓展鞏固.