陳林橋

(江蘇省揚(yáng)中市教研室,江蘇揚(yáng)中 212200)

題目.如圖1所示,光滑斜面的傾角 α=30°,在斜面上放置一矩形線框abcd,bc邊的邊長(zhǎng)l0=0.8 m,ab邊的邊長(zhǎng)l1=1 m,線框的質(zhì)量 M=4 kg,電阻 R=0.1 Ω,線框通過(guò)細(xì)線繞過(guò)光滑的定滑輪與重物相連,滑輪的質(zhì)量不計(jì),重物的質(zhì)量m=1 kg,斜面上ef和gh線為斜面上有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)的邊界,與斜面的底邊平行,ef和gh線的間距l(xiāng)2=1.8 m,磁場(chǎng)方向垂直于斜面向上,B=0.5 T,開(kāi)始cd邊離gh邊的距離l=2.25 m,由靜止釋放,線框恰好能勻速穿過(guò)ef邊界,線框滑動(dòng)過(guò)程中cd邊始終與底邊平行(設(shè)斜面足夠長(zhǎng),重物m不會(huì)與滑輪接觸,g取10 m/s2).求:

(1)線框cd邊剛進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)速度的大小.

(2)線框進(jìn)入磁場(chǎng)過(guò)程中通過(guò)線框的電荷量.

(3)線框進(jìn)入磁場(chǎng)過(guò)程中在線框中產(chǎn)生的焦耳熱.

圖1

剖析:這是一道以線框與物塊構(gòu)成的連接體通過(guò)斜面上某一磁場(chǎng)區(qū)域?yàn)楸尘暗牧﹄娋C合題,著重考查了力的平衡、動(dòng)能定理、功能轉(zhuǎn)化以及電磁感應(yīng)定律、歐姆定律等相關(guān)的主干知識(shí),從而有效地檢測(cè)了學(xué)生的綜合分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力.題目的設(shè)問(wèn)也很有梯度,試題的檢測(cè)功能也比較強(qiáng)大.正因?yàn)槿绱?此題被許多地方的考卷所采用.然而,殊不知,這道題目的“線框恰好能勻速穿過(guò) ef邊界”這一條件是有問(wèn)題的.

解析:(1)設(shè) M下落高度H0=lsin30°=1.125 m,重物m上升的高度h0=l=2.25 m,則 M和m系統(tǒng)機(jī)械能守恒,則

代入數(shù)據(jù),得到線框剛進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度為

(2)設(shè)線框進(jìn)入磁場(chǎng)的過(guò)程中產(chǎn)生的感應(yīng)電流的平均值為ˉI,磁通量的變化量為ΔΦ=Bl0l1,變化的時(shí)間為Δt,平均感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為ˉE,通過(guò)線框的電荷量為 Q,則有

由(3)～(5)式,代入相關(guān)的數(shù)據(jù)得

(3)線框cd邊從開(kāi)始切割磁感線到全部進(jìn)入磁場(chǎng)以及線框cd邊從離開(kāi)磁場(chǎng)僅有ab邊切割磁場(chǎng)直到整個(gè)線框離開(kāi)磁場(chǎng)的過(guò)程中,線框abcd、輕繩和重物 m這一系統(tǒng)都遵循如下的規(guī)律.

由牛頓第二定律,得

即

為了討論問(wèn)題的方便,設(shè)

代入相關(guān)的數(shù)據(jù),得到 a=2,b=0.5,于是(7)式變?yōu)?/p>

對(duì)此式積分

得到

從(9)式可以看出,線框的運(yùn)動(dòng)速度是隨時(shí)間的變化而變化,并不是一定值,因此,無(wú)論是線框進(jìn)入磁場(chǎng),還是線框離開(kāi)磁場(chǎng),都不可能做勻速直線運(yùn)動(dòng),所以題設(shè)中“線框恰好能勻速穿過(guò)ef邊界”這個(gè)條件是不成立的,這道題的問(wèn)題就出在這里.

只要將題目中“線框恰好能勻速穿過(guò)ef邊界”這段文字去掉,題設(shè)條件就自洽了,這道題目也就正確了.題目的第(1)問(wèn)、第(2)問(wèn)的解答仍然如上面的解答一樣,對(duì)于第(3)問(wèn),要在中學(xué)階段求解線框進(jìn)入磁場(chǎng)過(guò)程中在線框中產(chǎn)生的焦耳熱還是相當(dāng)困難的,而用高等數(shù)學(xué)的知識(shí)可以這樣求解:

將 a=2,b=0.5,以及 v0=3 m/s代入(9)式和(10)式得到

令 x=l0=0.8 m,代入(12)式,運(yùn)用幾何畫板,可以解出時(shí)間 t≈0.26 s,再將 t=0.26 s代入(11)式,解得線框剛完全進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)速度為v1=3.12 m/s,由功能關(guān)系得

由 H1=l0sinα,h1=l0代入相關(guān)的數(shù)值,解得

Q′=6.16 J.