王興國

關(guān)于數(shù)學(xué)思想方法,數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育工作著有諸多論述。通常,大家從“數(shù)學(xué)思想”和“數(shù)學(xué)方法”兩個角度對數(shù)學(xué)思想方法加以闡述,認(rèn)為數(shù)學(xué)思想是對數(shù)學(xué)對象的本質(zhì)認(rèn)識,是對具體的數(shù)學(xué)概念、命題、規(guī)律、方法等的認(rèn)識過程中提煉概括的基本觀點(diǎn)和根本想法,對數(shù)學(xué)活動具有普遍的指導(dǎo)意義,是數(shù)學(xué)活動的指導(dǎo)思想;數(shù)學(xué)方法是指數(shù)學(xué)活動中所采用的途徑、方式、手段、策略等。數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法有緊密的聯(lián)系性。通常,在強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)活動的指導(dǎo)思想時稱數(shù)學(xué)思想,在強(qiáng)調(diào)具體操作過程時稱數(shù)學(xué)方法。查閱中國期刊網(wǎng),從1980年～2008年的全部期刊中,以“數(shù)學(xué)思想方法”為關(guān)鍵詞進(jìn)行精確匹配查詢,共有5529條記錄,它們闡述了數(shù)學(xué)思想方法概念的界定、數(shù)學(xué)思想方法的分類、數(shù)學(xué)思想方法的意義、數(shù)學(xué)思想方法的基本特征及其目標(biāo)設(shè)置、數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的原則和教學(xué)基本途徑等,而少有涉及其學(xué)習(xí)的問題。本文嘗試從心理學(xué)的角度對數(shù)學(xué)思想方法學(xué)習(xí)的幾個問題進(jìn)行論述。

一、數(shù)學(xué)思想方法學(xué)習(xí)的心理過程

數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容始終反映著兩條線,即具體數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)思想方法。數(shù)學(xué)教材的每一章節(jié)乃至每一道題,都體現(xiàn)著這兩條線的有機(jī)結(jié)合,沒有脫離數(shù)學(xué)具體知識的數(shù)學(xué)思想方法,也沒有不包含數(shù)學(xué)思想方法的具體數(shù)學(xué)知識。數(shù)學(xué)思想方法并不像一般的數(shù)學(xué)知識一樣編排在某一章、某一節(jié),而往往隱含在具體數(shù)學(xué)內(nèi)容里,分散地體現(xiàn)在具體知識的發(fā)生、應(yīng)用過程中。正是這種隱蔽性、分散性,決定了數(shù)學(xué)思想方法學(xué)習(xí)有著不同于一般數(shù)學(xué)知識學(xué)習(xí)的心理過程。心理過程,是指人的心理活動發(fā)生、發(fā)展的過程。在數(shù)學(xué)思想方法學(xué)習(xí)活動中,學(xué)生經(jīng)歷了什么樣的心理過程是一個亟待解決的問題。

文獻(xiàn)將數(shù)學(xué)思想方法的學(xué)習(xí)過程分為三個階段:潛意識階段、明朗化階段、深刻化階段。那么,數(shù)學(xué)思想方法學(xué)習(xí)的心理過程如何呢?下面結(jié)合文獻(xiàn)提出的數(shù)學(xué)思想方法的學(xué)習(xí)過程予以分析。

在數(shù)學(xué)思想方法學(xué)習(xí)的潛意識階段,學(xué)生往往只注意了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中以外顯的形式直接寫在教材中的知識的學(xué)習(xí),注意了知識的增長,而未曾注意到聯(lián)結(jié)這些知識點(diǎn)的觀點(diǎn)以及由此出發(fā)產(chǎn)生的解決問題的方法與策略,即使有所察覺,也是處于“朦朦朧朧”、“似有所悟”的境界。例如,學(xué)生學(xué)習(xí)用換元法解方程時,只是注意設(shè)未知數(shù)、換元、解換元后的方程等解題步驟,并把換元法當(dāng)作解題步驟來模仿、記憶,而未能體會出換元思想是數(shù)學(xué)中常用的思想方法。在這一階段,學(xué)生只是通過觀察,把某一數(shù)學(xué)思想方法的操作作為解題步驟進(jìn)行模仿、記憶,這事實(shí)上是對數(shù)學(xué)材料、數(shù)學(xué)活動中隱含的數(shù)學(xué)思想方法的“程序性知識”——“怎么辦”的知識的運(yùn)用進(jìn)行的模仿。在此,我們?nèi)菀字?學(xué)生數(shù)學(xué)思想方法的獲得首先是從獲得“模糊的程序性知識”開始的,學(xué)生經(jīng)歷的心理過程是:模仿。

在學(xué)生接觸過較多的數(shù)學(xué)問題之后,數(shù)學(xué)思想方法的學(xué)習(xí)從潛意識階段逐漸過渡到明朗期,學(xué)生對數(shù)學(xué)思想方法的認(rèn)識已經(jīng)明朗,開始理解數(shù)學(xué)活動中所使用的探索方法與策略,也會概括、總結(jié)出來。例如,學(xué)生在方程問題、不等式問題、函數(shù)問題等某一類或幾類問題的解決中,多次通過使用整式換元、根式換元、指數(shù)式換元、對數(shù)式換元、三角換元等換元技巧,從中獲得了對換元法的一些初步認(rèn)識,起先還只是伴隨著具體問題的一些操作步驟,漸漸地體會到這些結(jié)合具體情境的產(chǎn)生式(換元過程)在結(jié)構(gòu)上存在某些一致性(這是一種歸納),并在特定的問題情境中嘗試換元技巧,檢驗、體會到其中的一致性,從而概括、總結(jié)出:換元法就是在解決數(shù)學(xué)問題時,把某個式子看成一個整體,用一個變量去代替它,從而使問題得到簡化。在這一階段,學(xué)生對所學(xué)的數(shù)學(xué)思想方法形成了一定的理解,并初步形成了一個概念。相應(yīng)地,數(shù)學(xué)思想方法的“程序性知識”變得清晰起來,并開始向“陳述性知識”轉(zhuǎn)化,同時獲得了一些“過程性知識”。學(xué)生經(jīng)歷的心理過程是:歸納、檢驗、概括。當(dāng)然,這一階段需要教師有目的地對數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行教學(xué),而且必須采用“化隱為顯”的原則進(jìn)行教學(xué),因為一般的數(shù)學(xué)知識本身已經(jīng)比較抽象難學(xué),那么隱含在其背后的數(shù)學(xué)思想方法更是讓學(xué)生難以自動發(fā)現(xiàn)并概括出來。

數(shù)學(xué)思想方法學(xué)習(xí)的深刻化階段,是指深入理解與實(shí)際運(yùn)用思想方法的階段,即學(xué)生能依據(jù)題意,恰當(dāng)運(yùn)用某種思想方法進(jìn)行探索,以求得問題的解決。這一階段,既是進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)思想方法的階段,也是實(shí)際運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法的階段。在這一階段,隨著學(xué)生把習(xí)得的數(shù)學(xué)思想方法運(yùn)用到更廣泛的不同類的問題解決中,建立了豐富的某種數(shù)學(xué)思想方法的表象,形成了對它更深刻的理解。此時,學(xué)生已經(jīng)知道了什么條件下使用該思想方法,掌握了該思想方法更多的技巧、手段,具體的操作步驟被進(jìn)一步地抽象、概括、升華,形成了該思想方法的圖式,此時該數(shù)學(xué)思想方法被納入學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中,并可以以其為上位知識來進(jìn)行下位知識的學(xué)習(xí),以其為指導(dǎo)解決數(shù)學(xué)問題。如,對于換元法,通過在更廣泛的不同類的問題解決中的運(yùn)用,學(xué)生掌握了整式換元、根式換元、指數(shù)式換元、對數(shù)式換元、三角換元等換元技巧;知道它可以化高次為低次、化分式為整式、化無理式為有理式、化超越式為代數(shù)式,在研究方程、不等式、函數(shù)、數(shù)列、三角等問題中有廣泛的應(yīng)用;明確使用換元法時,要遵循有利于運(yùn)算、有利于標(biāo)準(zhǔn)化的原則,換元后要注重新變量范圍的選取;知道換元的實(shí)質(zhì)是轉(zhuǎn)化,目的是變換研究對象,將問題移至新對象的知識背景中去研究,從而使非標(biāo)準(zhǔn)型問題標(biāo)準(zhǔn)化、復(fù)雜問題簡單化,變得容易處理.....,所有這些,使得原來初步概括出來的“換元法”精致化,并一同形成一個“換元法圖式”,納入學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中,并在實(shí)際情境中,主動運(yùn)用“換元法”解決問題。在這一階段,數(shù)學(xué)思想方法的“程序性知識”轉(zhuǎn)化為“陳述性知識”,既而又轉(zhuǎn)化為“程序性知識”,“過程性知識”也豐富起來。學(xué)生經(jīng)歷的心理過程是:并入(即把所學(xué)的數(shù)學(xué)思想方法同認(rèn)知結(jié)構(gòu)中有關(guān)的起固定作用的觀念聯(lián)系起來,從而納入認(rèn)知結(jié)構(gòu))、分離(把思想方法從認(rèn)知結(jié)構(gòu)中分化出來運(yùn)用于實(shí)際)。

通過以上分析可知,數(shù)學(xué)思想方法學(xué)習(xí)經(jīng)歷的是先過程后對象再過程的認(rèn)知順序,其心理過程為:模仿、歸納、檢驗、概括、并入(認(rèn)知結(jié)構(gòu))、分離。

數(shù)學(xué)思想方法學(xué)習(xí)的這一心理過程,反映了學(xué)習(xí)者數(shù)學(xué)思想方法學(xué)習(xí)心理水平的發(fā)展,但在不同階段,由于學(xué)習(xí)者的一般數(shù)學(xué)知識水平不同、元認(rèn)知水平不同,所以決定了這一心理過程不是直線式地提高或發(fā)展的,而是一個分水平的、動態(tài)的、非線性的、反反復(fù)復(fù)的過程性發(fā)展。

二、數(shù)學(xué)思想方法學(xué)習(xí)的認(rèn)知基礎(chǔ)和心理機(jī)制

Ausubel曾經(jīng)指出,從教育心理學(xué)最基本的原理看,“影響學(xué)習(xí)最重要的因素是學(xué)生已經(jīng)知道了什么”。學(xué)習(xí)新知識以前,頭腦里一定要具備與之有關(guān)的準(zhǔn)備知識,并且這些知識形成的認(rèn)知結(jié)構(gòu)被調(diào)動起來,使其與新知識建立聯(lián)系,否則就不會產(chǎn)生理解。按心理學(xué)的觀點(diǎn),理解知識最基本的機(jī)制是同化和順應(yīng)。同化是指個體將新的信息納入到他已有的圖式(認(rèn)知結(jié)構(gòu))的過程,就像消化系統(tǒng)將營養(yǎng)物質(zhì)吸收一樣;順應(yīng)是指個體調(diào)節(jié)自己的已有圖式(認(rèn)知結(jié)構(gòu)),以適應(yīng)新的環(huán)境的過程。當(dāng)個體接觸新的環(huán)境信息時,首先會用已有的圖式(認(rèn)知結(jié)構(gòu))去同化它,如果成功,則豐富了相應(yīng)圖式的內(nèi)涵,并得到暫時的平衡,如果已有的圖式不能同化,個體便會作出順應(yīng),直至達(dá)到認(rèn)知上新的平衡。所以,數(shù)學(xué)思想方法的學(xué)習(xí)應(yīng)該以該思想方法一定的認(rèn)知結(jié)構(gòu)為基礎(chǔ),這個基礎(chǔ)就是與該思想方法有密切聯(lián)系的知識、方法的圖式以及圖式之間內(nèi)在聯(lián)系的認(rèn)知;而且數(shù)學(xué)思想方法學(xué)習(xí)的心理機(jī)制,就是以這些圖式以及圖式之間內(nèi)在聯(lián)系的認(rèn)知為基礎(chǔ),通過對該思想方法進(jìn)行同化和順應(yīng),使原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)得以不斷地重組、更新,從而促成數(shù)學(xué)思想方法的學(xué)習(xí)螺旋式的發(fā)展。