柳偉偉，胡良平，陶麗新，毛瑋

1 正交設(shè)計(jì)的概念及應(yīng)用場合

通常情況下，可認(rèn)為正交設(shè)計(jì)所確定的因素間的水平組合是析因設(shè)計(jì)所確定的因素間的水平組合的一部分。正交設(shè)計(jì)就是用一系列規(guī)格化的正交表來安排各實(shí)驗(yàn)因素及其水平組合的過程。與析因設(shè)計(jì)相比，正交設(shè)計(jì)是以不考察或少考察因素間高階交互作用項(xiàng)為代價(jià)換取很少實(shí)驗(yàn)次數(shù)，從而達(dá)到安排多個(gè)實(shí)驗(yàn)因素且取得較可靠實(shí)驗(yàn)結(jié)果的目的。

在可以應(yīng)用析因設(shè)計(jì)的實(shí)驗(yàn)研究中，若所需要的實(shí)驗(yàn)次數(shù)太多，并且高階交互作用可以忽略不計(jì)時(shí)，為了減少實(shí)驗(yàn)次數(shù)，可以考慮選用正交設(shè)計(jì)。

2 正交表及其分類

正交表是正交設(shè)計(jì)的基本工具，它是根據(jù)均衡分散、整齊可比的思想經(jīng)過嚴(yán)格的數(shù)學(xué)推導(dǎo)而編制出來的。正交表中的每一行代表各實(shí)驗(yàn)因素的一種水平組合，稱為一個(gè)實(shí)驗(yàn)點(diǎn)；正交表的每一列代表一種實(shí)驗(yàn)效應(yīng)，它可能代表某實(shí)驗(yàn)因素、交互作用或?qū)嶒?yàn)誤差的效應(yīng)[1]。每張正交表都有一個(gè)表頭符號 Ln（Km），其中 L 代表正交表；n 代表正交表的行數(shù)，也就是實(shí)驗(yàn)條件（或?qū)嶒?yàn)點(diǎn)）數(shù)；m 代表正交表的列數(shù)，也就是正交表最多能安排的因素個(gè)數(shù)；K 代表正交表每一列中不同數(shù)字代碼的個(gè)數(shù)，也就是各因素的水平數(shù)。

正交表中總的自由度等于實(shí)驗(yàn)次數(shù)減 1，如果每種實(shí)驗(yàn)條件下只做一次獨(dú)立實(shí)驗(yàn)，總的自由度就等于正交表的行數(shù)減 1；某一列的自由度等于該列的水平數(shù)減 1[2]。

一般來說，每張正交表都有一張與其對應(yīng)的交互作用表，交互作用表用來說明任意兩列的交互作用列在正交表中所處的位置。

正交表可以分為同水平的正交表與混合水平的正交表兩大類。同水平正交表是指各因素的水平數(shù)相同，包括二水平正交表，例如 L4（23）、L8（27）、L16（215）；三水平正交表，例如 L9（34）、L27（313）；四水平正交表等等。混合水平正交表是指各因素的水平數(shù)不全相同，例如 L8（41×24）、L9（21×32）等等。實(shí)際應(yīng)用時(shí)需要注意的是，有一類正交表沒有交互作用列，因此無法考察交互作用，例如 L12（211）、L18（37），它們屬于非標(biāo)準(zhǔn)的正交表。

3 正交設(shè)計(jì)的特點(diǎn)與實(shí)施步驟

正交設(shè)計(jì)有三個(gè)突出的特點(diǎn)，首先，由正交表挑出來的實(shí)驗(yàn)點(diǎn)在空間上具有均勻分散性，也就是實(shí)驗(yàn)點(diǎn)在實(shí)驗(yàn)空間分布得很均勻，無論從哪個(gè)角度看，都是有代表性的點(diǎn)被挑選出來了；其次，由正交表挑出來的實(shí)驗(yàn)點(diǎn)在統(tǒng)計(jì)分析時(shí)具有整齊可比性；第三，某些好的未包括在正交表中的實(shí)驗(yàn)點(diǎn)，可以通過統(tǒng)計(jì)分析將其發(fā)現(xiàn)[1]。

在確定了實(shí)驗(yàn)因素及其水平數(shù)之后，正交設(shè)計(jì)的實(shí)施可以分以下四個(gè)步驟來完成：第一步，根據(jù)因素?cái)?shù)及各因素的水平數(shù)選擇合適的正交表，在能夠安排下所有實(shí)驗(yàn)因素的基礎(chǔ)上，應(yīng)該選擇最小號的正交表，使得需要進(jìn)行的實(shí)驗(yàn)次數(shù)較少。第二步，在選定的正交表的表頭上安排實(shí)驗(yàn)因素及其交互作用，這一步稱為表頭設(shè)計(jì)，是所有步驟當(dāng)中最關(guān)鍵的一步。如果因素間的交互作用可以忽略不計(jì)，各因素可以任意安排到各列中去。如果某些因素間存在交互作用，就需要根據(jù)交互作用表進(jìn)行表頭設(shè)計(jì)。表頭設(shè)計(jì)的一個(gè)重要原則是避免混雜，混雜是指在正交表的同一列上安排了兩個(gè)或兩個(gè)以上的因素或交互作用[3]。當(dāng)每種實(shí)驗(yàn)條件下只做一次實(shí)驗(yàn)時(shí)，如果要進(jìn)行方差分析，就需要在正交表中安排至少一個(gè)空白列。在一些統(tǒng)計(jì)書上有現(xiàn)成的表頭設(shè)計(jì)表，可以根據(jù)這些表直接安排實(shí)驗(yàn)。第三步，根據(jù)設(shè)計(jì)好的表頭，將標(biāo)有單個(gè)實(shí)驗(yàn)因素的那些列連同其下的“水平代碼”一起摘錄出來。第四步，結(jié)合實(shí)驗(yàn)因素各水平的具體內(nèi)容，將摘錄出來的各列的“水平代碼”轉(zhuǎn)換成“真實(shí)代碼”（即實(shí)驗(yàn)因素的真實(shí)水平），并按正交表各行所決定的實(shí)驗(yàn)條件進(jìn)行具體實(shí)驗(yàn)。

正交設(shè)計(jì)的實(shí)施過程，以及正交表與交互作用表將通過以下的實(shí)例進(jìn)一步加以說明。

4 正交設(shè)計(jì)中一個(gè)值得注意的問題

人們常以為進(jìn)行正交設(shè)計(jì)就不必要進(jìn)行重復(fù)實(shí)驗(yàn)了，即使正交表中未留下一個(gè)空白列時(shí)也是如此。這是過于迷信正交設(shè)計(jì)作用的表現(xiàn)。其實(shí)，通常（特指為節(jié)省樣本量時(shí)）正交設(shè)計(jì)就是析因設(shè)計(jì)的部分實(shí)施，換句話說，就是僅使用實(shí)驗(yàn)因素全部水平組合當(dāng)中的一部分，有時(shí)是很少的一部分，本質(zhì)上屬于“對照不全”的實(shí)驗(yàn)，正是由于正交設(shè)計(jì)方案挑選出來的那些實(shí)驗(yàn)點(diǎn)具有“均勻分散、整齊可比”的特點(diǎn)，才使其具有較好的代表性，但并不意味著在結(jié)論的可靠性上它比全面實(shí)驗(yàn)的析因設(shè)計(jì)還要好。析因設(shè)計(jì)中明確要求各實(shí)驗(yàn)條件下至少要做 2 次獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)，有兩個(gè)目的：第一，為了能夠比較準(zhǔn)確地估計(jì)單個(gè)實(shí)驗(yàn)因素的主效應(yīng)和因素之間的各級交互作用的效應(yīng)大??；第二，能夠比較真實(shí)地顯露各實(shí)驗(yàn)條件下的實(shí)驗(yàn)誤差的大小，提高結(jié)論的可信度。而正交設(shè)計(jì)實(shí)際上就是以犧牲第一點(diǎn)中的部分利益（即不估計(jì)高階交互作用，甚至部分低階交互作用也不能估計(jì)）為代價(jià)，換取較少的實(shí)驗(yàn)次數(shù)，但它并沒有能力和資格承諾各實(shí)驗(yàn)條件下僅做一次實(shí)驗(yàn)，結(jié)果就一定是穩(wěn)定的！也就是說，若在一個(gè)具體實(shí)驗(yàn)中，僅當(dāng)在特定實(shí)驗(yàn)條件下所得到的實(shí)驗(yàn)結(jié)果的波動(dòng)是非常微小的（在專業(yè)上允許的范圍內(nèi)，相當(dāng)于確定性實(shí)驗(yàn)結(jié)果，如在一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，水加熱到攝氏一百度時(shí)必然沸騰），才可不做重復(fù)實(shí)驗(yàn)，否則必須做重復(fù)實(shí)驗(yàn)。至于要做多少次重復(fù)實(shí)驗(yàn)，取決于具體實(shí)驗(yàn)的誤差大小和研究者對結(jié)果精確度的要求，最好根據(jù)一些基本數(shù)據(jù)和先驗(yàn)知識，估計(jì)出重復(fù)實(shí)驗(yàn)次數(shù)。

5 正交設(shè)計(jì)定量資料方差分析的SAS 實(shí)現(xiàn)

例1 在乙酰苯胺磺化工藝的研究中，有 4個(gè)實(shí)驗(yàn)因素：反應(yīng)溫度 A、反應(yīng)時(shí)間 B、磺酸濃度 C、操作方法 D，各取兩水平。實(shí)驗(yàn)的結(jié)果為產(chǎn)物的收率（%），希望弄清各因素在怎樣的搭配條件下收率最高。已知反應(yīng)溫度與反應(yīng)時(shí)間之間的交互作用不可忽視，各實(shí)驗(yàn)條件下不必進(jìn)行重復(fù)實(shí)驗(yàn)，希望總實(shí)驗(yàn)次數(shù)盡可能少一些。4個(gè)實(shí)驗(yàn)因素的水平分別如下：

因素名稱（單位） 1 水平 2 水平反應(yīng)溫度（℃） 50 70反應(yīng)時(shí)間（h） 1 2磺酸濃度（%） 17 27操作方法 攪拌 不攪拌

正交設(shè)計(jì)的實(shí)施：本例如果選擇析因設(shè)計(jì)，不同的實(shí)驗(yàn)條件數(shù)為24=16 種，各實(shí)驗(yàn)條件下至少要做 2 次獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)，總實(shí)驗(yàn)次數(shù)至少為32 次，實(shí)驗(yàn)次數(shù)相對較多，與要求不符。由于只需要考慮兩個(gè)實(shí)驗(yàn)因素之間的一階交互作用，高階交互作用可以忽略，故選擇正交設(shè)計(jì)比較合適。

研究中的4個(gè)實(shí)驗(yàn)因素都是兩水平，應(yīng)該選擇二水平正交表。由于只需要考慮兩個(gè)實(shí)驗(yàn)因素之間的一階交互作用，連同 4個(gè)兩水平因素，共需要安排 5 項(xiàng)，每項(xiàng)的自由度都是 1，將占用 5個(gè)自由度。在二水平正交表中，每列的自由度為1，故需要 5 列來安排實(shí)驗(yàn)因素及其交互作用。如果選擇 L4（23）正交表不妥，因?yàn)樵撜槐碇挥?3 列，自由度為3，用來安排該實(shí)驗(yàn)是不夠的；若選擇 L16（215）正交表也不妥，因?yàn)樵撜槐碛?15 列，自由度為15，遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于所需要的5 列，意味著實(shí)驗(yàn)次數(shù)將較多；若選擇 L8（27）正交表，是非常合適的，因?yàn)樵撜槐碛?7 列，自由度為7，比所需要的5 列多出兩列，正交表中將有兩個(gè)空列，可用于估計(jì)實(shí)驗(yàn)誤差，此時(shí)，只需要做8次實(shí)驗(yàn)，就可以滿足研究者的要求。L8（27）正交表是符合要求的最小號的正交表，具體見表1，其交互作用表見表2。

表1 L8（27）正交表

表2 L8（27）正交表的交互作用表

L8（27）正交表有 8 行 7 列，用該表來安排實(shí)驗(yàn)，要在8 種實(shí)驗(yàn)條件下總共至少做 8 次實(shí)驗(yàn)，最多可以安排的因素個(gè)數(shù)為7，每個(gè)因素都有兩個(gè)水平，分別用 1、2 來表示。

在表 2 中，第 1個(gè)列號是由上到下編號的，代表著 7行；第 2個(gè)列號是從左至右編號的，代表 7 列。無論是 7行還是 7 列指的都是 L8（27）正交表中的“7 列”，也就是說，把 L8（27）表中的7個(gè)列號同時(shí)放在橫向與縱向兩個(gè)方向上。如果要查任意兩列的交互作用列，只需要找到這兩列列號的交叉位置的數(shù)字就可以了。例如，查第 6 列和第 7 列的交互作用列，可以橫向看第 6 行、縱向看第 7列，其交叉位置上的數(shù)為1，說明這兩列的交互作用列為第1 列。值得注意的是，交互作用項(xiàng)的自由度為兩個(gè)因素的自由度之積，每個(gè)二水平因素的自由度都為1，因此兩個(gè)二水平因素的交互作用項(xiàng)僅占 1 列；兩個(gè)三水平因素的交互作用項(xiàng)的自由度為2×2=4，因此兩個(gè)三水平因素的交互作用項(xiàng)需占 2 列；同理，兩個(gè)四水平因素的交互作用項(xiàng)需占用 3 列，依此類推[1]。

根據(jù)表1和表 2，就可以進(jìn)行表頭設(shè)計(jì)了。將反應(yīng)溫度 A 放在L8（27）表的第 1 列，反應(yīng)時(shí)間 B 放在第 2 列。然后查交互作用表，可知反應(yīng)溫度與反應(yīng)時(shí)間的交互作用AB 應(yīng)落在第 3 列，因此第 3 列不能再安排其他因素，否則會(huì)產(chǎn)生混雜。于是可把磺酸濃度 C 放在第 4 列，操作方法 D 可以放在5、6、7 三列中任何一列上，不妨將 D 放在第 7 列上。這樣就完成了該實(shí)驗(yàn)的表頭設(shè)計(jì)，如表 3所示。

表3 用 L8（27）正交表安排乙酰苯胺磺化實(shí)驗(yàn)的表頭設(shè)計(jì)

完成表頭設(shè)計(jì)之后，將 L8（27）表中的第 1、2、4、7列摘錄出來，將表中的代碼 1、2 轉(zhuǎn)化成 4個(gè)實(shí)驗(yàn)因素的真實(shí)水平，然后按照表中的實(shí)驗(yàn)點(diǎn)安排實(shí)驗(yàn)，得到實(shí)驗(yàn)結(jié)果見表4。

表4 L8（27）正交設(shè)計(jì)的實(shí)驗(yàn)結(jié)果

對該資料進(jìn)行分析的SAS 程序如下：

data prg1;input a b c d y@@;cards;111165 112274121271 122173211270 212173221162 222267;run;proc glm data=prg1;class a b c d;model y=a b c d a*b;run;

程序說明：數(shù)據(jù)步建立數(shù)據(jù)集 prg1，變量 a、b、c、d、y 分別代表反應(yīng)溫度、反應(yīng)時(shí)間、磺酸濃度、操作方法和結(jié)果變量收率。這里各個(gè)因素的取值是用正交表中的水平代碼1、2 表示的，這樣表示的優(yōu)點(diǎn)是寫起來比較簡單。當(dāng)然也可以采用各個(gè)因素的真實(shí)水平，只不過輸入時(shí)會(huì)繁瑣一些。需要注意的是，交互作用列和空白列中的數(shù)字是不出現(xiàn)在數(shù)據(jù)集中的。與其他各種設(shè)計(jì)類型的定量資料一樣，進(jìn)行正交設(shè)計(jì)定量資料的方差分析時(shí)仍然采用 GLM 過程。在class語句中，指定分組變量為a、b、c、d。使用 model 語句指定模型的具體形式，該語句等號左端為結(jié)果變量 y，等號右端為需要分析的效應(yīng)，包括四個(gè)主效應(yīng)和一個(gè)交互效應(yīng)。

主要輸出結(jié)果與結(jié)果解釋：

The GLM procedure dependent variable: y

以上是對整個(gè)模型進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)的結(jié)果，輸出內(nèi)容包括自由度、離均差平方和、均方、F 值和P 值，其中 F=11.82、P=0.0798。

R-square Coeff var Root MSE y Mean 0.967276 2.101244 1.457738 69.37500

以上是一些描述性統(tǒng)計(jì)量，R-square 為決定系數(shù)，Coeff var 為變異系數(shù)，Root MSE 為誤差均方的平方根，y Mean為結(jié)果變量的均數(shù)。

Source DF Type III SS Mean square F value Pr ＞F a 1 15.12500000 15.12500000 7.12 0.1165 b 1 10.12500000 10.12500000 4.76 0.1607 c 1 45.12500000 45.12500000 21.24 0.0440 d 1 10.12500000 10.12500000 4.76 0.1607 a*b 1 45.12500000 45.12500000 21.24 0.0440

以上是對各個(gè)效應(yīng)進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)的結(jié)果，其中因素 A對應(yīng)的F=7.12、P=0.1165；因素 B和因素 D 對應(yīng)的F=4.76、P=0.1607。這三者對于結(jié)果變量的作用沒有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義。因素 C 與交互作用 AB 對應(yīng)的F=21.24、P=0.0440＜0.05，這兩項(xiàng)對結(jié)果變量的作用有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義。根據(jù)上述結(jié)果可知，磺酸濃度、反應(yīng)溫度與反應(yīng)時(shí)間的交互作用對產(chǎn)物的收率存在影響，而反應(yīng)溫度、反應(yīng)時(shí)間及操作方法對收率沒有影響。還可對 P ＞0.05的項(xiàng)進(jìn)行逐一淘汰，通常從最大 P 值對應(yīng)的項(xiàng)開始淘汰，直到所有項(xiàng)對應(yīng)的P 值都小于0.05 為止。

對正交設(shè)計(jì)的定量資料除了進(jìn)行方差分析外，還可以通過簡單的計(jì)算進(jìn)行直觀分析，直觀分析包括綜合比較和極差分析。綜合比較是指比較不同因素各水平的結(jié)果大小，篩選全部因素水平最佳組合條件，此時(shí)可不必做復(fù)雜的方差分析。一個(gè)因素的極差是指該因素各水平均值的最大值與最小值之差，極差值越大，說明改變這一因素的水平會(huì)使結(jié)果產(chǎn)生較大的變化[2]。極差分析就是比較各因素極差的大小，可以區(qū)分因素的主次?，F(xiàn)將例1 中不同因素的兩個(gè)水平的實(shí)驗(yàn)結(jié)果分別求和，具體見表5。

表5 L8（27）正交設(shè)計(jì)的直觀分析計(jì)算表

表5 中 T1m為第 m 列水平數(shù)為1 時(shí)實(shí)驗(yàn)結(jié)果的合計(jì)，T2m為第 m 列水平數(shù)為2 時(shí)實(shí)驗(yàn)結(jié)果的合計(jì)。例如，反應(yīng)溫度 A 為1 水平，也就是 50 ℃ 時(shí)實(shí)驗(yàn)結(jié)果的合計(jì)為283，其為2 水平時(shí)實(shí)驗(yàn)結(jié)果的合計(jì)為272。

根據(jù)表 5 中的數(shù)據(jù)進(jìn)行綜合比較，由于T11（283）＞T21（272），說明反應(yīng)溫度 50 ℃ 比 70 ℃ 時(shí)的產(chǎn)物收率高；T12（282）＞T22（273），說明反應(yīng)時(shí)間 1 h 比 2 h的產(chǎn)物收率高；T13（268）＜T23（287），說明反應(yīng)溫度和反應(yīng)時(shí)間存在交互作用；T14（268）＜T24（287），說明磺酸濃度 27%比 17% 時(shí)的產(chǎn)物收率高；T17（273）＜T27（282），說明不攪拌比攪拌時(shí)的產(chǎn)物收率高。單因素分析的結(jié)論為：反應(yīng)溫度 50 ℃、反應(yīng)時(shí)間 1 h、磺酸濃度 27%、操作方式為不攪拌時(shí)收率較高。但是因?yàn)榉磻?yīng)溫度和反應(yīng)時(shí)間存在交互作用，還需再按表 5 第 1、2 兩列計(jì)算 A、B 兩個(gè)因素不同水平組合下收率的合計(jì)：

反應(yīng)溫度A反應(yīng)時(shí)間 B 50 ℃ 70 ℃1 h 65 + 74=139 70 + 73=1432 h 71 + 73=144 62 + 67=129

4 種水平組合下的合計(jì)結(jié)果顯示，反應(yīng)溫度 50 ℃ 與反應(yīng)時(shí)間 2 h的收率最高，這與單因素分析的結(jié)論并不一致，所以反應(yīng)溫度 50 ℃、反應(yīng)時(shí)間 2 h、磺酸濃度 27%、操作方式為不攪拌是最佳組合條件[4]。同時(shí)也可以看出，這個(gè)組合條件在本次研究中并沒有安排進(jìn)行實(shí)驗(yàn)。

由表 5 可以算得 A、B、C、D 這 4個(gè)實(shí)驗(yàn)因素的極差分別為RA=2.75、RB=2.25、RC=4.75、RD=2.25，RC＞RA＞RB=RD，所以磺酸濃度是主要因素，反應(yīng)溫度次之，反應(yīng)時(shí)間和攪拌方式是最次要的因素。

例2 在一項(xiàng)微生物培養(yǎng)液成分的優(yōu)化實(shí)驗(yàn)中，希望找出最優(yōu)的培養(yǎng)液成份，欲考慮的因素及其水平見表6。已知交互作用 AC 存在的可能性極大，AB和AE 存在的可能性不大，但無把握斷定其不存在，希望通過實(shí)驗(yàn)加以考察[5]。

表6 培養(yǎng)液優(yōu)化實(shí)驗(yàn)的因素水平表

表7 L27（313）正交表

正交設(shè)計(jì)的實(shí)施：本實(shí)驗(yàn)涉及5個(gè)三水平的實(shí)驗(yàn)因素，若進(jìn)行析因設(shè)計(jì)，則至少需要做 35×2=486 次實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)次數(shù)過多。由于只需要考慮 3個(gè)一階交互作用，故適合采用正交設(shè)計(jì)。

本例中每個(gè)實(shí)驗(yàn)因素的自由度都為2，5個(gè)因素的自由度為10；每個(gè)交互作用的自由度為2×2=4，3個(gè)一階交互作用的自由度為12；總的自由度為22。在三水平正交表中，每一列的自由度為2，故需要 11 列來安排實(shí)驗(yàn)因素及其交互作用。采用 L27（313）正交表安排此實(shí)驗(yàn)是可行的，因?yàn)榇吮砉灿?13 列，5個(gè)因素占用 5 列，3個(gè)一階交互作用占用 6 列，還剩兩個(gè)空列用于估計(jì)實(shí)驗(yàn)誤差，具體見表7。同時(shí)，假設(shè)已經(jīng)得到了現(xiàn)有的L27（313）正交表的表頭設(shè)計(jì)表，具體見表8。

表8 L27（313）正交表的表頭設(shè)計(jì)表

在表 8 中，每個(gè)實(shí)驗(yàn)因素占 1 列，每個(gè)一階交互作用占 2 列，例如因素 A 與B的交互作用 AB 占用第 3 列和第 4 列，分別用 AB1和AB2表示。根據(jù)此表頭設(shè)計(jì)，可以直接將各因素安排到相應(yīng)的列中，然后摘錄出單個(gè)實(shí)驗(yàn)因素對應(yīng)的列，將各列的水平代碼轉(zhuǎn)換成實(shí)驗(yàn)因素的真實(shí)水平。限于篇幅，經(jīng)轉(zhuǎn)換后的表格不再給出，僅將實(shí)驗(yàn)結(jié)果列于表 7 中。

對該資料進(jìn)行分析的SAS 程序如下：

data prg2;input a b c d e y@@;cards;111110.69112220.54113330.37121320.66122130.75123210.48131230.81132310.68133120.39211110.93212221.15213330.90221320.86222130.97223211.17231230.99232311.13233120.80311110.69312221.10313330.91321320.86322131.16323211.30331230.66332311.38333120.73;run;proc glm data=prg2;class a b c d e;model y=a b c d e a*c a*b a*e;run;proc glm data=prg2;class a b c d e;model y=a b c d e a*c;run;

程序說明：數(shù)據(jù)步建立數(shù)據(jù)集 prg2，與例1 一樣，這里各個(gè)因素的取值仍然采用正交表中的水平代碼 1、2、3 表示。在L27（313）正交表中，因素 E和因素 D 分別位于第 8 列與第 11 列，E的位置在D 之前，所以輸入數(shù)據(jù)時(shí)要注意它們的順序。本例使用了兩個(gè) GLM 過程步，兩者的不同之處在于第二個(gè) GLM 過程去掉了交互作用項(xiàng)AB 與AE。

主要輸出結(jié)果與結(jié)果解釋：

Source DF Sum of squares Mean square F value Pr ＞F Model 22 1.75077037 0.07958047 4.97 0.0651 Error 4 0.06408148 0.01602037 Corrected total 26 1.81485185 Source DF Type III SS Mean square F value Pr ＞F a 2 0.89516296 0.44758148 27.94 0.0045 b 2 0.05031852 0.02515926 1.57 0.3138 c 2 0.23000741 0.11500370 7.18 0.0475 d 2 0.06667407 0.03333704 2.08 0.2402 e 2 0.10738519 0.05369259 3.35 0.1397 a*c 4 0.30961481 0.07740370 4.83 0.0781 a*b 4 0.04577037 0.01144259 0.71 0.6239 a*e 4 0.04583704 0.01145926 0.72 0.6233

以上是第一個(gè) GLM 過程的主要輸出結(jié)果，對整個(gè)模型進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)的F=4.97、P=0.0651。在各個(gè)效應(yīng)項(xiàng)的檢驗(yàn)結(jié)果中，因素 A 對應(yīng)的F=27.94、P=0.0045；因素 C對應(yīng)的F=7.18、P=0.0475。這兩者的作用都有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義。交互作用 AC的P 值接近于0.05的臨界水平。交互作用 AB 與AE 沒有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義，結(jié)合實(shí)驗(yàn)之前已經(jīng)掌握的情況，將 AB 與AE 去掉之后重新擬合模型。

Source DF Sum of squares Mean square F value Pr ＞F Model 14 1.65916296 0.11851164 9.13 0.0002 Error 12 0.15568889 0.01297407 Corrected total 26 1.81485185 Source DF Type III SS Mean Square F value Pr ＞F a 2 0.89516296 0.44758148 34.50 ＜0.0001 b 2 0.05031852 0.02515926 1.94 0.1863 c 2 0.23000741 0.11500370 8.86 0.0043 d 2 0.06667407 0.03333704 2.57 0.1178 e 2 0.10738519 0.05369259 4.14 0.0430 a*c 4 0.30961481 0.07740370 5.97 0.0070

以上是第二個(gè) GLM 過程的輸出結(jié)果，對整個(gè)模型進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)的F=9.13、P=0.0002。在對各個(gè)效應(yīng)的檢驗(yàn)中，因素 A、C、E 以及交互作用 AC 都有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義，其 P 值分別為＜0.0001、0.0043、0.0430、0.0070；因素 B與D的作用沒有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義。最好，將 B、D 淘汰后再進(jìn)行分析，以得到更穩(wěn)定的計(jì)算結(jié)果，此處從略。

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