李慶輝

● 教學片段對比展示

片段一:多媒體環(huán)境

深圳市深南中學王菁

創(chuàng)設情境:教師介紹勾股定理的歷史和逸聞趣事,設置勾股定理相關問題串。學生欣賞探索勾股定理(見圖1)和消防員架梯子救火動畫(見圖2)。從有趣的情境出發(fā),以境激情,以情激思。

師生互動,探索新知:學生以小組合作、交流的形式,采用直接數(shù)方格的辦法,或者是分割成幾個等腰三角形完成實驗,計算正方形A、B、C的面積(見圖3)。利用幾何畫板課件演示,形象地展現(xiàn)了定理的一般性,更好地幫助學生理解定理。

回歸生活,應用新知:一根旗桿在離地9米處斷裂,旗桿頂部落在距底部12米處,旗桿折斷之前有多高?學生體會此題的實際背景,并探討“旗桿折斷之前的高度”指的是什么。使學生全面了解和靈活掌握直角三角形三邊關系,防止思維定勢。

片段二:網(wǎng)絡技術環(huán)境

河北省唐山市第十七中學王立民

創(chuàng)設情境:以貼近學生生活的實際問題引入(一個門框的高為2米,寬為1米。一塊長3米,寬2.2米的薄木板能否從門框通過,為什么),從而調(diào)起學生渴求知識的胃口,激發(fā)和點燃學生的學習興趣,增大主體參與程度。

大膽猜想:我們以“勾3、股4、弦5”的情況為例進行猜想。看看動畫(見圖4)能不能帶給你一些靈感,請你大膽地猜想一下吧!

動畫比較直觀,學生容易猜想,并且這個動畫也展示了用面積來證明勾股定理的一個方法,為解決這節(jié)課的難點——勾股拼圖做了鋪墊。

計算機驗證:找更多的直角三角形進行測量、計算,再實驗。如果在練習本上畫、測、算,必定費時費力;利用幾何畫板,可以減少大量的測量和計算,并且測量和計算也相對準確一些。該過程中幾何畫板軟件的應用,為探索數(shù)學提供了數(shù)值的方法,它可以拖動三角形的一個頂點,任意改變直角三角形的大小,在變化中可以看到,不變的是a2+b2的數(shù)值據(jù)永遠等于c2。

理性認識:利用幾何畫板,動手拼接圖形,探究證明思路。

以上是參賽的兩個教學片段,縱觀2006～2008年三屆優(yōu)質(zhì)課大賽,初中數(shù)學組的參賽教師有10%選擇了《勾股定理》作為參賽課,他們根據(jù)自己的實際、自己的理解,應用不同的教學環(huán)境、采用不同的教學方法和策略教學同樣的主題。但其中有些教師采用的多媒體環(huán)境和網(wǎng)絡環(huán)境下的教學模式,忽視了傳統(tǒng)教學方法的應用,未能達到理想的教學效果。其主要原因是對信息技術與課程整合的整合點理論理解不透徹。

● 整合點深度分析

(一)優(yōu)質(zhì)課大賽《勾股定理》教學設計分析

《勾股定理》是初中數(shù)學教學的重要內(nèi)容之一。一方面,勾股定理可以看作直角三角形的性質(zhì),它揭示了直角三角形的三邊的數(shù)量關系,把形的特征(直角三角形的一個角是直角)轉(zhuǎn)化為數(shù)量關系(三邊符合a2+b2=c2),解決了許多直角三角形的計算問題;另一方面,由于勾股定理在整個數(shù)學學科以及重大科技發(fā)現(xiàn)中的作用,對學生的發(fā)展,尤其是科技觀的形成,其影響是重大的。筆者認真研究了2006～2008年三屆優(yōu)質(zhì)課大賽的教學設計,發(fā)現(xiàn)信息技術主要是用做創(chuàng)設情境工具、演示工具和探索工具。經(jīng)統(tǒng)計,在全部的18節(jié)課中,信息技術被用來創(chuàng)設情境的有17節(jié)課,占94%;用做演示工具的有18節(jié)課,占100%;用做探索工具的有17節(jié)課,占94%;用做交流工具的僅有3節(jié)課,占17%;學生利用網(wǎng)絡收集信息的有5節(jié)課,占28%;學生在網(wǎng)絡環(huán)境下動手操作的有9節(jié)課,占50%;學生在非網(wǎng)絡環(huán)境下動手操作的有7節(jié)課,占39%。

從統(tǒng)計的結(jié)果不難看出,多數(shù)教師忽略了傳統(tǒng)教學方法的優(yōu)勢,信息技術似乎成了萬能工具,而多媒體環(huán)境下的教學卻不能找到恰當?shù)恼宵c。筆者從整體上分析了勾股定理的教學設計存在的共性優(yōu)缺點。

優(yōu)點:①利用多媒體手段從中、西方不同的文化背景入手,挖掘勾股定理的發(fā)現(xiàn)過程,中西對比,培養(yǎng)學生的愛國情操。②充分利用多媒體技術創(chuàng)設教學情境,把教學內(nèi)容與日常生活有機地聯(lián)系起來,突出了勾股定理的應用。③能充分利用多媒體等教學資源,較好地使用教具,讓學生在演示中形象地理解題意。④利用幾何畫板軟件,直觀體驗了任意性的含義,能使學生深入理解任意性在數(shù)學中所起的作用。

缺點:①弦圖證法和畢達哥拉斯證法是一亮點,應該讓學生通過合作拼圖,進行勾股定理的證明,這也是這堂課的難點。而很多教師將這一系列的數(shù)學活動利用多媒體完成,學生未能更好地主動嘗試、探索,主動了解和發(fā)現(xiàn)知識的產(chǎn)生與發(fā)展過程。②在網(wǎng)絡教學中教師沒能設置任務,引導學生利用豐富的網(wǎng)絡資源自主探究有關勾股定理的發(fā)現(xiàn)、發(fā)展、文化價值等資料。搜集資料這一過程多由教師一人包辦。③對整合點和整合點診斷過程缺乏了解,找不到恰當?shù)恼宵c。對信息技術與課程整合還存在盲目性,有些教師還是為了用信息技術而用。

(二)《勾股定理》教學設計普遍存在的問題及原因

1.對《勾股定理》教材安排特點把握不準。

《勾股定理》教材安排有如下特點:①勾股定理有著悠久的歷史,是人類最偉大的數(shù)學發(fā)現(xiàn)之一。但是由于教材在編寫過程中遵循了簡約性的原則,沒能更深入地介紹它產(chǎn)生、發(fā)展的歷史背景以及它在人類文化發(fā)展史上的貢獻。②缺少多樣的驗證方法。勾股定理的證明方法很多,不同版本的教科書上都是選擇了一到兩種的面積證法。而學生學習這些證明法又存在以下兩方面的困難:一是這種方法以前沒見過,感到陌生,尤其是覺得不像證明。這主要是因為教科書中沒有專門講面積的理論,推理的根據(jù)不明確造成的。教學時可以向?qū)W生說明,圖形經(jīng)過割補拼接后,只要沒有重疊,沒有空隙,面積不會改變,這是一種常用的證明方法,這也是我國古代證明幾何問題常用的方法。二是教材中的證明方法是利用面積關系列等式,而如何找到這個等式對學生來說又是一個難點。

2.對整合點理論理解不透徹。

參賽選手的信息技術素養(yǎng)較高,但對整合點理論的理解不深入、不透徹是普遍存在的問題。導致某些教師的教學效率沒有顯著提高,沒有激發(fā)學生的學習興趣,自主與協(xié)作學習、動手操作能力沒有得到更好的培養(yǎng)。

整合點的診斷過程是,首先要分析每一個理想教學步驟是否能夠在常規(guī)教學手段支撐下完成,完成的效率和質(zhì)量如何;然后分析信息技術手段對每一步的支撐情況如何,是否比常規(guī)教學手段質(zhì)量或效率高,如果確實高的話,該步驟就可以診斷為整合點。

一節(jié)課的整合點應從這節(jié)課的教學重點、難點所對應的教學步驟中診斷,其他目標所對應的教學步驟中即便有整合點,利用信息技術解決了整合點的問題,對一節(jié)課的教學質(zhì)量和效率提高所起的作用也是很有限的。一節(jié)課的教與學的質(zhì)量和效率主要取決于重點、難點的解決程度。對于其他的教學目標所對應的教學步驟,是否分析整合點,要根據(jù)這節(jié)課的具體情況而定。同一節(jié)課,不同學校、不同班級、不同教師所設計的教學過程可能有區(qū)別,因此,整合點可能有區(qū)別。即便教學過程相同,整合點也可能不同。整合點是教學步驟,而不是教學內(nèi)容,在整合點診斷時不要搞混淆了。

綜合教材安排特點、學生認知特征、教學環(huán)境、教學資源等各方面的因素。結(jié)合整合點理論,筆者認為對于《勾股定理》這節(jié)課采用混合式教學會達到理想的教學效果。

● 點石成金——理想狀態(tài)下的勾股定理教學設計

所謂理想情況下一節(jié)課的教學過程設計,是指在不考慮教學條件的情況下,突破時空限制來構思課堂教學的步驟,盡可能提高學生的學習質(zhì)量和效率。筆者根據(jù)整合點理論,及優(yōu)質(zhì)課大賽中各位教師的優(yōu)點。筆者設計了理想狀態(tài)下的勾股定理教學設計,下面是理想狀態(tài)下教學設計的幾個片段。

(一)穿越表象,透視規(guī)律

教與學的活動以及媒體的應用:

1.觀察下圖并填空。

(1)請學生觀察圖形A、B、C的面積有什么關系(見圖5)?(SA+SB=SC)

(2)圖6中每個小方格代表一個單位面積,正方形A中含有____個小方格,即A的面積是____個單位面積;正方形B的面積是____個單位面積;正方形C的面積是____個單位面積。

三個正方形A、B、C面積之間有什么關系?(SA+SB=SC,即兩條直角邊上的正方形面積之和等于斜邊上的正方形的面積)

(4)做一做。

學生利用幾何畫板畫出任意一個直角三角形,并推導出直角三角形三邊平方和的關系。

整合點及解決辦法:①設置“數(shù)格子”、“超級畫板演示”、“幾何畫板實驗”三個環(huán)節(jié),讓學生直觀感受勾股定理的數(shù)形特征,親歷猜想勾股定理的過程。②充分運用信息技術的優(yōu)勢,直觀、形象地揭示問題的本質(zhì),讓學生在變化中把握住“不變”的本質(zhì),進一步強化猜想的正確性,從而激發(fā)學生進一步論證猜想的欲望,維持強勁探索動力,為下一步學習活動做好充分的思維準備。

(二)例題講解,運用定理

教與學的活動以及媒體的應用:

1.在Rt△ABC中,∠C=90°。

(1)已知a=6,c=10,求b。

(2)已知a=40,b=9,求c。

(3)已知c=25,b=15,求a。

2.在Rt△ABC中,∠C=90°

(1)若2∠A=∠B,且a=2,則b=_____,c=____。

(2)a:b=3:4,且c=10,則a=____,b=____。

利用實物投影展示學生的求解過程。

整合點及解決辦法:①習題設計遵循“循序漸進”,強化學生對定理的理解、運用,培養(yǎng)學生解決實際問題的能力。②通過實物投影展示學生的學習成果,讓學生互相進行點評。

(三)鞏固練習,強化記憶

動畫演示蓮花問題:平平湖水清可見,面上半尺生紅蓮;出泥不染亭亭立,忽被強風吹一邊;漁人觀看忙向前,花離原位二尺遠;能算諸君請解題,湖水如何見深淺(見圖8)。

整合點及解決辦法:利用多媒體生動、形象地再現(xiàn)問題情境。

(四)思維拓展,深化定理

教與學的活動以及媒體的應用:已知任意△ABC,其三邊分別為a、b、c,讓學生動手操作,仔細觀察幾何畫板動畫演示,并分小組討論,完成下面的內(nèi)容。

①當△ABC是三角形時,a²+b²>c²。

②當△ABC是三角形時,a²+b²=c²。

③當△ABC是三角形時,a²+b²2