陳勵(lì)華，王仕成，孫 淵，鄭玉航，劉志國(guó)

（第二炮兵工程學(xué)院，西安 710025）

近年來(lái)，利用地球物理特征實(shí)現(xiàn)無(wú)源自主導(dǎo)航的方法得到學(xué)者們的廣泛關(guān)注，地磁導(dǎo)航由于具有無(wú)源、隱蔽、自主和低成本等特點(diǎn)已成為當(dāng)前研究的熱點(diǎn)之一[1-6]。

地磁導(dǎo)航算法主要有地磁濾波和地磁匹配兩類。其中地磁濾波研究較為成熟，而地磁匹配的研究尚處于初始階段[1]。地磁匹配的基本原理是通過(guò)求取地磁場(chǎng)實(shí)時(shí)測(cè)量序列與地磁基準(zhǔn)圖之間的相關(guān)性度量指標(biāo)最優(yōu)來(lái)獲得對(duì)航跡的估計(jì)，為準(zhǔn)確定位，要求匹配區(qū)域地磁場(chǎng)特異性突出，相應(yīng)的地磁場(chǎng)變化應(yīng)較為顯著。在地磁場(chǎng)變化平緩、等值線平坦的區(qū)域，采用傳統(tǒng)的地磁匹配算法，將無(wú)法獲得較高的匹配概率和精度，甚至匹配失敗。

地磁場(chǎng)矢量可以分解為七個(gè)基本要素，除此之外還有梯度、梯度張量等多個(gè)衍生要素?？梢岳玫卮艌?chǎng)的這種高維特性描述對(duì)匹配算法進(jìn)行改進(jìn)，以多個(gè)要素作為特征量參與匹配計(jì)算，利用冗余信息去除誤匹配，與傳統(tǒng)單一特征量匹配相比，多特征量融合有利于提高定位精度。文獻(xiàn)[7]用線性方程擬合三個(gè)要素的地磁場(chǎng)變化關(guān)系，通過(guò)求解線性方程組解決區(qū)域范圍內(nèi)地磁場(chǎng)匹配定位問(wèn)題。文獻(xiàn)[8]將多個(gè)要素各自匹配位置根據(jù)貢獻(xiàn)權(quán)重，經(jīng)過(guò)加權(quán)計(jì)算作為最終定位結(jié)果。這兩種方法都為多特征量融合提供了解決方案，但也都有明顯的應(yīng)用限制，如前者要求地磁場(chǎng)線性近似化程度比較高，后者需要單特征量匹配結(jié)果具有較高的可信度。

本文針對(duì)地磁平緩地區(qū)的匹配問(wèn)題提出一種多維特征量匹配的改進(jìn)算法，通過(guò)建立多特征量最小距離度量指標(biāo)，同時(shí)利用多個(gè)地磁場(chǎng)特征量進(jìn)行相關(guān)性運(yùn)算，在多維基準(zhǔn)圖中搜索指標(biāo)最優(yōu)值。仿真結(jié)果表明，本文提出的多特征量匹配算法在地磁平緩區(qū)域也可顯著提高匹配性能，是理想的高精度定位方法。與現(xiàn)有多特征匹配相比，該方法對(duì)地磁場(chǎng)環(huán)境幾乎沒(méi)有使用限制，適應(yīng)能力更強(qiáng)。

1 基于相關(guān)性度量的地磁匹配

1.1 地磁場(chǎng)的多維描述

地磁場(chǎng)是一個(gè)矢量場(chǎng)，空間中某一點(diǎn)的地磁場(chǎng)可以分解為7個(gè)地磁要素，其定義與方向如圖1所示。圖中F為總磁場(chǎng)強(qiáng)度，D為磁偏角，I為傾角，H為水平強(qiáng)度，Z為垂直強(qiáng)度，X和Y分別為H的北向和東向分量。這7個(gè)地磁要素之間的關(guān)系可用下式表示：

若要描述空間某點(diǎn)地磁場(chǎng)強(qiáng)度的大小和方向，以上 7個(gè)特征量中至少需要知道三個(gè)獨(dú)立特征量的數(shù)值，這三個(gè)獨(dú)立特征量被稱為地磁三要素。而在匹配定位中，并不需要確切得到地磁場(chǎng)的矢量信息，可選任意一個(gè)要素作為特征量完成相關(guān)性度量。

1.2 相關(guān)性度量

地磁匹配與地形匹配相似，基準(zhǔn)圖為區(qū)域地磁場(chǎng)信息的二維圖，實(shí)時(shí)圖是航跡上的一維地磁場(chǎng)序列，匹配是在基準(zhǔn)圖的所有可能子圖中尋找與實(shí)時(shí)圖一致的地磁序列。由于磁傳感器在實(shí)時(shí)圖測(cè)量過(guò)程中存在著測(cè)量噪聲、變換誤差和其它誤差因素，因此很難找到與實(shí)時(shí)圖完全一致的基準(zhǔn)子序列，匹配通過(guò)對(duì)實(shí)時(shí)圖與所有基準(zhǔn)子序列之間的相似程度度量完成。在地磁匹配導(dǎo)航中，度量實(shí)時(shí)圖與基準(zhǔn)子圖相似程度的基本方法是相關(guān)性函數(shù)。

相關(guān)性函數(shù)指標(biāo)包括距離與相似性兩類，前者如平均絕對(duì)差（MAD）、平均平方差（MSD）等，后者如積相關(guān)（Prod）和歸一化的積相關(guān)（Nprod）等，度量中要求距離指標(biāo)最小，而相似性指標(biāo)最大。

1.3 地磁匹配方法的隱含條件

地磁匹配通過(guò)遍歷基準(zhǔn)圖搜索指標(biāo)函數(shù)最值，因此可獲得全局最優(yōu)解。匹配計(jì)算中，為了減小搜索空間，用于度量的基準(zhǔn)子圖只在慣性導(dǎo)航系統(tǒng)（INS，Inertial Navigation System）指示航跡的平行航跡中選取。這表示地磁匹配無(wú)法脫離INS單獨(dú)使用，只能作為慣性系統(tǒng)的輔助導(dǎo)航方式。搜索航跡與INS指示航跡形狀相同的隱含假設(shè)是INS定位誤差大小不變，而指示航向誤差為零。當(dāng)INS航向誤差較小時(shí)，這種假設(shè)是合理的。

2 多維特征量最小距離度量匹配

利用三軸磁強(qiáng)計(jì)可以測(cè)量出地磁場(chǎng)的7個(gè)要素，本文提出的多維地磁匹配采用其中兩個(gè)或兩個(gè)以上的地磁要素作為匹配特征量，建立度量指標(biāo)，在相應(yīng)的多維基準(zhǔn)圖中搜索指標(biāo)最優(yōu)的位置。

以MAD度量指標(biāo)為例。單一特征量匹配的情況下，預(yù)先存儲(chǔ)在機(jī)載計(jì)算機(jī)中的地磁基準(zhǔn)圖數(shù)據(jù)為地磁場(chǎng)某一要素的幅值信息，表示為ML×NL的平面網(wǎng)格，Tm(u,v)為基準(zhǔn)圖坐標(biāo)(u,v)處的值。載體運(yùn)行中，沿著航跡實(shí)際測(cè)量地磁場(chǎng)相應(yīng)要素的數(shù)據(jù)序列為T(k) ，k=1,… ,N，構(gòu)成實(shí)時(shí)圖，其中N為匹配序列長(zhǎng)度。MAD距離度量最優(yōu)函數(shù)計(jì)算如下：

在所有與INS指示航跡平行的基準(zhǔn)子圖中搜索以上指標(biāo)函數(shù)最小值所對(duì)應(yīng)的(u(k),v(k) )，作為對(duì)真實(shí)航跡的估計(jì)。匹配建立在對(duì)地磁場(chǎng)輪廓的識(shí)別之上，因此以上算法稱作 MAGCOM(Magnetic Contour Matching)，是目前地磁匹配的基本算法。理想情況下，實(shí)時(shí)圖與基準(zhǔn)圖之間不存在誤差，真實(shí)航跡必然指標(biāo)最優(yōu)，但指標(biāo)最優(yōu)的航跡并非一定是真實(shí)航跡，因?yàn)樽顑?yōu)航跡可能并不唯一，這與地磁場(chǎng)本身的地理特異性是否突出、磁異常信息的豐富程度有關(guān)，因此從原理上看，匹配在地磁場(chǎng)平緩變化區(qū)域容易產(chǎn)生誤匹配。實(shí)際匹配時(shí)，由于存在實(shí)測(cè)條件與基準(zhǔn)圖制備條件不一致、傳感器誤差等因素造成的噪聲，更增加了誤匹配的可能性。

采用m個(gè)要素進(jìn)行匹配時(shí)，每個(gè)要素作為特征量根據(jù)式（1）均可計(jì)算MAD距離度量指標(biāo)。估計(jì)航跡應(yīng)滿足每個(gè)要素的度量指標(biāo)達(dá)到最優(yōu)，即：

在估計(jì)航跡上m個(gè)指標(biāo)di(u,v)都為所對(duì)應(yīng)的最小值，可見(jiàn)這是個(gè)多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題。

理想情況下，估計(jì)航跡恰好為真實(shí)航跡時(shí)，能夠?qū)崿F(xiàn)各個(gè)子目標(biāo)同時(shí)最優(yōu)。但由于各個(gè)要素都不同程度地存在隨機(jī)噪聲，以上子目標(biāo)難以匹配到完全相同的航跡上，因此一般情況下式（2）的優(yōu)化問(wèn)題難以找到絕對(duì)最優(yōu)解。

求解時(shí)可將多目標(biāo)問(wèn)題轉(zhuǎn)化到與之關(guān)聯(lián)的單目標(biāo)問(wèn)題：

式中，iλ為權(quán)系數(shù)，權(quán)系數(shù)是否歸一化不影響匹配結(jié)果，因此不作約束。權(quán)系數(shù)大小取決于各維地磁要素匹配定位的可信度。可信度能通過(guò)匹配概率體現(xiàn)，可對(duì)式（3）權(quán)系數(shù)賦值如下：

其中pi為各單一特征量的匹配概率，即某一要素匹配概率越高，對(duì)該特征量越重視。但某一區(qū)域單一特征量匹配概率往往與噪聲密切相關(guān)，難以預(yù)先獲知，因此需要給出更為實(shí)用的賦權(quán)方法。

匹配概率與地磁匹配區(qū)域的適配性有很大關(guān)系。所謂適配性是指特定區(qū)域地磁匹配提供INS導(dǎo)航位置修正信息的能力，由該區(qū)域地磁場(chǎng)的宏觀起伏特征和微觀破碎特征所決定，可以用一系列特征參數(shù)描述，如標(biāo)準(zhǔn)差、信息熵、分形維數(shù)、累加梯度等。即使同一區(qū)域，不同要素的適配性并不相同，可利用適配性參數(shù)得到權(quán)系數(shù)。

我們利用粗糙集理論對(duì)主要的適配性參數(shù)進(jìn)行篩選[9]，再利用層次分析法（AHP）對(duì)適配性影響較大的特征參數(shù)——標(biāo)準(zhǔn)差、分形維數(shù)、累加梯度、粗糙度進(jìn)行總體排序[10]，發(fā)現(xiàn)影響最顯著的是分形維數(shù)，其次是標(biāo)準(zhǔn)差，得到用于評(píng)價(jià)適配性的綜合指標(biāo)：

式中，I(i)表示第i個(gè)要素的綜合評(píng)價(jià)指標(biāo)，1r表示分形維數(shù)，r2表示標(biāo)準(zhǔn)差。區(qū)域地磁場(chǎng)的標(biāo)準(zhǔn)差和分形維數(shù)越大，綜合適配性指標(biāo)越大，第i個(gè)要素在該區(qū)域匹配就易獲得較高匹配概率，該要素在式（3）中權(quán)系數(shù)相應(yīng)越大，因此將權(quán)系數(shù)賦值為：

3 仿真實(shí)驗(yàn)

根據(jù)地磁場(chǎng)自身特點(diǎn)并結(jié)合匹配中各個(gè)環(huán)節(jié)產(chǎn)生的誤差來(lái)源，基準(zhǔn)圖和實(shí)時(shí)圖之間的誤差的最主要來(lái)源是地磁場(chǎng)短期變化和傳感器噪聲。前者經(jīng)過(guò)補(bǔ)償后的剩余誤差可用分布于[-a/ 2,a/2]的均勻隨機(jī)噪聲描述，后者可用均值為0，方差σ2=b的高斯噪聲描述[9]。

為驗(yàn)證多特征量匹配性能，對(duì)X、Y、Z三要素單獨(dú)匹配和按照式（3）（4）對(duì)這個(gè)三要素同時(shí)最小距離度量匹配進(jìn)行仿真。三要素基準(zhǔn)圖網(wǎng)格數(shù)目均為60×60，網(wǎng)格間距均為100 m×100 m。根據(jù)文獻(xiàn)[9]地磁場(chǎng)信息熵定義計(jì)算各要素的熵均在11.8135附近，接近該區(qū)域熵的最大值11.8138，表明地磁場(chǎng)變化非常平滑，缺少起伏信息，是不適宜MAGCOM計(jì)算的地理區(qū)域。

匹配序列長(zhǎng)度設(shè)置為N=10，實(shí)測(cè)序列兩采樣點(diǎn)間隔100 m，設(shè)置噪聲參數(shù)a=10，b=10，噪聲單位為nT。進(jìn)行100次匹配的仿真結(jié)果如圖2所示。圖中表示方法說(shuō)明如下：在MAGCOM假設(shè)條件下，認(rèn)為INS無(wú)航向誤差，匹配子圖與INS航跡平行，因此忽略航跡形狀，將匹配的結(jié)果起點(diǎn)與真實(shí)航跡起點(diǎn)間的距離作為匹配誤差用于衡量定位性能。圖中深色*標(biāo)志代表真實(shí)路徑起點(diǎn)所在位置，淺色?標(biāo)志則代表匹配航跡起點(diǎn)所在位置，這樣的圖表示更能體現(xiàn)在隨機(jī)噪聲作用下多次匹配結(jié)果的分散程度。

由圖2可看出地磁緩變區(qū)域中，單一特征量匹配結(jié)果都造成目標(biāo)函數(shù)不同程度地落入多個(gè)虛假定位點(diǎn)，匹配結(jié)果較為分散，以致匹配成功概率較低。而同時(shí)采用三個(gè)特征量計(jì)算度量指標(biāo)，匹配結(jié)果都在期望解附近，這表示該方法避免了單特征量匹配中出現(xiàn)的虛定位，從而大幅度提高了匹配精度和匹配概率。文中以平均定位誤差半徑作為匹配精度指標(biāo)，平均定位誤差半徑定義為多次匹配后匹配點(diǎn)平均值與真實(shí)位置的距離。定義正確匹配為匹配結(jié)果與真實(shí)位置之間誤差不超過(guò)網(wǎng)格邊長(zhǎng)的 2倍，即141.4 m。正確匹配之外的所有定位點(diǎn)稱為虛定位點(diǎn)。相應(yīng)的完全匹配概率為正確匹配次數(shù)與總匹配次數(shù)的比值。

單特征量匹配和多維特征量匹配的精度和匹配概率數(shù)據(jù)對(duì)比如表1所示。

圖 2 不同特征量匹配的結(jié)果Fig.2 Matching results of various feature elements

表1 不同特征量匹配概率與誤差對(duì)比Tab.1 Comparison of matching probability and error in various elements matching

4 特征量維數(shù)影響分析

多維特征量匹配定位應(yīng)選擇多少維地磁要素參與匹配最適宜？以下將通過(guò)仿真實(shí)驗(yàn)給出相關(guān)結(jié)論，為多特征量匹配問(wèn)題提供指導(dǎo)。

仿真實(shí)驗(yàn)重點(diǎn)關(guān)注特征量數(shù)目，因此在實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)中，以現(xiàn)有地磁要素組合為基礎(chǔ)，觀察每增加一個(gè)新的特征量帶來(lái)的性能指標(biāo)變化。地磁場(chǎng)包含兩類特征量：2個(gè)角度與5個(gè)強(qiáng)度幅度。二者量綱不同，距離度量計(jì)算必須考慮尺度變換。對(duì)尺度變換本文未作分析，因此仿真實(shí)驗(yàn)僅針對(duì)5個(gè)強(qiáng)度幅值要素進(jìn)行。

在不同維數(shù)m條件下，選擇特征量{Z}、{Y,Z}，{X,Y,Z}、{X,Y,Z,F}、{X,Y,Z,F,H}，以完全匹配概率和平均定位誤差半徑來(lái)衡量匹配結(jié)果的優(yōu)劣。仿真區(qū)域、噪聲條件、匹配長(zhǎng)度同上，完成100次匹配，根據(jù)結(jié)果建立維數(shù)與匹配概率、定位誤差的關(guān)系曲線如圖3所示。

由圖3可以看出，匹配性能隨著匹配特征量維數(shù)的增加提高，表現(xiàn)為匹配概率總體呈現(xiàn)上升，同時(shí)定位誤差下降。另一方面，當(dāng)匹配特征量從一個(gè)增長(zhǎng)為二個(gè)時(shí)，帶來(lái)的匹配性能的提高最為顯著，此后隨維數(shù)增加，匹配概率提高的趨勢(shì)逐漸緩慢，當(dāng)特征量維數(shù)增加到5，匹配概率、精度與4維相比并未提高。表明維數(shù)增大到一定程度，難以通過(guò)增加維數(shù)來(lái)提高匹配性能。

圖3 特征量維數(shù)對(duì)匹配概率和誤差的影響Fig.3 Matching probability and accuracy vs.dimension of elements

在相同匹配區(qū)域與匹配長(zhǎng)度下，特征量個(gè)數(shù)的增加會(huì)造成計(jì)算量增長(zhǎng)。這意味著多特征量匹配一定程度上是以增加計(jì)算量為代價(jià)獲得匹配性能改善。綜合考慮計(jì)算量與匹配性能兩方面影響，最小距離度量的特征量維數(shù)選擇2～3為宜。

5 結(jié) 論

本文利用空間地磁場(chǎng)的向量特點(diǎn)，選用多個(gè)地磁場(chǎng)要素作特征量對(duì)現(xiàn)有地磁匹配方法進(jìn)行改進(jìn)，提出了多目標(biāo)最小距離度量的信息融合方法。仿真試驗(yàn)表明，多維地磁場(chǎng)要素參與匹配過(guò)程，可濾除單特征量誤匹配點(diǎn)，更易獲得良好的精度和匹配概率，即使在地磁場(chǎng)變化平緩的區(qū)域也能得到令人滿意的定位性能。

多特征量匹配充分利用地磁場(chǎng)信息，定位精度和匹配概率表現(xiàn)優(yōu)異，而且對(duì)地磁場(chǎng)選區(qū)要求不高，擴(kuò)展了地磁匹配的適用范圍，為地磁場(chǎng)導(dǎo)航工程化提供了算法支持。該方法的不足之處在于匹配中用到多個(gè)地磁要素信息，引起基準(zhǔn)圖制備工作量的增加，還可能在實(shí)時(shí)測(cè)量中由于坐標(biāo)軸變換引起新的誤差。

（References）：

[1] 周軍，葛致磊，施桂國(guó)，劉玉霞. 地磁導(dǎo)航發(fā)展與關(guān)鍵技術(shù)[J]. 宇航學(xué)報(bào)，2008，29(5)：1467-1472.ZHOU Jun, GE Zhi-lei, SHI Gui-guo, LIU Yu-xia. Key technique and development for geomagnetic navigation[J].Journal of Astronautics, 2008, 29(5): 1467-1472.

[2] Goldenberg F. Geomagnetic navigation beyond magnetic compass[C]// PLANS. San Diego, California, 2006: 684 - 694.

[3] Hamada T, Shigetomi T, Orimo Y. Study on underwater navigation system for long-range autonomous underwater vehicles using geomagnetic and bathymetric information[C]// Proceedings of the Seventeenth International Offshore and Polar Engineering Conference. Lisbon, 2007:1163-1168.

[4] Deutschmann J, Bar-Itahack I Y. Evaluation of attitude and orbit estimation using actual earth magnetic field date[J]. Journal of Guidance, Control and Dynamics. 2001,24(3): 616-626.

[5] Luo Shitu, Wang Yanling, Liu Yin, Hu Xiaopin. Research on geomagnetic matching technology based on improve ICP algorithm[C]// Proceedings of the 2008 IEEE International Conference on Information and Automation.Zhangjiajie, China, 2008: 815-819

[6] Ying Liu, Meiping Wu, Xiaoping Hu, Hongwei Xie.Research on geomagnetic matching method[C]// IEEE Conference on Industrial Electronics and Applications.2007: 2707-2711.

[7] 寇義民，溫奇詠，王常虹，馬廣程. 一種基于地磁場(chǎng)曲面線性化擬合的快速導(dǎo)航定位方法[J]. 宇航學(xué)報(bào),2009，30(2)：497-502.KOU Yi-min, WEN Qi-yong, WANG Chang-hong, MA Guang-cheng. A fast positioning approach based on geomagnetic surface linearization[J]. Journal of Astronautics, 2009, 30(2): 497-502.

[8] 郭慶，魏瑞軒，周煒，許潔，郭創(chuàng). 基于投影尋蹤的多維地磁匹配融合算法[J]. 兵工學(xué)報(bào)，2010，31(2)：235- 238.GUO Qing, WEI Rui-xuan, ZHOU Wei, Xu Jie, GUO Chuang. Multidimentional geomagnetic matching fusion algorithm based on projection pursuit[J]. Acta Armamentarll, 2010, 31(2): 235 - 238.

[9] 王哲，王仕成，張金生，喬玉坤，陳勵(lì)華. 一種地磁匹配制導(dǎo)適配性特征參數(shù)選取方法[J]. 宇航學(xué)報(bào)，2009，30 (3)：1057-1063.WANG Zhe, WANG Shi-cheng, ZHANG Jin-sheng, QIAO Yu-kun, CHEN Li-hua. A method of selection matching suitability characteristic parameter based on rough set theory in geomagnetism matching guidance[J]. Journal of Astronautics, 2009, 30 (3): 1057-1063

[10] 王哲，王仕成，張金生，喬玉坤，陳勵(lì)華. 一種基于層次分析法的地磁匹配制導(dǎo)適配性評(píng)價(jià)方法[J]. 宇航學(xué)報(bào)，2009，30(5)：1871-1878.WANG Zhe, WANG Shi-cheng, ZHANG Jin-sheng, QIAO Yu-kun, CHEN Li-hua. A matching suitability evaluation method based on analytic hierarchy process in geomagnetism matching guidance[J]. Journal of Astronautics, 2009, 30(5): 1871-1878.