王愛屏

(哈爾濱師范大學)

劉徽“類”思想中的數學成就及其局限性

王愛屏

(哈爾濱師范大學)

根據《九章算術注》序中劉徽對“類”的敘述以及其在《九章算術注》中的具體體現，對劉徽的“類”的思想進行辨析，闡明劉徽“類”思想所闡述的真正的含義.

劉徽;傳統(tǒng)數學;九章算術;推類

“類”概念在中國有很古老的歷史淵源，但其真正形成是始于后期墨家.并且，“類”概念既與中國古代數學等學科的發(fā)展直接相關，更是數學等學科的科學方法的某種表現.從后期墨家的著作到明清之際方以智、王夫之、黃宗羲、顧炎武等人的著作里可以清楚地看到.后期墨家對判斷作了分類，認為凡具有同一標準所說明屬性的事物都可以看作一類，將推理分為“以類取”和“以類予”兩大類［1］.中國古代邏輯學家的確對“類”的研究是下了大功夫的.近年來，關于中國傳統(tǒng)的“推類”思想的討論甚多，甚至把“推類”的思想理解為中國古代的主導邏輯思想［1-5］.但是，對于“類”的概念、“推類”概念卻眾說紛紜，有不同的理解.

在中國傳統(tǒng)數學領域，一些學者認為“推類”思想是中國傳統(tǒng)數學的主導推理思想［6-8］.甚至認為，在《九章算術注》中，劉徽對許多問題的證明是以“類”為基礎，證明過程和證明方式的基本原則是“以類合類”.但是，對于“推類”的概念、“推類”的邏輯屬性，以及劉徽的“推類”思想的真正含義以及應用，仍有許多值得商榷的地方.

首先，對于“推類”的概念，劉明明認為“推類”是古代中國人關于本民族“推理”的確切名稱.“推類”的含義比“類推”的相對寬泛些.“推類”是建立在對事物“類”的性質及其相互關系把握基礎上的中國古代的推理方式［3］.劉邦凡認為所謂“推類”就是一種以“類”為基礎、從已知到未知的思維過程.［8］但是，對于“推類”的具體邏輯屬性中國古代數學的表達是含糊的.許多人都給以含糊的回答.例如:劉明明指出“推類”可以抽象出傳統(tǒng)邏輯中的三段論、類比推理和歸納推理那樣的“形式”，但抽象出“推理形式”則意味著去掉了本民族的“文化特質”［3］.我們可以把這種觀點理解為:在中華民族特有的文化特質下，“推類”概念可以蘊涵西方邏輯中的三段論和歸納推理，但不會獲得西方那樣嚴密、準確的表達方式.劉邦凡則認為這種思維過程(思維模式)在形式上具有類比推理的特征，在內容上則更具有演繹推理的性質，是一種中國古代文化所固有的綜合推理形式［8］.這種概括比較符合中國數學的實際.總體上看，學界同仁大體上都承認，“推類”是中國傳統(tǒng)數學中特有的一種從已知到未知的邏輯方式.

在劉徽的《九章算術注》中，關于“類”有這樣兩段值得注意的表示，一段是這樣說的:“徽幼習《九章》，長再詳覽.觀陰陽之割裂，總算術之根源，探賾之暇，遂悟其意.是以敢竭頑魯，采其所見，為之作注.事類相推，各有攸歸，故枝條雖分而同本榦知，發(fā)其一端而已.”在這里，劉徽提到了“事類相推”，但是相推的目的，并不是要從已知推往未知，而只是一個歸納的過程.劉徽明確說明，相推的目的為了找到事物的“各有所歸”，劉徽并舉了一個很形象的例子，就像一棵大樹，雖然有許多枝條，但是，假如追本溯源，終于會發(fā)現他們都發(fā)自同一個樹干.在這里，劉徽的原意，“推”的意思并不是從已知推向未知，而只是歸納的意思.劉徽認為數學問題，雖然看起來五花八門，可是，經過推演是可以給他們歸類的.從這里看，歸類明顯是一個歸納的過程.

另一段關于“類”的記述是在《九章算術》序的結尾.劉徽提到了他自己創(chuàng)作的《重差》章(亦即《海島算經》)，“輒造《重差》，并為注解，以究古人之意，綴于句股之下.度高者重表，測深者累矩，孤離者三望，離而又旁求者四望.觸類而長之，則雖幽遐詭伏，靡所不入”在這里，劉徽又用了“類”的概念，“觸類而長之”.

現人研究劉徽，多研究劉徽對原《九章算術》的注，而對《海島算經》沒有給予足夠的重視.《九章算術注》是劉徽在前人的框架下作注，而《海島算經》是劉徽的直接創(chuàng)作，從《海島算經》里面，應該包含了更多和更直接的劉徽的數學思想.

《海島算經》里給出9道題目，分別是測量不同的條件下的物體的高度或者深度.這九道題目大體上是條件越來越苛刻，難度越來越大，解題的步驟也越來越繁雜，解題方法從重表到三望再到四望.但是，所有這些問題雖然繁復，歸根到底都可以歸到重差術上去.如果掌握了重差術，那么三望四望等解法就可以觸類旁通了.也就是劉徽所說的，“觸類而長之，則雖幽遐詭伏，靡所不入”的意思.

總結劉徽關于“類”的思想，我們會發(fā)現在劉徽的關于“類”的思想中，是對數學的認識規(guī)律的總結.其中認為對問題的認識可以分為兩個階段，第一個階段是“推類而歸”(事類相推，各有攸歸)，找到這些問題的共同點.第二個階段是“觸類而長”.在認識問題的本質后，進到更高的層次.第一個階段是歸納總結的階段，是一個從事物特殊性到普遍性的階段.在數學上，就是經過推理，找到不同問題的真正數學歸屬.而第二個階段可以看作一個“演繹推理”的階段.經過第一個“推類而歸“的階段，認識了這些問題的真正本質以后，可以再解決其他的問題，這也是一個從普遍再到特殊的階段.

“推類而歸”在《九章算術》里表現得十分明顯，一方面是對數學概念的重新整理分類.劉徽在“方以類聚，物以群分”的數學分類思想指導下，對數學概念進行分類.另一方面，對數學方法進行分類.對數學方法的歸類與分析，是劉徽數學成就的重要方面.首先，劉徽對數學方法的同一性進行了高度概括，把“今有術”看成統(tǒng)屬經率術、衰分術、返衰術、均輸術等幾個重要數學方法和許多問題求解的“都術”.第二，劉徽認識并分析了數學方法的層次性，例如:指出“今有術比衰分術等方法高一級”.第三，分析許多問題在解法上的同一性并歸為同一類問題.這樣對數學問題的分類方法［9］.對于以實用為主的傳統(tǒng)數學體系有著重要的作用.有了這樣的歸類后，在解決問題的時候就可以“觸類而長”了.

但是，應該認識到，劉徽的“類”的思想，從總體來說，并不是一種用來進行定理證明的具體的方式，而只是對數學認識規(guī)律的總結.認為“劉徽在證明過程中，是以“類”為基礎，證明過程的基本方式與基本原則是“以類合類”則顯得有些牽強.劉徽在數學證明中，運用了形式多樣的創(chuàng)新性方法，正如吳文俊先生所說，劉徽對《九章算術》中的許多結論給出了嚴格的證明.他所采用的證明方法，不僅有綜合法、分析法，而且有時還兼用反證法［10］.很難都把這些方法都歸于“以類合類”.“以類合類”的方法就很難解釋劉徽的割圓術、以及用極限方法對陽馬等幾何體體積的推導這些具有高度獨創(chuàng)性的方法.總起來，劉徽的“類”認識，更是一種對數學問題的認識論的科學歸結，而不是一種證明方式和基本原則.

總起來說，筆者認為，劉徽對“類”思想，包括不可分割的兩個部分，一個是“推類而歸”的過程，一個是“觸類而長“的過程.第一個過程是一個歸納推理的過程，第二個過程基本上是一個演繹的過程.這兩個過程互相聯系，不可分割，包含了豐富的認識論內容，體現了從特殊到一般，再從一般到特殊的辯證法思想.體現了劉徽作為中國傳統(tǒng)數學大家對數學的問題深刻的認識.劉徽的“類”、“推類”的思想，既展現了中華民族數學成績的獨特性，也表現著傳統(tǒng)數學的認識論的特征，更是由已知到未知的方法論手段.中國古代的數學成就帶有中國傳統(tǒng)文化的氣質和特征，它孕育了14世紀中國科學的輝煌，也埋藏下了近代落后的原因.辯證地認識中國古代成就，就是劉徽“類”思想的深刻啟示.

［1］崔清田.推類:中國邏輯的主導推理類型.中州學刊，2004(3):136-141.

［2］黃朝陽.中國古代邏輯的主導推理類型-推類.南開學報(哲學社會科學版)，2009，211(5):92-99.

［3］劉明明.推類邏輯:中國古代邏輯的原型(上).畢節(jié)學院學報(綜合版)，2006(3):21-26.

［4］劉明明.推類邏輯:中國古代邏輯的原型(下).畢節(jié)學院學報(綜合版)，2006(5):26-30.

［5］張曉光.中國邏輯傳統(tǒng)中的類和推類.廣東社會科學，2002(3):32-37.

［6］劉邦凡.論九章算術原文的推類思想.科技信息，2007，220(8):33-34.

［7］劉邦凡.論周髀算經的推類思想.科技信息，2007，222(10):3-4.

［8］劉邦凡.論推類邏輯與中國古代科學.哲學研究，2007(11):116-121.

［9］劉邦凡.論中國邏輯與中國傳統(tǒng)數學.自然辯證法研究，2005(3):95-98.

［10］白尚恕.九章算術注釋.北京:科學出版社，1983.

The Advatange and Disadvantage of Liuhui's Mathmatic Thought of LEI

Wang Aiping
(Harbin Normal University)

Concept of “LEI” plays important role in China's traditional mathmatic.From Liuhui's book，“Annotations to the Nine Chapters of the Mathematical Art”，his thought about LEI was analyzed.it is found that there is two logic parts in liuhui's thought of LEI，one is a induction process，and the other is a deduction one.

Liu hui;Chinese traditional mathmatic;Annotations to the Nine Chapters of the Mathematical Art;Concept of LEI

2010-06-27

(責任編輯:李佳云)