姚 榮 涵， 王 殿 海

（1.大連理工大學(xué) 交通運(yùn)輸學(xué)院，遼寧 大連 116024；2.浙江大學(xué) 建筑工程學(xué)院，浙江 杭州 310058）

0 引 言

交通運(yùn)輸系統(tǒng)中存在很多排隊(duì)現(xiàn)象，最大排隊(duì)長(zhǎng)度是車輛排隊(duì)過程中的一個(gè)臨界值[1].針對(duì)最大排隊(duì)長(zhǎng)度的研究并不多見.國(guó)外，有學(xué)者提出最大排隊(duì)長(zhǎng)度的解析表達(dá)式[2]；探討無信號(hào)交叉口排隊(duì)長(zhǎng)度的分布[3]；還有學(xué)者針對(duì)無信號(hào)交叉口提出一種估計(jì)最大排隊(duì)長(zhǎng)度的宏觀動(dòng)態(tài)模型[4].國(guó)內(nèi)，一些學(xué)者根據(jù)準(zhǔn)沖擊波方法或交通波理論計(jì)算信號(hào)交叉口紅燈末或高速道路交通事故發(fā)生后車輛的最大排隊(duì)長(zhǎng)度[5～7].這些研究成果主要是求解了最大排隊(duì)長(zhǎng)度的數(shù)學(xué)期望.

在信號(hào)交叉口，紅燈期間車輛形成排隊(duì)，紅燈末排隊(duì)長(zhǎng)度達(dá)到最大值，此刻是單個(gè)路段排隊(duì)現(xiàn)象最為嚴(yán)重的時(shí)刻，同時(shí)也是車輛排隊(duì)可能在路網(wǎng)中引起連鎖反應(yīng)的關(guān)鍵時(shí)刻.揭示這一最大排隊(duì)長(zhǎng)度的時(shí)空特性對(duì)探討交通多米諾效應(yīng)有重要意義.本文基于單車道路段當(dāng)量排隊(duì)長(zhǎng)度模型建立最大當(dāng)量排隊(duì)長(zhǎng)度（即紅燈末當(dāng)量排隊(duì)長(zhǎng)度）模型，并據(jù)此分析最大當(dāng)量排隊(duì)長(zhǎng)度的時(shí)空特性.

1 模型建立

根據(jù)二流理論[8]，單車道路段當(dāng)量排隊(duì)長(zhǎng)度模型為[9]

式中：Ld（t）為時(shí)刻t上、下游斷面間的當(dāng)量排隊(duì)長(zhǎng)度；N0為初始時(shí)刻t＝0上、下游斷面間的車輛數(shù)；Nu（t）和Nd（t）為時(shí)刻t累計(jì)通過上、下游斷面的車輛數(shù)；L為上、下游斷面間的距離；km和kj為上、下游斷面間交通流的最佳密度和阻塞密度.

假設(shè)時(shí)刻t對(duì)應(yīng)于第j個(gè)采樣周期末，則時(shí)刻t累計(jì)通過上、下游斷面的車輛數(shù)為

式中：Nu（j）和Nu（j－1）為第j和j－1個(gè)采樣周期末累計(jì)通過上游斷面的車輛數(shù)；Qu（j）和Qd（j）為第j個(gè)采樣周期內(nèi)通過上、下游斷面的車輛數(shù)；Nd（j）和Nd（j－1）為第j和j－1個(gè)采樣周期末累計(jì)通過下游斷面的車輛數(shù).

式（2）和（3）中j＝1，2，3，…；當(dāng)j＝1時(shí)，Nu（0）＝0，Nd（0）＝0，即上、下游斷面初始累計(jì)車輛數(shù)均為0.

將式（2）、（3）代入式（1），則

式中

ΔN（j－1）為第j－1個(gè)采樣周期末上、下游斷面間的車輛數(shù)；qu（j）和qd（j）為第j個(gè)采樣周期內(nèi)通過上、下游斷面的車流量；T為采樣間隔.

在信號(hào)交叉口綠燈期間車輛處于釋放過程中，從綠燈開始到綠燈結(jié)束，排隊(duì)長(zhǎng)度隨著時(shí)間推移不斷變短；紅燈期間車輛在交叉口停車線前依次排隊(duì)，從紅燈開始到紅燈結(jié)束，排隊(duì)長(zhǎng)度隨著時(shí)間推移不斷變長(zhǎng).在信號(hào)控制系統(tǒng)中，往往需要控制最大排隊(duì)長(zhǎng)度，因此預(yù)測(cè)最大當(dāng)量排隊(duì)長(zhǎng)度也具有重要意義.下面來建立最大當(dāng)量排隊(duì)長(zhǎng)度模型.

紅燈開始時(shí)，到達(dá)停車線的車輛必須停車，此后來車必須依次排隊(duì).因而，紅燈期間通過下游段面的車輛數(shù)為0，即qd（j）＝0，則式（4）簡(jiǎn)化為

式中：（j）為第j個(gè)紅燈末的當(dāng)量排隊(duì)長(zhǎng)度，即最大當(dāng)量排隊(duì)長(zhǎng)度；ΔNi（j）為第j個(gè)紅燈初的滯留車輛數(shù)；qu（j）為第j個(gè)紅燈期間即采樣周期內(nèi)上游到達(dá)的車流量；r為紅燈時(shí)長(zhǎng).

根據(jù)信號(hào)配時(shí)理論可知[1]

式中：C為周期時(shí)長(zhǎng)；u為綠信比.

假定紅燈期間上游到達(dá)車流量為q，簡(jiǎn)寫ΔNi（j）為N，將式（6）代入式（5）得

式中：為最大當(dāng)量排隊(duì)長(zhǎng)度；N為紅燈初滯留車輛數(shù)；q為紅燈期間到達(dá)車流量.

2 時(shí)空特性

2.1 交通流特性

當(dāng)N、C、u、L一定，最大當(dāng)量排隊(duì)長(zhǎng)度與到達(dá)車流量的函數(shù)關(guān)系為

從式（8）來看，當(dāng)N、C、u、L一定與q呈線性關(guān)系，見圖1.直線斜率由周期時(shí)長(zhǎng)和綠信比決定，截距由滯留車輛數(shù)和路段長(zhǎng)度決定.周期越長(zhǎng)，綠信比越小，斜率越大；滯留車輛數(shù)越多，路段越短，截距越大.

由圖1（a）可見，當(dāng)C、u、L一定，不同N形成的Lrd－q曲線族為一系列平行直線，直線斜率相同，滯留車輛數(shù)越多，截距越大；無論q取何值，同一q對(duì)應(yīng)的相同ΔN均引起相同的ΔLrd，反之亦然；這說明此時(shí)L rd對(duì)q和N均不敏感.由圖1（b）可見，當(dāng)N、u、L一定，不同C形成的L rd－q曲線族為一系列不平行直線，直線截距相同，周期越長(zhǎng)，斜率越大，隨著q增大，直線族由收斂變得發(fā)散；周期越長(zhǎng)，同一Δq引起的ΔLrd越大，這說明最大當(dāng)量排隊(duì)長(zhǎng)度對(duì)周期較敏感；到達(dá)車流量越大，同一ΔC引起的ΔLrd越大，這說明最大當(dāng)量排隊(duì)長(zhǎng)度在流量低時(shí)對(duì)周期不敏感，在流量高時(shí)敏感，流量越大，越敏感.由圖1（c）可見，當(dāng)C、N、L一定，不同u形成的L rd－q曲線族為一系列不平行直線，直線截距相同，綠信比越大，斜率越小，隨著q增大，直線族由收斂變得發(fā)散；綠信比越小，同一Δq引起的ΔLrd越大，這說明最大當(dāng)量排隊(duì)長(zhǎng)度對(duì)綠信比較敏感；到達(dá)車流量越大，同一Δu引起的ΔLrd越大，這說明最大當(dāng)量排隊(duì)長(zhǎng)度在流量低時(shí)對(duì)綠信比不敏感，在流量高時(shí)敏感，流量越大，越敏感.由圖1（d）可見，當(dāng)C、u、N一定，不同L形成的Lrd－q曲線族為一系列平行直線，直線斜率相同，路段越長(zhǎng)，截距越小；無論q取何值，同一q對(duì)應(yīng)的相同ΔL均引起相同的ΔLrd，反之亦然；這說明此時(shí)Lrd對(duì)q和L均不敏感.

當(dāng)q、C、u、L一定，最大當(dāng)量排隊(duì)長(zhǎng)度與滯留車輛數(shù)的函數(shù)關(guān)系為

從式（9）來看，當(dāng)q、C、u、L一定，Lrd與N呈線性關(guān)系，見圖2.直線斜率是常數(shù)，截距由到達(dá)車流量、周期時(shí)長(zhǎng)、綠信比和路段長(zhǎng)度決定.到達(dá)車流量越大，周期越長(zhǎng)，綠信比越小，路段越短，截距越大.

由圖2（a）可見，當(dāng)C、u、L一定，不同q形成的L rd－N曲線族為一系列平行直線，直線斜率相同，到達(dá)車流量越大，截距越大；無論N取何值，同一N對(duì)應(yīng)的相同Δq均引起相同的Δ，反之亦然；這說明此時(shí)對(duì)N和q均不敏感.由圖2（b）可見，當(dāng)q、u、L一定，不同C形成的L rd－N曲線族為一系列平行直線，直線斜率相同，周期越長(zhǎng)，截距越大；無論N取何值，同一N對(duì)應(yīng)的相同ΔC均引起相同的Δ，反之亦然；這說明此時(shí)對(duì)N和C均不敏感.由圖2（c）可見，當(dāng)q、C、L一定，不同u形成的L rd－N曲線族為一系列平行直線，直線斜率相同，綠信比越大，截距越?。粺o論N取何值，同一N對(duì)應(yīng)的相同Δu均引起相同的ΔLrd，反之亦然；這說明此時(shí)對(duì)N和u均不敏感.由圖2（d）可見，當(dāng)q、C、u一定，不同L形成的L rd－N曲線族為一系列平行直線，直線斜率相同，路段越長(zhǎng)，截距越小；無論N取何值，同一N對(duì)應(yīng)的相同ΔL均引起相同的ΔLrd，反之亦然；這說明此時(shí)Lrd對(duì)N和L均不敏感.

因此，在交通控制系統(tǒng)中，合理限制到達(dá)車流量或減少滯留車輛數(shù)可以有效緩解交通擁擠.

圖2 最大當(dāng)量排隊(duì)長(zhǎng)度與紅燈初滯留車輛數(shù)Fig.2 Maximum equivalent queue length and number of blocked vehicle at beginning of red light

2.2 時(shí)間特性

當(dāng)N、L、q、u一定，最大當(dāng)量排隊(duì)長(zhǎng)度與周期時(shí)長(zhǎng)的函數(shù)關(guān)系為

從式（10）來看，當(dāng)N、L、q、u一定，Lrd與C呈線性關(guān)系，見圖3.直線斜率由到達(dá)車流量和綠信比決定，截距由滯留車輛數(shù)和路段長(zhǎng)度決定.到達(dá)車流量越大，綠信比越小，斜率越大.滯留車輛數(shù)越多，路段越短，截距越大.

圖3 最大當(dāng)量排隊(duì)長(zhǎng)度與周期時(shí)長(zhǎng)Fig.3 Maximum equivalent queue length and cycle length

由圖3（a）可見，當(dāng)u、N、L一定，不同q形成的L rd－C曲線族為一系列不平行直線，直線截距相同，到達(dá)車流量越大，斜率越大，隨著周期變長(zhǎng)，直線族由收斂變得發(fā)散；周期越長(zhǎng)，同一Δq引起的ΔLrd越大，這說明最大當(dāng)量排隊(duì)長(zhǎng)度對(duì)周期較敏感；到達(dá)車流量越大，同一ΔC引起的ΔLrd越大，這說明最大當(dāng)量排隊(duì)長(zhǎng)度在流量低時(shí)對(duì)周期不敏感，在流量高時(shí)敏感，流量越大，越敏感.由圖3（b）可見，當(dāng)q、N、L一定，不同u形成的L rd－C曲線族為一系列不平行直線，直線截距相同，綠信比越大，斜率越小，隨著周期變長(zhǎng)，直線族由收斂變得發(fā)散；周期越長(zhǎng)，同一Δu引起的ΔLrd越大，這說明最大當(dāng)量排隊(duì)長(zhǎng)度對(duì)周期較敏感；綠信比越小，同一ΔC引起的ΔLrd越大，這說明最大當(dāng)量排隊(duì)長(zhǎng)度在綠信比大時(shí)對(duì)周期不敏感，在綠信比小時(shí)敏感，綠信比越小，越敏感.由圖3（c）可見，當(dāng)q、u、L一定，不同N形成的L rd－C曲線族為一系列平行直線，直線斜率相同，滯留車輛數(shù)越多，截距越大；無論C取何值，同一C對(duì)應(yīng)的相同ΔN均引起相同的ΔLrd，反之亦然；這說明此時(shí)Lrd對(duì)C和N均不敏感.由圖3（d）可見，當(dāng)q、u、N一定，不同L形成的Lrd－C曲線族為一系列平行直線，直線斜率相同，路段越短，截距越大；無論C取何值，同一C對(duì)應(yīng)的相同ΔL均引起相同的ΔL rd，反之亦然；這說明此時(shí)Lrd對(duì)C和L均不敏感.

當(dāng)N、L、q、C一定，最大當(dāng)量排隊(duì)長(zhǎng)度與綠信比的函數(shù)關(guān)系為

從式（11）來看，當(dāng)N、L、q、C一定，Lrd與u呈線性關(guān)系，見圖4.直線斜率由到達(dá)車流量和周期時(shí)長(zhǎng)決定，截距由滯留車輛數(shù)、到達(dá)車流量、周期時(shí)長(zhǎng)和路段長(zhǎng)度決定.到達(dá)車流量越大，周期越長(zhǎng)，斜率越小.滯留車輛數(shù)越多，到達(dá)車流量越大，周期越長(zhǎng)，路段越短，截距越大.

由圖4（a）可見，當(dāng)C、N、L一定，不同q形成的Lrd－u曲線族為一系列不平行直線，直線截距相同，到達(dá)車流量越大，斜率越小，隨著綠信比增加，直線族由發(fā)散變得收斂；綠信比越小，同一Δq引起的ΔLrd越大，這說明最大當(dāng)量排隊(duì)長(zhǎng)度對(duì)綠信比較敏感；到達(dá)車流量越大，同一Δu引起的ΔLrd越大，這說明最大當(dāng)量排隊(duì)長(zhǎng)度在流量低時(shí)對(duì)綠信比不敏感，在流量高時(shí)敏感，流量越大，越敏感.由圖4（b）可見，當(dāng)q、N、L一定，不同C形成的L rd－u曲線族為一系列不平行直線，直線截距相同，周期越長(zhǎng)，斜率越小，隨著綠信比增加，直線族由發(fā)散變得收斂；綠信比越小，同一ΔC引起的ΔLrd越大，這說明最大當(dāng)量排隊(duì)長(zhǎng)度對(duì)綠信比較敏感；周期越長(zhǎng)，同一Δu引起的ΔL rd越大，這說明最大當(dāng)量排隊(duì)長(zhǎng)度在周期短時(shí)對(duì)綠信比不敏感，在周期長(zhǎng)時(shí)敏感，周期越長(zhǎng)，越敏感.由圖4（c）可見，當(dāng)q、C、L一定，不同N形成的L rd－u曲線族為一系列平行直線，直線斜率相同，滯留車輛數(shù)越多，截距越大；無論u取何值，同一u對(duì)應(yīng)的相同ΔN均引起相同的ΔLrd，反之亦然；這說明此時(shí)Lrd對(duì)u和N均不敏感.由圖4（d）可見，當(dāng)q、C、N一定，不同L形成的L rd－u曲線族為一系列平行直線，直線斜率相同，路段越長(zhǎng)，截距越小；無論u取何值，同一u對(duì)應(yīng)的相同ΔL均引起相同的ΔLrd，反之亦然；這說明此時(shí)Lrd對(duì)u和L均不敏感.

因此，在交通控制系統(tǒng)中，適當(dāng)縮短周期或增加綠信比可以有效緩解交通擁擠.

圖4 最大當(dāng)量排隊(duì)長(zhǎng)度與綠信比Fig.4 Maximum equivalent queue length and green ratio

2.3 空間特性

由于最大當(dāng)量排隊(duì)長(zhǎng)度不能超過路段長(zhǎng)度，當(dāng)路段長(zhǎng)度不同時(shí)，不同路段上的最大當(dāng)量排隊(duì)長(zhǎng)度不具有可比性，將最大當(dāng)量排隊(duì)長(zhǎng)度與其路段長(zhǎng)度作比值，稱為最大當(dāng)量排隊(duì)強(qiáng)度p L，這樣就可比較路段長(zhǎng)度對(duì)最大當(dāng)量排隊(duì)長(zhǎng)度的影響.

式（7）兩端除以L得

在式（12）中令p L＝Lrd/L，當(dāng)N、q、C、u一定，p L與L呈反函數(shù)關(guān)系，見圖5.根據(jù)實(shí)際意義，0≤p L≤1.

圖5 最大當(dāng)量排隊(duì)強(qiáng)度與路段長(zhǎng)度Fig.5 Maximum equivalent queue percent and length of link

由圖5（a）可見，當(dāng)C、u、N一定，不同q形成的pL－L曲線族為一系列近似平行的反函數(shù)曲線，隨著路段長(zhǎng)度增加，反函數(shù)曲線族由窄變寬；路段越長(zhǎng)，同一Δq引起的ΔpL越小，這說明ΔpL對(duì)路段長(zhǎng)度較敏感；路段越短，到達(dá)車流量越大，同一ΔL引起的ΔpL越大，這說明排隊(duì)強(qiáng)度在流量高時(shí)對(duì)路段長(zhǎng)度更敏感，在路段短時(shí)對(duì)到達(dá)車流量更敏感.由圖5（b）可見，當(dāng)q、u、N一定，不同C形成的pL－L曲線族為一系列近似平行的反函數(shù)曲線，隨著路段長(zhǎng)度增加，反函數(shù)曲線族由窄變寬；路段越長(zhǎng)，同一ΔC引起的ΔpL越小，這說明ΔpL對(duì)路段長(zhǎng)度較敏感；路段越短，周期越長(zhǎng)，同一ΔL引起的ΔpL越大，這說明排隊(duì)強(qiáng)度在周期長(zhǎng)時(shí)對(duì)路段長(zhǎng)度更敏感，在路段短時(shí)對(duì)周期時(shí)長(zhǎng)更敏感.由圖5（c）可見，當(dāng)q、C、N一定，不同u形成的pL－L曲線族為一系列近似平行的反函數(shù)曲線，隨著路段長(zhǎng)度增加，反函數(shù)曲線族由窄變寬；路段越長(zhǎng)，同一Δu引起的ΔpL越小，這說明ΔpL對(duì)路段長(zhǎng)度較敏感；路段越短，綠信比越小，同一ΔL引起的ΔpL越大，這說明排隊(duì)強(qiáng)度在綠信比小時(shí)對(duì)路段長(zhǎng)度更敏感，在路段短時(shí)對(duì)綠信比更敏感.由圖5（d）可見，當(dāng)q、C、u一定，不同N形成的pL－L曲線族為一系列近似平行的反函數(shù)曲線，隨著路段長(zhǎng)度增加，反函數(shù)曲線族由窄變寬；路段越長(zhǎng)，同一ΔN引起的ΔpL越小，這說明ΔpL對(duì)路段長(zhǎng)度較敏感；路段越短，滯留車輛數(shù)越多，同一ΔL引起的ΔpL越大，這說明排隊(duì)強(qiáng)度在滯留車輛數(shù)多時(shí)對(duì)路段長(zhǎng)度更敏感，在路段短時(shí)對(duì)滯留車輛數(shù)更敏感.

因此，在交通控制系統(tǒng)中，優(yōu)先協(xié)調(diào)短路段上、下游交叉口可以有效緩解交通擁擠.

3 靈敏度分析

前面從曲線族的形式上分析了最大當(dāng)量排隊(duì)長(zhǎng)度對(duì)各變量的敏感程度，這些分析比較形象，屬于定性分析.下面將運(yùn)用偏微分方法進(jìn)一步做定量分析，稱為自變量對(duì)因變量的靈敏度分析.

從式（7）來看，最大當(dāng)量排隊(duì)長(zhǎng)度是關(guān)于滯留車輛數(shù)、到達(dá)車流量、周期時(shí)長(zhǎng)、綠信比和路段長(zhǎng)度的一個(gè)非線性函數(shù).為分析各變量的靈敏度，對(duì)該式求偏導(dǎo)數(shù)運(yùn)算[10].各變量的一階偏導(dǎo)數(shù)為

從上式可見，Lrd/N和Lrd/L為常數(shù)，Lrd/q、Lrd/C和Lrd/u為變量，這說明最大當(dāng)量排隊(duì)長(zhǎng)度對(duì)滯留車輛數(shù)和路段長(zhǎng)度的敏感程度與其他變量無關(guān).

比 較 式 （13） 和 （14） 得 ｜Lrd/N｜＜｜Lrd/L｜，這說明最大當(dāng)量排隊(duì)長(zhǎng)度對(duì)路段長(zhǎng)度的反應(yīng)較滯留車輛數(shù)更為敏感.

對(duì)式（15）～（17）分別求二階偏導(dǎo)數(shù)得

由式（18）～（20）可見，當(dāng)q、C、u中某個(gè)變量一定時(shí)，Lrd對(duì)另外兩個(gè)變量的敏感程度相同.

對(duì)二階偏導(dǎo)數(shù)求偏導(dǎo)數(shù)，得三階偏導(dǎo)數(shù)為

由式（21）～（23）可見，Lrd對(duì)q、C、u的敏感程度相同.

對(duì)比分析式（13）～（23）可知，最大當(dāng)量排隊(duì)長(zhǎng)度對(duì)路段長(zhǎng)度最為敏感，其次為滯留車輛數(shù)，對(duì)到達(dá)車流量、周期時(shí)長(zhǎng)或綠信比的敏感程度均取決于另外兩個(gè)變量.

4 結(jié) 語(yǔ)

以單車道路段當(dāng)量排隊(duì)長(zhǎng)度模型為依據(jù)，建立了最大當(dāng)量排隊(duì)長(zhǎng)度模型.通過數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法分析了單個(gè)時(shí)空參數(shù)對(duì)最大當(dāng)量排隊(duì)長(zhǎng)度的影響程度，即其交通流特性、時(shí)間特性和空間特性.運(yùn)用偏微分方法求解了單個(gè)時(shí)空參數(shù)對(duì)最大當(dāng)量排隊(duì)長(zhǎng)度的敏感程度，并分析了這些參數(shù)敏感性的優(yōu)先級(jí).研究成果可為優(yōu)化或調(diào)整交通信號(hào)控制方案提供理論依據(jù).

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